Approximation auf dem Kubischen Gitter

206 Pages·1976·6.97 MB·German

by  S. G. Michlin (auth.)

S. G. MICHLIN
APPROXIMATION AUF DEM KUBISCHEN GITTER
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 59
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIET DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
S. G. MICHLIN
APPROXIMATION
AUF DEM KUBISCHEN GITTER
In deutscher Sprache herausgegeben von
Prof. Dr. rer. nat. habil. SIEGFRIED P:RössDORF
1976
SPRINGER BASEL AG
Die erste Veröffentlichung erfolgte in Zusammenarbeit mit dem Autor in deutscher Sprache.
Deutsche Übersetzung: Dr. rer. nat. Reinhard Lehmann
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Michlin, Solomon G.
Approximation auf dem kubischen Gitter Ji n dt. Sprache hrsg. von
Siegfried Prößdorf. - 1. Aufl.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissen
schaften: Math. Reihe; Bd. 59)
ISBN 978-3-0348-5500-6 ISBN 978-3-0348-5499-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5499-3
Nachdruck verboten.
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
©Springer Basel AG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel1976
Softcoverreprint ofthe hardcover1st edition 1976
ISBN 978·3·0348·5500·6
VORWORT
Die vorliegende kleine Monographie knüpft an zwei Gebiete der Analysis an.
Das eine ist die Variationsdifferenzenmethode zur näherungsweisen Lösung von
Randwertaufgaben für Differentialgleichungen; dafür ist auch der Name Me
thode der finiten Elemente gebräuchlich. Das andere Gebiet ist die Konstruktive
Funktionentheorie. Unser Ausgangspunkt ist der Aufbau spezieller Klassen von
Koordinatenfunktionen für die Variationsdifferenzenmethode durch elementare
Transformationen der unabhängigen Variablen aus gewissen vorgegebenen
Funktionen, die der Verfasser Ausgangsfunktionen nennt. Sind diese Koordina
tenfunktionen konstruiert, entsteht die Frage nach ihren Linearkombinationen,
mit denen Funktionen der einen oder der anderen vorgegebenen Klasse approxi
miert werden können, sowie die Frage nach dem Genauigkeitsgrad einer solchen
Approximation in dieser oder jenen Norm. Das ist bereits ein Problem der Kon
struktiven Funktionentheorie.
Die Monographie besteht aus elf Kapiteln. Im ersten Kapitel wird die Idee
von R. CoURANT erörtert, die die Grundlage der Variationsdifferenzenmethode
bildet. Ausführlich wird ein Beispiel von CouRANT diskutiert, und anband des
Beispiels wird der Begriff der Ausgangsfunktion eingeführt. Es wird die all
gemeine Definition dieses Begriffes gegeben und ein Verfahren zur Konstruk
tion von Koordinatenfunktionen aufgezeigt.
Die Kapitel II-VI stehen in engerem Zusammenhang mit der Konstruktiven
Funktionentheorie. In diesen Kapiteln wird die Vollständigkeit gewisser Funk
tionenklassenuntersucht sowie die Ordnung der Approximation von Funktionen
gewisser Klassen durch Linearkombinationen der Koordinatenfunktionen aus
Kapitel I oder anderen Koordinatenfunktionen betrachtet, die denen aus Kapi
tel I strukturell ähnlich sind. Im Kapitel II wird die Vollständigkeit des Systems
der Koordinatenfunktionen in SoBOLEwschen Räumen untersucht, im Kapitel
III die Approximationsordnung in den gleichen Räumen. Das Kapitel IV be
schäftigt sich mit der Approximation auf dem Gitter, die auf den sog. Ausgangs
funktionen mit breitem Träger beruht. Hier wird insbesondere der einfachere
Fall einer Funktion einer Variablen betrachtet. In den Kapiteln V und VI wird
die Genauigkeit der Approximation von Funktionen untersucht, die Lösungen
entarteter gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen sind. Die Appro-
VI Vorwort
ximation wird hauptsächlich in der entsprechenden energetischen Metrik be
trachtet.
Die Kapitel VII-IX sind der Variationsdifferenzenmethode gewidmet. Im
Kapitel VII wird gezeigt, daß der größte Näherungseigenwert eines positiv defi
niten Operators mit diskretem Spektrum, der mit Hilfe der Variationsdifferen
zenmethode bei fester Gitterkonstante bestimmt werden kann, von gleicher
Ordnung wächst wie der exakte Eigenwert mit der gleichen Nummer. Es werden
einige weitere Sätze über Eigenwerte bewiesen. Im Kapitel VIII werden ver
schiedene V erfahren zum Aufstellen der Variationsdifferenzengleichungen in
Abhängigkeit von der Art der Differentialgleichung und des Charakters der
Randbedingungen betrachtet. Es werden insbesondere Differenzenschemata mit
Grenzschicht konstruiert, die zu linearen Gleichungssystemen wesentlich kleine
rer Ordnung führen. Im Kapitel IX werden die Stabilität der Variationsmethode
und die Konditionszahl der entsprechenden Matrix untersucht. Der Verfasser
geht nicht auf Verfahren zur Lösung der Differenzenschemata ein, da dieses
Problem in der Literatur ausreichend behandelt ist; es gibt darüber viele
Arbeiten und Bücher. Ein numerisches Beispiel beschließt das Kapitel.
Das zehnte Kapitel ist gewissen speziellen Quadratur- und Kubaturformeln
gewidmet. Jede Formel zur Approximation einer Funktion führt offensichtlich
auf irgendeine Formel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Die
Approximationsformeln, die in den ersten Kapiteln entwickelt werden, führen
im eindimensionalen Fall auf die klassische Formel von EuLER-MACLAURIN. Im
mehrdimensionalen Fall werden natürliche Analoga dieser Formel erhalten. In
üblicher Weise, nämlich durch Ersetzen der Ableitungen durch Differenzen
ausdrücke, kann man hieraus die mehrdimensionalen Analoga der GREGORY
Formel erhalten.
Im letzten, dem XI. Kapitel, wird die Variationsdifferenzenapproximation
mit multiplikativen Ausgangsfunktionen, die in den Kapiteln II und III kon
struiert werden, zur näherungsweisen Konstruktion der Resolvente eines Fred
holmschen Kerns benutzt. Das ermöglicht, ziemlich einfach eine Näherungs
lösung einer Fredholmschen Gleichung ohne Lösung eines linearen Gleichungs
systems zu konstruieren.
In den Darlegungen der Monographie werden durchweg nur kubische Gitter
betrachtet.
Die Monographie beruht auf Ergebnissen des Verfassers, in geringem Maße
werden auch Resultate anderer Autoren benutzt.
Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit den Elementen der Funktional
analysis einschließlich der SoBOLEWschen Einbettungssätze sowie mit den
Variations- und Differenzenmethoden vertraut ist.
Leningrad, im März 1974 s. MICHLIN
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel I. Ausgangsfunktionen................................................ 1
§ 1. Grundlagen der Variationsdifferenzenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 2. Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 3
§ 3. Die wichtigsten Besonderheiten der Matrizen beim Differenzenverfahren . . . . . 9
§ 4. Ausgangs- und Koordinatenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 5. Interpolationseigenschaften der Ausgangssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kapitel 11. Vollständigkeit und Fundamentalbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 1. Approximation glatter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2. Ober die Fortsetzung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 3. Vollständigkeit in SoBOLEwschen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 4. Ober die kleinste Anzahl von Ausgangsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 5. Die Notwendigkeit der Fundamentalbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 6. Ausgangssysteme der Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§ 7. Ausgangsfunktionen höherer Dimension und der Höhe Null . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 8. Ein Ausgangssystem für m = s = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 9. Multiplikativa Ausgangssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kapitel III. Die Approximationsordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 1. Approximationsordnung in gleichmäßigen Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 2. Ober die Mittelung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 3. Die Ordnung der Approximation von Funktionen SoBOLEwscher Klassen . . . . . 52
§ 4. Präzisierung der Konstanten im einfachsten Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 5. Approximation mit Hilfe multiplikativer Ausgangsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 6. Verstärkte Fundamentalbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§ 7. Einige allgemeine tlberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§ 8. Eine allgemeinere Klasse von Ausgangssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Kapitel IV. Ausgangssysteme mit breitem Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
s 1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 2. Fundamentalbeziehungen für Systeme der Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§ 3. Ein Beispiel (Parabolische Approximation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§ 4. Fundamentalbeziehungen für Systeme beliebiger Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kapitel V • .Approximation in eindimensionalen entarteten Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§ 1. Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§ 2. Ober die Vollständigkeit eines Koordinatensystems, das in einer nichtentarte-
ten Metrik vollständig ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
VIII Inhaltsverzeichnis
§ 3. Gleichungen zweiter Ordnung; der Fall schwacher Entartung . . . . . . . . . . . . . 77
§ 4. Der Fall 1 ~ "' ~ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 5. Einige Eigenschaften der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 6. Verbesserung der Abschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 7. Der Fall"' ;::;:;2 ...................................................... 87
§ 8. Gleichungen allgemeinerer Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 9. Approximation im L2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 92
§ 10. Andere Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Kapitel V I. Einige entartete zweidimensionale Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 1. Radiale Gitter und approximierende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 2. Eine Abschätzung für das erste Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 3. Eine Abschätzung für das zweite Integral ................................ 100
§ 4. Die Klasse 0(2, ") • • . . • • • • • • . . . • • • . • • • . • . . • • • • • • . • . . . . . . . • . . . . . . . • . . • • . 103
§ 5. Approximation in den Räumen C und Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 6. Entartete elliptische Gleichungen zweiter Ordnung ........................ 105
Kapitel VII. Approximation von Eigenwerten .................................. 107
§ 1. Die Ordnung des größten Näherungseigenwertes. Aufgabenstellung .......... 107
§ 2. Das RITzsehe Verfahren ............................................... 108
§ 3. Variationsdifferenzenmethode. Der eindimensionale Fall ................... 109
§ 4. Der Fall mehrerer Veränderlicher ....................................... 112
§ 5. Eine Fehlerabschätzung für Eigenwerte mit fester Nummer ................ 116
Kapitel V I II. Aufstellung der Variationsdifferenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 1. Die erste Randwertaufgabe. Eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten im
Kubus .............................................................. 119
§ 2. Der Fall variabler Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 3. Natürliche Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 4. Näherungsweise Befriedigung der Randbedingungen der ersten Randwert-
aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 5. Gleichungen auf radialem Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
§ 6. Variationsdifferenzenschemata mit Grenzschicht. Eindimensionale Aufgaben 129
§ 7. Variationsdifferenzenschemata mit Grenzschicht. Mehrdimensionale Aufgaben 134
§ 8. Nichtselbstadjungierte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Kapitel IX. Fehleranalyse im Variationsdifferenzenschema ........................ 139
§ 1. Zur Stabilität eines numerischen Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§ 2. Stabilität der Variationsdifferenzenmethode. Eindimensionales Problem ..... 141
§ 3. Stabilität der Variationsdifferenzenmethode für mehrdimensionale Aufgaben 146
§ 4. Stabilität der Variationsdifferenzenmethode bei Eigenwertaufgaben ......... 150
§ 5. Über die Konditionszahl der Matrix des Variationsdifferenzenschemas ....... 151
§ 6. Aufgaben in beliebigen Gebieten und mit beliebigen Randbedingungen . . . . . . 152
§ 7. Ein numerisches Beispiel: Eine entartete gewöhnliche Differentialgleichung
zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Kapitel X. Die Euler-MacLaurinsche Formel ................................... 160
§ 1. Eine neue Herleitung der EuLER-MACLAURINschen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 2. Eine der EuLER-MAcLAURINschen Formel ähnliche Quadraturformel . . . . . . . . 163
§ 3. Das Analogon der EuLER-MAcLAURINschen Formel für den Kubus . . . . . . . . . . 164
§ 4. Das Integral über die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Inhaltsverzeichnis IX
Kapitel XI. Über Integralgleichungen ......................................... 170
§ 1. Approximation des Kerns und der Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 2. Die Genauigkeit der Approximation ..................................... 174
§ 3. Rundungsfehler. Absolute Abschätzungen ............................... 176
§ 4. Rundungsfehler. Wahrscheinlichkeitstheoretische Abschätzungen ........... 178
§ 5. Integralgleichungen, die durch Iterierte gelöst werden können .............. 180
§ 6. Einige Bemerkungen .................................................. 182
§ 7. Gleichungen mit schwacher Singularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 8. Integralgleichungen der Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Literaturverzeichnis . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195