Applied mathematical programming using algebraic systems

567 Pages·1.294 MB·English

by  McCarl B.A., Spreen T.H.

APPLIED MATHEMATICAL PROGRAMMING
USING ALGEBRAIC SYSTEMS
by
Bruce A. McCarl
Professor of Agricultural Economics
Texas A&M University
[email protected]
Thomas H. Spreen
Professor of Food and Resource Economics
University of Florida
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0-1
CHAPTER I: INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.1 Practical Problem Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.2 Mathematical Programming Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.3 Mathematical Programming in Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
1.3.1 Generating Problem Insight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.3.2 Numerical Mathematical Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.3.3 Algorithmic Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5
1.4 Book Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5
CHAPTER II: LINEAR PROGRAMMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.1 The Basic LP Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.2 Basic LP Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2
2.3 Other Forms of the LP Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4
2.4 Assumptions of LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4
2.4.1 Objective Function Appropriateness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5
2.4.2 Decision Variable Appropriateness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5
2.4.3 Constraint Appropriateness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5
2.4.4 Proportionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-6
2.4.5 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-7
2.4.6 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-7
2.4.7 Certainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-8
CHAPTER III SOLUTION OF LP PROBLEMS: A MATRIX ALGEBRA APPROACH . . 3-1
3.1 Matrix Formulation of the Linear Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.2 Solving LP's by Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.2.1 The Simplex Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-7
3.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-7
3.3 Solutions and Their Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11
3.3.1 General Solution Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11
3.3.2 Examples of Solution Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-12
3.3.3 Finding Limits of Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14
3.3.3.1 Ranging Right-Hand-Sides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14
3.3.3.2 Ranging Objective Function Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 3-17
3.3.3.3 Changes in the Technical Coefficient Matrix . . . . . . . . . . . . . 3-18
3.3.4 Finding the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-20
3.3.5 Alternative Optimal and Degenerate Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-21
3.3.6 Finding Shadow Prices for Bounds on Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23
3.4 Further Details on the Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-24
3.4.1 Updating the Basis Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-25
3.4.2 Advanced Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-26
3.4.3 Finding an Initial Feasible Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-27
3.4.3.1 BIG M Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-29
3.4.3.2 Phase I/Phase II Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-30
3.4.4 The Real LP Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-31
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33
CHAPTER IV: DUALITY IN LINEAR PROGRAMMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.1 Basic Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.2 Primal-Dual Solution Inter-Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3
4.2.1 Objective Function Interrelationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4
4.2.2 Constructing Dual Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5
4.2.3 Complementary Slackness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6
4.2.4 Zero Profits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-7
4.2.5 Finding the Dual Solution Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8
4.3 Duality Under Other Model Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8
4.4 The Character of Dual Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-12
4.5 Degeneracy and Shadow Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-13
4.6 Primal Columns are Dual Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15
CHAPTER V: LINEAR PROGRAMMING MODELING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1
5.1 Introduction to Algebraic Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
5.1.1 Defining Indices and GAMS Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
5.1.2 Writing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3
5.1.2.1 Unindexed Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3
5.1.2.2 Indexed Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4
5.1.3 Data Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-5
5.1.4 Entering Data Through Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7
5.1.5 Specification of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7
5.1.6 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8
5.1.7 Writing Model Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8
5.1.7.1 Objective Function Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9
5.1.7.2 Constraint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9
5.1.8 Specifying Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-10
5.1.9 Forming and Solving a Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-11
5.1.10 Report Writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-11
5.1.11 Additional GAMS Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12
5.2 Putting GAMS and Algebraic Modeling Together -- The Resource Allocation Prob5l-e1m3
5.2.1 Example and GAMS Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14
5.2.2 Model Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-18
5.2.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-18
5.3 The Transportation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-19
5.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-22
5.3.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-25
5.4 Diet/Feed Mix/Blending Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-27
5.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-30
5.4.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-31
5.5 Joint Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-32
5.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-35
5.5.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-37
5.6 Comments on GAMS and Algebraic Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-38
5.6.1 Why Use Algebraic Modeling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-38
5.6.2 Why Use GAMS to Support Modeling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-39
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-44
CHAPTER VI: TOWARD PROPER MODELING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1
6.1 Structural Component Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1
6.1.1 Development of Model Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1
6.1.2 Avoiding Improper Constraint Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3
6.1.3 Variable Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4
6.1.4 Objective Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5
6.1.5 Development of Model Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5
6.2 The Proper Usage of Variables and Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-6
6.2.1 Improper and Proper Handling of Joint Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7
6.2.2 Alternatives for the Use of a Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-8
6.2.3 Improper Specification of Multiple Factor Relationships . . . . . . . . . . . . 6-9
6.2.4 Erroneous Imperfect Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-10
6.3 Simple Structural Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11
6.3.1 Homogeneity of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11
6.3.2 Numerical Model Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12
6.4 Data Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12
6.4.1 Time Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12
6.4.2 Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13
6.4.3 Data Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13
6.4.4 Calculation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13
6.4.5 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14
6.4.6 Specification of Individual Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14
6.4.6.1 Objective Function Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14
6.4.6.2 Right hand Side Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-15
6.4.6.3 Technical Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16
6.5 Purposeful Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16
6.5.1 Model Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16
6.5.2 Report Writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-18
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-20
CHAPTER VII: MORE LINEAR PROGRAMMING MODELING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1
7.1 Assembly Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1
7.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2
7.1.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3
7.2 Disassembly Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3
7.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4
7.2.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4
7.3 Assembly-Disassembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5
7.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6
7.3.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-7
7.4 Sequencing Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-9
7.4.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-13
7.4.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14
7.4.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15
7.5 Storage Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-16
7.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-18
7.5.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-18
7.6 Input Output Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-19
7.6.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-21
7.6.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-21
7.7 Block Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-22
7.7.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-23
7.7.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-24
7.8 Concluding Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-24
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-27
CHAPTER VIII: MULTI-YEAR DYNAMICS AND LINEAR PROGRAMMING
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1
8.1 Dynamics Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1
8.1.1 Should Dynamics be Explicit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1
8.1.2 How Long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2
8.1.3 Time Interval Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3
8.1.4 Initial and Terminal Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3
8.1.5 Enterprise Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-4
8.1.6 Time Preference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-4
8.1.7 Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.2 Dynamic Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.2.1 Disequilibrium - Known Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.2.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7
8.2.2 Disequilibrium - Unknown Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-8
8.2.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9
8.2.2.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10
8.2.3 Equilibrium - Known Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10
8.2.3.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11
8.2.3.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12
8.2.3.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15
8.2.4 Equilibrium - Unknown Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15
8.2.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16
8.2.5 Overall Comments on Dynamic Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . 8-16
8.3 Recursive Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-17
8.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-18
8.3.2 Comments on Recursive Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-19
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-20
CHAPTER IX: LINEAR PROGRAMMING MODELING:
NONLINEARITIES AND APPROXIMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1
9.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1
9.1.1 Minimization of the Sum of Absolute Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1
9.1.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-3
9.1.1.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5
9.1.2 Minimization of Largest Absolute Deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5
9.1.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-6
9.1.2.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-7
9.1.3 Optimizing a Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-7
9.1.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-9
9.1.3.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10
9.2 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10
9.2.1 Grid Point Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10
9.2.1.2 Functions with Separable Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10
9.2.1.1.1 Example 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12
9.2.1.1.2 Example 2: Separable Terms in the Constraints . . . 9-13
9.2.1.2 Gridpoints and Gridpoint Refinements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-14
9.2.1.3 Gridpoint Approximation of Functions of Multiple Variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-14
9.2.1.3.1 Homogeneous of Degree 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-15
9.2.1.3.2 Homogeneous of Degree Less Than One . . . . . . . . 9-16
9.2.1.3.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-18
9.2.2 Iterative Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19
9.2.3 Other Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-20
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-21
CHAPTER X: MODELING SUMMARY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.1 Types of Constraints and Variables in Linear Programming Models . . . . . . . . . 10-1
10.1.1 Types of Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.1.1.1 Resource Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.1.1.2 Minimum Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-2
10.1.1.3 Supply and Demand Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-2
10.1.1.4 Ratio Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3
10.1.1.5 Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4
10.1.1.6 Accounting Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.1.1.7 Deviation Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.1.1.8 Approximation or Convexity Constraints . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.1.2 Types of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.1.2.1 Production Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.1.2.2 Sales Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6
10.1.2.3 Purchase Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6
10.1.2.4 Transformation Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
10.1.2.5 Slack Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
10.1.2.6 Surplus Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
10.1.2.7 Artificial Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
10.1.2.8 Step Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.1.2.9 Deviation Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.1.2.10 Accounting Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.2 "Violations" of the Algorithmic Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.2.1 Nonproportional Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-9
10.2.2 Non-Additive Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-10
10.2.3 Uncertainty Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11
10.2.4 Noncontinuous Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-12
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-13
CHAPTER XI: MULTI-OBJECTIVE PROGRAMMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1
11.1 Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2
11.1.1 Lexicographic Utility - Target Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3
11.1.2 Utility Tradeoff Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-4
11.1.3 Unknown Utility Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6
11.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6
11.2.1 Lexicographic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6
11.2.2 Weighted Tradeoff - No Targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8
11.2.3 Weighted Objective and Targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8
11.3 Choice Among Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8
11.4 Developing Utility Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-9
11.5 Shadow Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-11
11.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-12
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14
CHAPTER XII: NONLINEAR OPTIMIZATION CONDITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1
12.1 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1
12.1.1 Unconstrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1
12.1.1.1 Univariate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1
12.1.1.2 Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-2
12.1.2 Global Optima-Concavity and Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-3
12.1.3 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4
12.1.3.1 Equality Constraints - The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4
12.1.3.1.1 Second Order Conditions - Constraint Qualifications:
Convexity and Concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-6
12.1.3.1.2 Interpretation of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . 12-8
12.1.3.2 Inequality Constraints - Kuhn Tucker Theory . . . . . . . . . . . 12-9
12.1.3.2.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11
12.1.3.2.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11
12.1.4 Usage of Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-12
12.2 Notes on Solution of Nonlinear Programming Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-12
12.3 Expressing Nonlinear Programs in Conjunction with GAMS . . . . . . . . . . . . . 12-13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-15
CHAPTER XIII: PRICE ENDOGENOUS MODELING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1
13.1 Spatial Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4
13.2 Multi-Market Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-8
13.3 Implicit Supply - Multiple Factors/Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-9
13.4 Aggregation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13
13.5 A Digression on the Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-16
13.6 Imperfect Competition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-18
13.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-20
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-21
CHAPTER XIV: RISK MODELING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1
14.1 Decision Making and Recourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1
14.2 An Aside: Discounting Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2
14.3 Stochastic Programming without Recourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2
14.3.1 Objective Function Coefficient Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-3
14.3.1.1 Mean-Variance Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-3
14.3.1.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-4
14.3.1.1.2 Markowitz's E-V Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 14-5
14.3.1.1.3 Formulation Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-6
14.3.1.1.4 Characteristics of E-V Model Optimal Solutions . . 14-6
14.3.1.1.5 E-V Model Use - Theoretical Concerns . . . . . . . . . 14-7
14.3.1.1.6 Specification of the Risk Aversion Parameter . . . . 14-7
14.3.1.2 A Linear Approximation - MOTAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-8
14.3.1.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-10
14.3.1.2.2 Comments on MOTAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11
14.3.1.3 Toward A Unified Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-13
14.3.1.4 Safety First . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-14
14.3.1.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-14
14.3.1.4.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-14
14.3.1.5 Target MOTAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14.3.1.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14.3.1.5.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14.3.1.6 DEMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16
14.3.1.6.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16
14.3.1.6.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-17
14.3.1.7 Other Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-17
14.3.2 Right Hand Side Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-18
14.3.2.1 Chance Constrained Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-18
14.3.2.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-19
14.3.2.1.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-19
14.3.2.2 A Quadratic Programming Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-20
14.3.3 Technical Coefficient Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-21
14.3.3.1 Merrill's Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-21
14.3.3.2 Wicks and Guise Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-21
14.3.3.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-22
14.3.3.2.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-23
14.3.4 Multiple Sources of Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-23
14.4 Sequential Risk-Stochastic Programming with Recourse . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-23
14.4.1 Two stage SPR formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-24
14.4.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-26
14.4.2 Incorporating Risk Aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-27
14.4.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-28
14.4.3 Extending to Multiple Stages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-29
14.4.4 Model Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-30
14.5 General Comments On Modeling Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-30
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-33
CHAPTER XV: APPLIED INTEGER PROGRAMMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1
15.1 Why Integer Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1
15.1.1 Fixed Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1
15.1.2 Logical Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-5
15.1.2.1 Either-or-Active Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6
15.1.2.2 An Aside: Mutual Exclusivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6
15.1.2.3 Multiple Active Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-7
15.1.2.4 Conditional Restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-7
15.1.3 Discrete Levels of Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-8
15.1.4 Distinct Variable Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-8
15.1.5 Nonlinear Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-9
15.1.6 Approximation of Nonlinear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-9
15.2 Feasible Region Characteristics and Solution Difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . 15-10
15.2.1 Extension to Mixed Integer Feasible Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-12
15.3 Sensitivity Analysis and Integer Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-12
15.4 Solution Approaches to Integer Programming Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-13
15.4.1 Rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-14
15.4.2 Cutting Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-15
15.4.3 Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-16
15.4.5 Lagrangian Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-17
15.4.6 Benders Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-18
15.4.7 Heuristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-20
15.4.8 Structural Exploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-21
15.4.9 Other Solution Algorithms and Computer Algorithms . . . . . . . . . . . 15-21
15.5 The Quest for Global Optimality: Non-Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-21
15.6 Formulation Tricks for Integer Programming - Add More Constraints . . . . . . 15-22
15.7 IP Solutions and GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-23
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-24
CHAPTER XVI: INTEGER PROGRAMMING FORMULATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.1 Knapsack - Capital Budgeting Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.1.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2
16.2 Warehouse Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2
16.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-4
16.2.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-4
16.3 Traveling Salesman Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-5
16.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-6
16.3.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-7
16.4 Decreasing Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-7
16.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-8
16.4.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-9
16.5 Machinery Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-10
16.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-10
16.5.2 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-11
16.6 Other Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-11
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12
CHAPTER XVII: FIXING IMPROPERLY WORKING MODELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-1
17.1 Unacceptable Solution Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-1
17.1.1 Solver Failure -- Causes and Prevention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-1
17.1.2 Unbounded or Infeasible Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-1
17.1.3 Unsatisfactory Optimal Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-2
17.2 Techniques for Diagnosing Improper Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-2
17.2.1 Simple Structural Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-2
17.2.1.1 Analytical Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-2
17.2.1.2 Numerical Model Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-3
17.2.2 A Priori Degeneracy Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-4
17.2.3 Altering Units of Constraints and Variables: Scaling . . . . . . . . . . . . . . 17-4
17.2.3.1 Scaling-The Basic Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-4
17.2.3.2 Mathematical Investigation of Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-7
17.2.3.2.1 Variable Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-7
17.2.3.2.2 Effects of Constraint Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . 17-10
17.2.3.2.3 Objective Function and Right Hand Side Scaling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-11
17.2.3.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-12
17.2.3.5 Empirical Example of Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-13
17.2.4 The Use of Artificial Variables to Diagnose Infeasibility . . . . . . . . . . 17-15
17.2.5 Use Unrealistically Large Upper Bounds to Find Causes of Unboundedness
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-17
17.2.6 Budgeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-18