Approche fonctorielle et combinatoire de la propérade des algèbres double Poisson

300 Pages·2017·2.36 MB·French

Thèse de Doctorat
Johan L
ERAY
Mémoire présenté en vue de l’obtention du
gradedeDocteurdel’Université d’Angers
sous le sceau de l’Université Bretagne Loire
Écoledoctorale:Sciencesettechnologiesdel’information,etmathématiques
Discipline:Mathématiquesetleursinteractions,sectionCNU25
Unitéderecherche:Laboratoirederechercheenmathématiquesangevin(LAREMA)
Soutenuele5décembre2017
Approche fonctorielle et combinatoire de la
propérade des algèbres double Poisson
JURY
Rapporteur: Mme Muriel LIVERNET,Professeur,UniversitéParisDiderot
Examinateurs: Mme Alessandra FRABETTI,Maîtredeconférence,UniversitéLyon1
M.Éric HOFFBECK,Maîtredeconférence,UniversitéParis13
M.Vladimir RUBTSOV,Professeur,Universitéd’Angers
M.Friedrich WAGEMANN,Maîtredeconférence,UniversitédeNantes
Directeurdethèse: M.Geoffrey POWELL,DirecteurderechercheCNRS,Universitéd’Angers
***
Rapporteur: M.Martin MARKL,Professeur,MathematicalInstituteoftheCzechAcademy

ThèsepourobtenirlegradedeDocteurèsMathématiques
APPROCHE FONCTORIELLE ET COMBINATOIRE DE
LA PROPÉRADE DES ALGÈBRES DOUBLE POISSON
présentéeàl’Universitéd’Angerspar
Johan LERAY
sousladirectionde
Geoffrey POWELL -DirecteurderechercheCNRS
soutenuele
5 décembre 2017

Cetravaildethèseaétéfinancéepar
Soutiendenouvellethématiqueàl’arrivéed’unnouveauchercheur,
Conventionnuméro2013-10203/10204entrelaRégiondesPaysdela
Loireetl’Universitéd’Angers

REMERCIEMENTS
Cettethèseestl’aboutissementdutravailquej’aimenépendanttroisannéesauseindulabora-
toiredemathématiquesd’Angers.Cemanuscritn’auraitpuvoirlejoursansl’aideetlesoutienque
m’ontapportéuncertainnombredepersonnesquiméritentd’êtrecitéesici.
Je tiens à commencer par remercier grandement mon directeur de thèse, M. Geoffrey Powell,
sans qui ce document n’existerait pas. Merci de m’avoir fait confiance, d’avoir été si présent pour
moipendantplusdetroisans,depuismonmémoiredemasterjusqu’àlafinmouvementéedecette
thèse.Vousaveztoujoursétéd’unsoutiensansfaille,mêmedanslesmomentslesmoinsagréables.
Merciégalementàl’armadadestylosrougesquiaétédéciméelorsdevotrerelectureextrêmement
minutieuse de ce manuscrit. Encore merci pour tous ces moments au tableau autour d’un café, à
vousacharneràmefairecomprendredesrudimentsdetopologiealgébriqueclassique,d’homotopie
stable,degéométriealgébriquedérivée,etc...Grâceàvous,j’aiaujourd’huiunpeumoinspeurdes
spectres.J’auraiapprisàvotrecotéàapprécierl’approchefonctorielledesmathématiques,approche
quimesemblesibelleaujourd’hui.Mercipourtoutcelaetpourtoutlereste.
Jetiensensuiteàremercierlesrapporteursdecemémoire,MmeMurielLivernetetM.Martin
Markl, pour avoir consacré autant de temps à une relecture minutieuse de ce manuscrit, pour les
différentesremarquesetenrichissementsqu’ilsyontapportés.Toutparticulièrement,jetiensàre-
merciergrandementM.Markld’avoiraccepterderelirecemanuscritenfrançaisetMmeLivernet
pourlalonguediscussionquenousavonspuavoiraprèslesrencontresduGDRqu’elleaorganisées
à Paris. Je tiens également à remercier le reste des membres de mon jury qui m’ont fait l’honneur
etleplaisirdevenirassisteràmasoutenance:merciàMmeAlessandraFrabetti,notammentpour
les discussions que nous avons pu avoir lors de notre rencontre aux Diablerets; merci à M. Éric
Hoffbeck, pour sa relecture minutieuse de mon manuscrit et son expertise sur les bases PBW; un
grand merci à M. Friedrich Wagemann, avec qui j’ai toujours eu plaisir à converser de mathéma-
tiques,quin’ajamaisétéavarenienexplications,nientemps,etquiatoujoursporterunintérêtà
mon travail; enfin, un grand merci à M. Vladimir Rubtsov, d’avoir partagé avec moi, un peu de sa
grande expertise mathématique, d’avoir toujours su me conseiller de bonnes lectures, me poser de
bonnes questions afin de me faire progresser et d’élargir le champ de mes intérêts, tout cela avec
uneextrêmegentillesse.
À présent un grand merci aux différents membres du Laboratoire Angevin de REcherche en
MAthématiques (LAREMA), pour leur accueil, il y a déjà plus de trois ans, lors mon mémoire de
master 2. Pour commencer, merci aux membres de l’équipe Physique Mathématique et Topologie
Algébrique:encoreunefois,merciàGeoffreyetVolodyapourtouteslesdiscussionsetlesconseils
qu’ilsontpumeprodiguer,etauxnombreusesactivitésqu’ilsontorganiséesavecungrandinvestis-
sement.JeremercieLucpourm’avoirsichaleureusementexpliquerlesarcanesdulaboratoire,pour
7
m’avoirparrainersurmonpremierenseignement,etpourtouteslesdiscussionsmathématiques,de
politique interne, et autres que nous avons pu avoir; merci à Mattia pour sa bonne humeur et son
léger accent italien qui ont amenés tant de soleil dans notre salle café; merci à Jean-Claude pour
avoir partagé sa grande expérience et son expertise, merci pour tes conseils et tes compliments,
notammentceuxquetum’avaisprodiguéaprèsmonpremierexposédegroupedetravail,pendant
lequeljen’enmenaispaslarge.Enfin,merciàSinan,pourtouscesmomentsàparlerdemathéma-
tiques,maiségalementpourtouslesautresmoments(àl’heureoùj’écrisceslignes,nousvenonsde
partagerunenouvelleéditiondesUtopiales,édition,mafois,fortpeureposante...Àquilafaute?).
Je tiens également à remercier tous les autres membres du laboratoire, en particulier : Frédé-
ricetMohammed,pourleurdirectionrespectivedulaboratoireetdudépartement;François,pour
m’avoirfortementépaulépendantcestroisannées,notammentpouravoir,grâceàlui,expérimenté
les ateliers (et la relecture d’articles) Math.en.Jeans, pour avoir partagé avec lui les olympiades
de maths, pour sa disponibilité afin de répondre à mes questions et mes inquiétudes au niveau de
l’enseignement et de l’informatique; merci à Hélène, qui m’a fait confiance pour m’occuper d’une
partiedesheuresdeprépaCAPES;merciàÉtienne,notammentpoursagestiondesrelationspar-
foisconflictuellesavecl’EDSTIM,maiségalementpourl’ensembledesdiscussionsmathématiques
(mais pas que) que nous avons pu avoir; un grand merci à Daniel N., pour m’avoir introduit à
Tikz, pour les enseignements que nous avons partagés et surtout pour toutes les discussions non-
mathématiques que nous avons pu avoir avec Laurent E., que je remercie également, autour d’un
caféou,poursapart,d’unetassedethéblancpréparéeméticuleusement;enfin,merciàRodolphe,
Fabien,Nicolas,FrédéricP.(poursesconseilslittéraires),Moha,LaurentM.,Jacquelin.
Merci àCaroline, poursa gentillesse,et àDenis, poursa joiede vivre communicative, qui nous
donnechaquesemaineunetrèsbonneexcusepourarrêterdetravailler.Enfin,merciàAlexandra,
pour toute son aide, pour ses délicieux gâteaux, pour toutes les pauses café que nous avons pu
partager.Ilestclairquejeregrettedéjàtouteslesfoisoùj’aipuvenir"t’embêter".
Enfin,ungrandmerciàl’ensembledesdoctorantsetassimilésquej’aipucroisédanslescouloirs
duLAREMApendantcestroisans.Pourcommencer,mercilesplusanciens:MonsieurSimon(une
premièrefois)quim’aréservéuneplacedanslemeilleurbureaudulabo,encompagniedeJérôme
T., discret mais toujours souriant; Benjamin, pour toutes les discussions que nous avons eu sur ce
quec’estqu’êtredoctorantettoutlereste.Jetesouhaiteunebonnecontinuationaprèstonpost-doc
parisien,enespérantquetupuissestrouverunposte;Quiet,mon"grandfrère"dethèse,avecquije
n’ai malheureusement échangé que trop rarement; Delphine et Mohamed, pour leur organisation
du groupe de travail des doctorants à mon arrivée, et pour tout le reste; Ahn, pour son éternelle
bonnehumeur.
Merci également à ceux de "ma génération" : Viet Ahn, avec qui j’ai partagé le bureau I104
pendanttroisans;Clémentledémotivateur,pourtonamour(addiction)delabièreetdusaucisson
(quirésisteàl’envahisseurvégétalien),pourtouteslesfoisoùtuesvenunousvoirtravailler.Nous
pourrons,peut-êtreunjour,partagerunepartiedeDon’tStarvetogether;LeLi,toujourssouriant
etavecquij’aitoujoursleplaisirdepartageruncafé.
Un mot également concernant Gaël et Zeina, de passage une année au LAREMA : bon courage
à toi Gaël, pour la poursuite de tes recherches au Brésil, le laboratoire de Sao Paulo a récupéré
unexcellentchercheurmaissurtoutunjoyeuxdrille;etenfinbravoàtoi,Zeina,pourtonpostede
MCFàBesançon.
Enfin, un dernier mot pour les "jeunes" : Ann, merci pour toutes les discussions passionnantes
et enrichissantes sur de multiples sujets que nous avons pu avoir, qui m’auront fait énormément
8
réfléchir, pour tes coups de gueules lors de la préparation de tes cours ou lors de la correction de
certainescopies,pourl’organisationdesrencontresdoctoralesquenousavonspartagée,etpourtout
lereste;merciàAlexis,quitientlaseulesalled’arcadevalabledetoutledépartement,quin’aura
jamaiseupeurdetenterdenousfairecomprendresonintérêtpourleséquationsauxq-différences;
merciàJérômeS.,ledernierarrivédubureauI104,quiaurafini(avecSinan)d’acheverlepassage
verslecotéobscurd’uncertainnombredesdoctorants,pourvuqueceladure;enfin,merciàMarine,
Axel et Ouriel, mon "petit frère de thèse", qui vont, j’en suis sûr, perpétrer la bonne ambiance qui
règnedanscettepetitemaissolideéquipededoctorant·e·s:vousavezbiencommencé,nefaiblissez
pas.
Je ne saurais poursuivre ces remerciements sans écrire quelques mots concernant le LMJL et
ses occupants. Un grand merci aux différents enseignant·e·s et personnels qui m’ont accueilli :
GillesCarronetYahnRollin,pourm’avoirpermisd’avoirunaccèsaulaboratoireafind’assisterau
séminaireetd’yvenirtravaillerunefoisparsemaine;l’équipeTGAavecdansledésordreBaptiste,
qui fût le premier à m’accueillir en tant que collègue, et sa volonté de nous faire comprendre les
catégoriesdeFukaya(désolé,ilmeresteencoreunpeudetravail),Paolo,poursesdélicieuxgâteaux,
Christophe,poursonencadrementdemonmémoiredemaster1,etégalementSylvain,FrançoisL.
etVincentC.ettoutparticulièrementceuxquiontanimésnosdifférentsgroupesdetravailAngers-
Nantes, Aurélien, Vincent F., Hossein, Laurent, et Friedrich. Merci également à Salim, pour sa
passiondébordanteetcommunicativedesmathématiques,passionquiaoccupéuncertainnombre
de nos trajets communs en train. Un grand merci à Simon Covez, dont la pale copie continue de
massacrer du JJG sur les ondes, merci pour nos échanges algébriques, sur l’enseignement, pour
les parties de taroinches, et les "quelques" soirées que nous avons faites ensemble. Enfin merci
aux autres membres du LMJL, notamment Brigitte du secrétariat et Claude du CRDM, qui m’ont
toujoursréservéunaccueilchaleureux.
Ilestgrandtempsderemercierl’ensembledesdoctorantsquej’aipucôtoyerlorsdemesjeudis
nantais : tout d’abord, merci à Victor M.D., Moudhaffar et Florian pour avoir partagé leur bureau
lors de mes venues, cela a toujours été un plaisir de faire des maths en votre compagnie; merci
égalementGuillaume,poursatrèsgrandeconnaissancedelagéométrie,notammentsurEuclidea;
merci Olivier, j’espère que tu reviendras très vite des Hauts de France, pour que nous puissions
de nouveau partager une bière au Sur Mesure, à moins que tu ne préfères la scène Michelet. En
toutcas,nousn’oublieronspasdedemanderàCarolineV.denousaccompagner,j’enprofitepourla
remercierégalement;merciàJacques,poursagentillesseetlapédagogiedontilafaitpreuvepour
essayer de m’expliquer tant de choses lors de nos différents échanges mathématiques; un grand
merci à Victor Vilaça Da Rocha (j’aurai au moins écrit une fois ton nom sans me tromper), pour
son incommensurable amour et connaissance du cinéma et de la musique (un petit air d’Agnès
Obelmetrottedanslatête,superposéàunsolodeguitaresaturéevenudirectementdelafêtedes
enfers,c’estdirecommetonspectreestlarge),pourtabonnehumeursicommunicative;également
un grand merci à Noémie, pour son éternel sourire et ses chants guillerets qui me font penser
que les invariants de nœuds rendent les gens heureux; un très grand merci à M. Thomas Wallez,
pourlenombreincalculabledeblaguesqu’ilaproduit,celledutapisvolantentête,pourtoutesces
explicationssurlessubtilitésduhandball,pourtousleséchangesautourdel’enseignementetnotre
passion commune pour la bonne bouffe et la bonne bière; enfin merci aux arrivants plus récents,
notamment Caroline R., qui me fait toujours rire, Solène et son addiction à la taroinche, Matthieu
D., pour les manifs que nous avons partagé et cette soirée traquenard à Angers; Hélène, pour ces
cafés dans les trains en directions de GDR où très certainement, nous n’allions rien comprendre
9
auxexposés.UnmerciégalementàCôme,MatthieuK.,Zoé,Nicolló,GuillemetClaire.Également
merciàRonan,legrimpeurfou,expatriéàPoitierspoursathèse.
Commentpourrais-jeoublierlesfabuleux,lesmagnifiquessolidesdubureau9.Ungrandmerci
à Valentin, enfin revenu de Mayotte où il a expérimenté le semi-groupe de la chaleur, ainsi que
malheureusement,lesinégalités.Jesuisraviquetuespurevenirt’installerenquasi-voisinavecla
toujourssourianteCamille,qued’apéros,desoiréesetdevacancesnousallonspouvoirdenouveau
partager.Jevoussouhaitelemeilleuràtouslesdeux.
Également un grand merci à M. Pierre Vidotal, le meilleur des bizuts, qui a hérité, il y a fort
longtemps,dupiredesparrains.Toiaussi,tuasenfinpurevenird’unelointaineetobscurecontrée
appelée Vendée, où règne un mâle qui ne dort jamais (Simon). Un grand merci à Elsa et à la plus-
si-petiteLisa,jevoussouhaitetoutlebonheurdumonde,commelediraitunechansonpasterrible
(oui, je reste et resterai bégueule en musique, mais pas que). Vous formez une bien belle famille,
quej’aitoujoursplaisiràretrouverautourd’unepetitepartiedepaletssurlesbordsdel’Erdre,ou
àl’unedecesfameusessoirées"pasdeprojet".
Attention,messaged’urgencetransmitparleministèredel’agriculture:onannonceunebaisse
importantedelaconsommationdebièresetdesaucissonsenrégionNantaisedepuisunpeumoins
de deux ans. Cette diminution entraîne un déséquilibre important du marché agricole de l’Ouest,
avec de graves conséquences sur l’économie. Le ministre et toute son équipe cherche activement
unesolution.J’enaiunesimpleetpeucoûteuse:unbilletd’avionMontréal-Nantesàl’attentionde
M.Gobin.Unimmensemerci,Damien,pourtoutcequenousavonspartagédepuislemaster1:les
discussionsmathématiques,labière,lesdiscussionspolitiques,lesaucisson,notrevisioncommune
de l’enseignement, encore la bière, une partie de console, un ibuprofène, nos réflexions quant aux
métiers de fin de carrière, nos vacances dans le Sud avec le reste de la fine équipe, les expéditions
plages,lesboîtesdeHaribo,relabièreetlesaucisson.Enfinbref,touscesmomentsquisefonttrop
rares depuis que tu es parti outre atlantique. J’ai hâte que tu reviennes du pays des caribous (en
plus,nous,onadufromage!).
L’enchaînement est tout trouvé : un très grand merci aux exilés parisiens, que j’ai toujours
plaisir à retrouver lors des vacances (ou d’une conf à Paris). À commencer par Monsieur Charron,
pour ton aide en prépa agreg, ton chaleureux accueil à l’île d’oeil (pour tolérer mes jeux de mots
foireux), pour nos discussions autour de l’enseignement, toujours enrichissantes pour moi, et pour
toutlereste.MerciàPtiRadisetMoyenRadis,connuségalementsouslespseudonymesClaudieet
Émilien:Claudie,pourtouslescafésdedémotivationsquejet’aiforcéàprendreetquinet’auront
finalement pas si mal réussi et Émilien, maestro à la fois de la physique et des pots de thèses,
pouravoirétél’investigateurdecefameuxMcDoàEscoursequinousaurafaittantrire(alorsque
le repas qui suivi, bizarrement beaucoup moins, merci Pti-radis ...). Encore merci à tous les deux.
Merci beaucoup à Leïla, tous ces moments de fou rire, notamment au sujet de Dagobert, et pour
nous avoir accueilli dans ta colloc pour d’innombrables soirées inoubliables en ta compagnie. Un
grand merci à Maëva, Nicolas et le très jeune Arthur (que j’ai hâte de rencontrer), pour tous les
cafés pris en prépa agreg (avec Claudette), pour votre accueil chaleureux dans votre jolie maison :
jevoussouhaitepleindebonheurdansvotrenouvellevieàtrois.
Ces remerciements seraient incomplet sans évoquer le nom de M. Beaudouin : Thomas, merci
pour tout, tout ce que nous avons pu partager pendant ces années, qui commencent à être nom-
breuses, ces moments de maths, ces nombreux débats politiques, syndicaux, et autour de l’ensei-
gnement. Un grand merci pour toutes ces soirées, notamment les soirées angevines dans ton petit
appart de la Doutre, en compagnie de Simon (encore lui) et Sébastien. J’espère que tu pourras
10