Approximation dans des classes de fonctions analytiques généralisées et résolution de problèmes

278 Pages·2017·2.59 MB·French

by  Yannick Fischer

Approximation dans des classes de fonctions analytiques
généralisées et résolution de problèmes inverses pour les
tokamaks
Yannick Fischer
To cite this version:
Yannick Fischer. Approximation dans des classes de fonctions analytiques généralisées et résolution
de problèmes inverses pour les tokamaks. Analyse fonctionnelle [math.FA]. Université Nice Sophia
Antipolis, 2011. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00643239￿
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Submitted on 21 Nov 2011
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École doctorale sciences et technologies de l’information
et de la communication
Université Nice-Sophia Antipolis
Thèse de doctorat
présentée pour obtenir le grade de
docteur de l’Université Nice-Sophia Antipolis
Spécialité : Mathématiques Appliquées
par
Yannick Fischer
Approximation dans des classes de
fonctions analytiques généralisées et
résolution de problèmes inverses pour les
tokamaks
Soutenue publiquement le 3 Novembre 2011
devant le jury composé de :
Directrice de thèse : Juliette Leblond Directrice de recherche, INRIA Sophia Antipolis
Rapporteurs : Houssem Haddar Directeur de recherche, INRIA Saclay
Emmanuel Russ Professeur, Université Joseph Fourier Grenoble
Examinateurs : Laurent Baratchart Directeur de recherche, INRIA Sophia Antipolis
Jacques Blum Professeur, Université Nice-Sophia Antipolis
François Saint-Laurent Ingénieur de recherche, CEA/IRFM Cadarache
Michael Vogelius Professeur, Université de Rutgers
Equipe Projet APICS – INRIA Sophia Antipolis. Mail : yannick.fi[email protected]

iii
Remerciements
Et voilà, nous y sommes enfin! J’ai bien attendu le dernier moment pour rédiger ces
remerciements mais j’avoue en rêver depuis déjà bien longtemps. A dire vrai, maintenant
que je suis confronté à cette page blanche, je me rends compte à quel point il peut s’agir
d’un exercice ardu, peut être même le plus difficile de cette thèse. C’est donc la main un
peutremblantequejevaisessayeraveccesquelqueslignesderemercierleplussincèrement
possible l’ensemble des personnes qui m’ont aidé au cours de ces trois années.
Avant tout merci Juliette! Je tiens à exprimer ma plus profonde gratitude à ma di-
rectrice de thèse Juliette Leblond qui m’a acceuilli au sein d’APICS il y a maintenant
trois ans. Je la remercie vraiment de m’avoir fait confiance le jour où je suis venu plaider
ma cause dans son bureau en costard-cravatte, d’avoir fait preuve d’une disponibilité et
d’une patience sans limite à mon égard, de m’avoir fait profiter de son expérience ainsi
que d’avoir su accompagner de la façon la plus juste mes premiers pas dans la recherche.
Au-delà des aspects scientifiques, je la remercie aussi pour son soutien sans faille lors des
quelques phases de doute qui ont ponctué cette thèse, pour la liberté de travail qu’elle
m’a offerte mais aussi pour avoir toujours veillé à me placer dans les meilleures conditions
afin que ma vie personnelle se déroule au mieux. Je garderai un souvenir particulièrement
fort de ces quelques années passées à ses côtés.
Il est évident que cette thèse n’aurait pu voir le jour sans Laurent Baratchart. En
compagnie de Juliette, il a participé à l’encadrement de ma thèse au jour le jour et cela
a été un véritable bonheur d’apprendre à connaître ce mathématicien génial. Ses idées
fulgurantes (que je mettais toujours au moins deux mois à intégrer), son soucis de parfaire
la rédaction des articles au-delà du raisonnable (!!), sa gentillesse ainsi que son humilité
en font pour moi un modèle. Il a su me donner plus que jamais le goût de la recherche.
Merci Laurent!
Je remercie Houssem Haddar et Emmanuel Russ d’avoir accepté de rapporter cette
thèse. C’est un honneur pour moi qu’ils aient lu avec autant d’attention mon travail. Je
les remercie tout particulièrement pour leurs critiques et suggestions qui ont grandement
contribué à clarifier et améliorer ce manuscrit.
Je remercie Jacques Blum d’avoir accepté de présider mon jury, ainsi que François
Saint-Laurent et Michael Vogelius d’y avoir participé. Le fait qu’ils aient montré de l’in-
térêt pour mes recherches me remplit de fierté. Au delà des mathématiques, ils ont fait
preuved’unepatienceénormepourmefairecomprendrelaphysiquedelafusionnucléaire.
Toujours concernant le travail de cette thèse, je tiens à remercier chaleureusement
Jean-Paul Marmorat. C’est peu dire que sans lui je serais actuellement perdu dans les
limbes de Matlab. Au cours de nos discussions, j’ai pu admirer son talent de programmeur
mais aussi de mathématicien. Sa précision scientifique a su m’éclairer à de nombreuses
iv Remerciements
reprises. Paulo, merci pour ta disponibilité et ta patience! Je profite aussi de ces quelques
lignes pour remercier Jonathan Partington avec qui j’ai beaucoup apprécié travailler ainsi
que Sylvain Brémond qui a contribué à mon intérêt pour cette machine complètement
folle qu’est le tokamak.
Toujours en ce qui concerne le côté scientifique, je remercie le meilleur professeur de
mathématiques que j’ai pu avoir, Antoine Henrot. Si le début de cette thèse doit être
attribué à quelqu’un, c’est bien à lui, qui a su m’enlever une grosse épine du pied il y a
trois ans.
Si j’ai pu bénéficier au cours de ces trois années des conditions idéales de travail, c’est
en grande partie grâce à tous les membres de l’equipe APICS. Je remercie donc Stéphanie
pour sa patience et sa gentillesse au quotidien (et bienvenue à Lise!) ainsi que son rougail
qui arrache; Fabien le boursicoteur pour son sens du chambrage (par couloir interposé
notamment)etsanostalgiedel’Allemagne(tuvast’ennuyersansmoimonpetit);Martine
(ou Martoche, ça dépend des jours) la randonneuse extrême pour sa bonne humeur, son
envie de me voir acheter un reflex et les délicieuses pommes bien entendu; Jean-Baptiste
pour me rappeler au quotidien que finalement il y aura toujours plus tête-en-l’air que
moi (spéciale dédicace au coup de la «Jean-Bat» à la cantine); Sylvain que je ne connais
que depuis peu mais dont la gentillesse à mon égard et sa détermination à faire que ma
soutenance soit la meilleure possible m’ont beaucoup touché; Ahed, Ana-Maria, Slah et
Jonathan (lui c’est un intrus de chez BIOCORE) qui vont bientôt mettre fin au dur labeur
du thésard. J’ai bien entendu aussi une pensée pour le vénérable sage José Grimm, alias
Monsieur Latex, sûrement l’homme le plus intelligent que j’ai pu rencontrer et avec qui
j’attends toujours de fêter ma soutenance autour d’un bon verre de Gewürtz. C’est avec
plaisir que je remercie aussi les personnes qui ont été ou sont actuellement de passage
dans l’équipe : David et Max mes co-bureaux désormais partis sous d’autres horizons;
Alban pour tous ses conseils sur la recherche; Ludovic avec qui je me suis vraiment bien
marré notamment lors des passages devant la salière de la cantine; Bernard qui a égayé
ma fin de thèse comme jamais et dont je reste admiratif devant tant de talent culinaire.
Et puis je n’oublie pas Vincent Gomis qui s’est plié en quatre pour me préparer une salle
de soutenance aux petits oignons.
Enfin je voudrais remercier tous mes amis, parents proches et toutes les personnes que
j’ai rencontrées au cours de la thèse qui, même s’ils ne le savent pas, m’ont apporté de la
joieetdubonheurdepuistroisansetsouventplus.Jemesuissouventremotivéenpensant
à eux. Merci donc à Guillaume, Auriane, Claudine et Jean-Jacques; à tous mes potes de
Franca pour s’être chargés de me vider la tête avec risque d’avoir tout oublié le lendemain
au réveil; à Canit El Pible de Oro mon voisin de toujours avec qui j’ai sûrement vécu l’un
de mes plus grands fous rires (sacré tacle!); à Alexis le désormais marathonien auprès de
qui la vie semble aussi belle qu’une chanson de Goldman; à Gilles et Pierre que j’ai encore
du mal à imaginer en nouveaux papas; à Alex le parigot pour nous avoir souvent simplifié
la vie à Laurène et à moi ainsi que pour les escapades cavalériennes; à Aurélien le niçois
dont l’appétit insatiable m’a toujours étonné; à Frédérique et Yannick les survivants des
Mines qui vont assurément devenir de grands chercheurs; à John la frite belge d’Anvers
pour sa bonne humeur et son accent. Je remercie aussi tout particulièrement Nicole et
Jean-Claude qui m’ont toujours très bien acceuilli, m’ont donné des forces pour la thèse
(ahhh le gruyère et le beaufort de Savoie), ont écouté mes doutes et avec qui la vie semble
toujours heureuse.
v
Et pour finir je tiens à remercier les personnes qui comptent le plus pour moi. Mes
parents pour m’avoir toujours soutenu, encouragé, motivé et entouré d’une aura bienfai-
sante. En particulier, ma mère, Marie-José, pour être à l’écoute de tous mes petits soucis
mais aussi pour cette délicieuse odeur de tarte au fromage lorsque je grimpe les escaliers
de la maison; mon père, Grégoire, pour m’avoir fait plonger dans la marmite des maths
lorsque j’étais petit et pour m’avoir convaincu qu’il est important de garder un peu de
son âme d’enfant lorsqu’on grandit (peut être que je jouerai moi aussi aux avions plus
tard?). Ma bienveillante soeur Estelle et Bertrand pour leur soutien précieux, leur joie de
vivre et à qui je souhaite d’avoir la vie de famille la plus heureuse possible. Et bien sûr
Laurène pour son amour, sa présence et son soutien dans les moments difficiles, pour sa
gentillesse, pour tous ses fous rires que je n’ai jamais compris, pour m’avoir trainé aux
quatres coins du globe et surtout pour avoir eu la bonne idée de m’emmener au Portugal;
plus simplement pour m’avoir convaincu qu’elle est mon bonheur.
J’ai prétendu avoir terminé au paragraphe précédent, mais j’ai en fait encore quelque
chose à ajouter. Un siège est en effet resté vide lors de ma soutenance. Il s’agit de celui
de ma grand-mère Elise qui s’est malheureusement éteinte au début de ma thèse. J’aurais
tant voulu lui rendre une infime part de tout le bonheur qu’elle a su m’offrir en partageant
ce moment avec elle. Néanmoins, je reste persuadé que la Nature est bien faite puisque
qu’elleadédaignéechangercetteviecontrecellededeuxpetitsbouts,AntoineetThomas,
à qui je promets d’être le meilleur tonton de la Terre. C’est avec beaucoup de modestie
que je leur dédicace à tous les trois ce manuscrit.
vi Remerciements
vii
Résumé
Cette thèse traite de la résolution théorique et constructive de problèmes inverses pour
des équations de diffusion isotropes dans des domaines plan simplement et doublement
connexes. A partir de données de Cauchy (potentiel, flux) disponibles sur une partie de
la frontière du domaine, il s’agit de retrouver ces quantités sur la partie du bord où l’on
ne dispose pas d’information, ainsi qu’à l’intérieur du domaine. L’approche mise au point
consiste à considérer les solutions de l’équation de diffusion comme les parties réelles des
solutions complexes d’une équation de Beltrami conjuguée. Ces fonctions analytiques gé-
néralisées d’un type particulier permettent de définir des classes de Hardy, dans lesquelles
le problème inverse est régularisé en étant reformulé comme un problème de meilleure
approximation sous contrainte (ou encore problème extrémal borné, d’adéquation aux
données). Le caractère bien posé de celui-ci est assuré par des résultats d’existence et de
régularité auxquels s’ajoutent des propriétés de densité à la frontière. Une application au
calculdelafrontièrelibred’unplasmasousconfinementmagnétiquedansletokamakTore
Supra (CEA-IRFM Cadarache) est proposée. La résolution du problème extrémal à partir
d’une base de fonctions adaptées (harmoniques toroïdales) fournit un critère permettant
de qualifier les estimations de la frontière plasma. Un algorithme de descente permet de le
faire décroître, en améliorant l’estimation de la frontière. Cette méthode, qui ne requiert
pas d’intégration de l’équation dans le domaine, fournit de très bons résultats et semble
appelée à connaître des extensions pour d’autres tokamaks tels que JET et ITER.
viii Résumé
ix
Abstract
This thesis concerns both the theoretical and constructive resolution of inverse pro-
blems for isotropic diffusion equation in planar domains, simply and doubly connected.
From partial Cauchy boundary data (potential, flux), we look for those quantities on
the remaining part of the boundary, where no information is available, as well as inside
the domain. The proposed approach proceeds by considering solutions to the diffusion
equation as real parts of complex valued solutions to some conjugated Beltrami equation.
These particular generalized analytic functions allow to introduce Hardy classes, where
the inverse problem is stated as a best constrained approximation issue (bounded extre-
mal problem), and thereby is regularized. Hence, existence and smoothness properties,
together with density results of traces on the boundary, ensure well-posedness. An ap-
plication is studied, to a free boundary problem for a magnetically confined plasma in
the tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Cadarache). The resolution of the approximation
problem on a suitable basis of functions (toroidal harmonics) leads to a qualification cri-
terion for the estimated plasma boundary. A descent algorithm makes it decrease, and
refines the estimations. The method does not require any integration of the solution in
the overall domain. It furnishes very accurate numerical results, and could be extended
to other devices, like JET or ITER.