APPENDICE A1 Le unità di misura del Sistema Internazionale

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APPENDICE A1

Le unità di misura del Sistema Internazionale (1)
Simbolo della quantità Nome dell'unità Simbolo dell'unità
Quantità fisica
fisica SI SI
lunghezza l metro m
massa m chilogrammo kg
tempo t secondo s
corrente elettrica I, i ampere A
temperatura
T kelvin K
termodinamica
quantità di sostanza n mole mol
intensità luminosa IV candela cd
- Il metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di
tempo pari a 1/299 792 458 di secondo (1983).
- Il chilogrammo è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m
di una lega di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle
misure a Sèvres, in Francia. (1875)
- Il secondo è definito come la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione
corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, da (F=4, MF=0) a (F=3, MF=0), dello
stato fondamentale dell'atomo di cesio-133 (1967).
- L’ ampere è l'intensità di corrente elettrica che, se mantenuta in due conduttori lineari
paralleli, di lunghezza infinita e sezione trasversale trascurabile, posti a un metro di
distanza l'uno dall'altro nel vuoto, produce tra questi una forza pari a 2 • 10-7 newton per
metro di lunghezza. (1946)
- Il kelvin è definito come 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo
dell'acqua. (1862)

1 E’ opportuno ricordare che in seguito a determinazione del 1960 della Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure di
Parigi (Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM, periodica, l’ultima del 2014) dal 1971 in Italia e negli altri 50 stati
membri e 22 associati (al momento gli USA istituzionalmente non partecipano, anche se di fatto usano sempre piùnSI),
vige, con piccole modifiche [ intervenute in accordo con il Bureau International des Poids et Mesures, (BIPM) e il Comité
International des Poids et Mesures, (CIPM)], il Sistema Internazionale (SI). Si invitano gli studiosi ed i professionisti a
prestare metodica attenzione alle varianti in itinere pubblicate in rete (ad es. http://www.bipm.org/fr/worldwide-
metrology/cgpm/ ; per il programma di lavoro BIPM 2016-19 vedasi http://www.bipm.org/fr/cgpm-2014/work-
programme.html )
- La mole viene definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un
numero di entità elementari pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio-12
(numero di Avogadro: 6,022 • 1023) . (1971)
- Una candela è pari all'intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente
emettente una radiazione monocromatica di frequenza pari a 540 • 1012 hertz e di intensità
radiante in quella direzione di 1/683 di watt per steradiante (1982).
Unità derivate
La maggior parte delle grandezze derivate sono ottenute attraverso moltiplicazioni o
divisioni tra grandezze di base. Alcune di esse hanno nomi particolari. In questo modo,
non solo si vede immediatamente la relazione che intercorre tra due grandezze, ma, con
un controllo dimensionale, è facile verificare la possibile correttezza del proprio lavoro.
Simbolo
Quantità fisica Nome dell'unità SI Simbolo dell'unità SI

frequenza f, ν hertz Hz s−1
forza F newton N kg · m · s−2
pressione, sollecitazione p pascal Pa N · m−2
energia, lavoro E joule J N · m
potenza, flusso radiante P, W watt W J · s−1
carica elettrica q coulomb C A · s
tensione elettrica, potenziale v Volt V J · C−1
resistenza elettrica R Ohm Ω V · A−1
conduttanza elettrica G Siemens S A · V−1
capacità elettrica C Farad F C · V−1
induzione magnetica B Tesla T V · s · m−2
flusso magnetico Φ(B) weber Wb V · s
induttanza L henry H V · s · A−1
temperatura T kelvin °C K
angolo piano φ, θ radiante rad 1
angolo solido Ω steradiante sr 1
flusso luminoso lumen lm cd · sr
illuminamento lux lx cd · sr · m−2
rifrazione D diottria D m−1
attività di un radionuclide becquerel Bq s−1
dose assorbita gray Gy J · kg−1
dose equivalente sievert Sv J · kg−1
Prefissi
Le unità SI possono avere prefissi per rendere più comodamente utilizzabili grandi e
piccole misurazioni. Si noti l'importanza di utilizzare correttamente i simboli maiuscoli e
minuscoli per evitare ambiguità..
Prefisso Simbolo Nome Equivalente decimale
1024 yotta Y Quadrilione 1 000 000 000 000 000 000 000 000
1021 zetta Z Triliardo 1 000 000 000 000 000 000 000
1018 exa E Trilione 1 000 000 000 000 000 000
1015 peta P Biliardo 1 000 000 000 000 000
1012 tera T Bilione 1 000 000 000 000
109 giga G Miliardo 1 000 000 000
106 mega M Milione 1 000 000
103 kilo o chilo k Mille 1 000
102 etto h Cento 100
10 deca da Dieci 10
10−1 deci d Decimo 0,1
10−2 centi c Centesimo 0,01
10−3 milli m Millesimo 0,001
10−6 micro µ Milionesimo 0,000 001
10−9 nano n Miliardesimo 0,000 000 001
10−12 pico p Bilionesimo 0,000 000 000 001
10−15 femto f Biliardesimo 0,000 000 000 000 001
10−18 atto a Trilionesimo 0,000 000 000 000 000 001
10−21 zepto z Triliardesimo 0,000 000 000 000 000 000 001
10−24 yocto y Quadrilionesimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001
Unità di misura usate con il SI
Le seguenti unità di misura non fanno parte del Sistema Internazionale, ma il loro uso
viene tollerato, anche in ambienti ufficiali.
Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI
minuto min 1 min = 60 s
ora h 1 h = 60 min = 3 600 s
giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s
grado ° 1° = (π/180) rad
minuto primo ′ 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad
secondo ″ 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad
litro l, L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
tonnellata t 1 t = 103 kg
neper Np 1 Np = 1
bel B 1 B = (1/2) ln 10 (Np)
Il neper e il bel esprimono il logaritmo in base e o in base 10 di una grandezza presa
rispetto ad un riferimento. Il logaritmo in base 10 dà l’ordine di grandezza in più o in
meno rispetto al riferimento ed è quindi usato in Ingegneria molto più spesso di quanto si
pensi, spesso involontariamente: se ad esempio pensiamo ad un oggetto un milione di
volte più grande di un altro, diciamo che tra i due ci sono 6 ordini di grandezza, cioè 6 bel.
La misura logaritmica serve anche a meglio leggere fenomeni a scala fortemente non
lineare ed il decibel (dB) serve appunto in molte discipline quali acustica, elettronica,
chimica a valutare la crescita (guadagno) o l’attenuazione di una grandezza.
Unità non SI accettate perché più precise.
Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI
elettronvolt eV 1 eV = 1,602 177 33(49) · 10–19 J
unità di massa atomica u 1 u = 1,660 540 2(10) · 10–27 kg
unità astronomica ua 1 ua = 1,495 978 70(30) · 1011 m

Un elettronvolt (simbolo eV) è l'energia acquistata da un elettrone libero nel suo
spostamento tra due punto a potenziale differente per un volt.Un elettronvolt è un
quantitativo molto piccolo di energia: 1 eV = 1,602 176 46 × 10-19 J.
L’Unità Astronomica (U.A., o semplicemente UA) è un'unità di misura circa pari alla
distanza media tra il pianeta Terra e il Sole
L'unità di massa atomica unificata (u) detta anche dalton (Da) è una unità di misura
utilizzata solitamente per esprimere la massa di atomi (massa atomica) e molecole (massa
molecolare). Essa è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di
carbonio-12 (12C).
Altre unità non SI attualmente accettate in ambiti commerciali, legali, e
nella navigazione.
Queste unità dovrebbero essere definite in relazione al SI in ogni documento in cui
vengono usate. Il loro uso è scoraggiato.
Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI
miglio nautico nm 1 miglio nautico =1 852 m
nodo kn 1 nodo = 1 miglio nautico all'ora = (1 852/3 600) m/s
ara a 1 a = 1 dam2 = 102 m2
ettaro ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2
bar bar 1 bar = 0,1 MPa = 100 kPa = 1 000 hPa = 105 Pa
angstrom Å 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m
barn b 1 b = 100 fm2 = 10-28 m2
Appendice A2
RICHIAMI SUGLI OPERATORI VETTORIALI

La divergenza di un campo vettoriale A in un punto P è una quantità scalare e può essere
definita (cfr. il teorema della divergenza) con un processo al limite a partire dal flusso ∆Φ del
vettore attraverso una superficie chiusa racchiudente P, rapportato al volume ∆τ definito
dalla superficie stessa e facendo implodere la superficie chiusa intorno al punto P.
( )
L’operatore di divergenza si indica con ∇⋅ o con div. Un campo a divergenza nulla è
indivergente o solenoidale.
Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà
∆Φ r4πr2
∇⋅r =lim =lim =3
∆τ→0 ∆τ ∆τ→0 4
πr3
3
Il rotore di un campo vettoriale A in un punto P è un vettore che può essere definito (cfr. il
teorema di Stokes) considerando una superficie elementare orientata ∆S (es. un cerchio)
contenente il punto P ; il modulo del rotore è pari al massimo valore – al variare della
giacitura della superficie – della circuitazione ∆C lungo l’orlo della superficie stessa,
rapportata alla suddetta superficie; la direzione ed il verso del rotore sono definiti dalla
normale alla superficie nella posizione in cui la circuitazione è massima. L’operatore di
( )
rotore si indica con ∇× o con rot o curl. Un campo a rotore nullo è irrotazionale.
Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà
∆C
∇xr =lim =0
∆S→0 ∆S
( )
Un ulteriore operatore differenziale (spaziale) è il gradiente ∇ . Esso opera su un campo
scalare f(P): il suo modulo è individuato dalla massima derivata direzionale condotta su
ogni retta orientata passante per il punto P, la direzione ed il verso sono dettati dalla retta
orientata per cui si ha la massima derivata. Le componenti (ad es. cartesiane) possono
generare una forma differenziale esatta (la circuitazione del gradiente lungo una qualsiasi
linea chiusa. Nel caso elettrostatico la funzione f(P) è il potenziale (elettrostatico) ed il suo
gradiente è (a parte il segno) pari al campo (elettrostatico).
Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà
r
∇r =
r

1 r
∇ = −
r r3
Considerato due campi scalari f(P) e ψ(P) valgono le relazioni
( )
∇ fψ = f ∇ψ+ψ∇f
( )
∇⋅ψA =ψ∇⋅A+A⋅∇ψ
( )
∇×ψA =ψ∇×A−A×∇ψ
Si riconosce che la divergenza del rotore è nulla e quindi anche il flusso del rotore
attraverso una superficie chiusa è nullo. Il gradiente della divergenza è detto laplaciano
( )
(scalare) ∇∇⋅≡∇2 .
1
Si definisce anche il laplaciano di un campo vettoriale come
∇2A = ∇∇⋅A −∇×(∇×A)

Un campo ovunque solenoidale è conservativo per il flusso e può essere descritto come il
rotore di un altro campo vettoriale detto potenziale vettore (esempio il potenziale vettore
magnetico)
La circuitazione di un campo ovunque irrotazionale è sempre nulla; il campo si dice
conservativo per il lavoro (es. campo elettrostatico). Ne consegue che il rotore di un
gradiente è sempre nullo.
Tali proprietà possono essere opportunamente valutate anche in domini limitati.
Sono notevoli anche le seguenti relazioni:

( )
∇⋅ fA = f ∇⋅A+A∇f
( )
∇⋅ A×B =B⋅∇×A−A⋅∇×B
( )
∇× fA = f ∇×A−A×∇f
( )
∇× ∇f =0
( )
∇⋅ ∇×A =0
2
Appendice A3
LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE – EQUAZIONE DI
LAPLACE-POISSON

A3.1 CONSIDERAZIONI GENERALI

Laddove le grandezze (scalari e vettoriali) presenti nelle equazioni di Maxwell in forma
integrale siano continue e derivabili, il campo elettromagnetico può essere descritto in tutti i
punti dello spazio attraverso gli operatori differenziali spaziali e temporali divergenza e
rotore (vedasi Appendice A2)
∂B
∇×E = − (A3.1)
∂t
ρ
∇⋅E = (A3.2)
ε
0
∇⋅B =0 (A3.3)
 ∂E 
∇×B =µJ +ε  (A3.4)
 
0 0 ∂t 
Per integrare queste equazioni nello spazio occorre conoscere le “condizioni al contorno”
(nello spazio, all’infinito o al finito) e le “condizioni iniziali” (nel tempo).
Le equazioni di Maxwell in forma locale ci evidenziano le sorgenti del campo
elettromagnetico, in termini di divergenza (“fontane o pozzi”) o in termine di rotore
(“vortici”).
Le sorgenti possono dipendere direttamente dai campi (“sorgenti interne”, in rosso) o meno
(“sorgenti esterne”, in blu; in realtà, anche le sorgenti “esterne” possono essere “prodotte” dai
campi.
∂B
∇×E = − (A3.1’)
∂t
ρ
(2”) ∇⋅E = (A3.2’)
ε
0
(3”) ∇⋅B =0 (A3.3’)
 ∂E
(4”) ∇×B =µJ+ε  (A3.4’)
0 0 ∂t 

Come si nota, le uniche sorgenti esterne previste nelle equazioni locali di Maxwell
sono le densità volumetriche di carica e le densità di corrente. Altri tipi di sorgenti (cariche
puntiformi, lineari o superficiali, ovvero correnti laminari ecc.) determinano singolarità nelle
relazioni differenziali; se ne può tener conto nelle relazioni integrali, che danno luogo a
1
condizioni di raccordo alla frontiera dei sottodomini all’interno dei quali i campi sono continui
e derivabili (vedi oltre).
Nel caso di moto stazionario di cariche in migrazione ( ad es. in un conduttore
filiforme), non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni punto è
costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione termica e il moto
vario nell’intervallo tra due interazioni1. Si può quindi ritenere che sia nulla, in media, la
risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento, nel nostro caso la forza qE nel
senso del moto ed una “forza d’attrito equivalente” –kv diretta in senso opposto alla prima.
In un circuito semplice (ad esempio una regione di spazio di forma anulare), il campo velocità
di migrazione delle cariche ha linee di flusso anulari e tutte orientate in senso orario o
antiorario. Quindi la circuitazione del campo di velocità v e del campo di corrente J=ρv non
può essere nulla, ossia il campo di corrente stazionaria non può essere conservativo. Poiché il
moto di migrazione è non è vario e il campo equivalente d'attrito è sempre opposto al senso
del moto, il campo di forze sulle cariche ed il relativo campo elettrico complessivo (che, si ricorda, è
la forza applicata alla particella riferita alla carica della particella) non possono essere
conservativi2.
Il sistema di equazioni differenziali di Maxwell si presta a soluzioni analitiche dirette solo in
alcuni casi (ad es. propagazione di onde piane).
Dal punto di vista generale occorrerà considerare che le equazioni di Maxwell sono
differenziali nello spazio e nel tempo e quindi occorrerà conoscere (vedi oltre) le condizioni
al contorno del dominio di indagine (o le condizioni all’infinito, nel caso di domini illimitati)
e le condizioni iniziali.

1 per il rame tale tempo è dell’ordine di 10-14 s
2 Poiché il campo elettrico derivante da una distribuzione di cariche elettriche è conservativo, ne discende che
un moto stazionario di cariche non può essere generato da una distribuzione (fissa) di cariche. Occorrerà quindi
considerare una sorgente di campo elettrico non di tipo elettrostatico, chiamato campo elettromotore. Il campo
elettromotore è quindi un campo di forza specifica, di natura meccanica, chimica, elettrica …. ma non
elettrostatica (trattandosi di campo non conservativo), che agisce sulle cariche tenendole separate in un mezzo
conduttore e consentendo per esse un moto stazionario (o anche non stazionario). In un circuito semplice
interessato da corrente stazionaria, ci deve essere almeno una parte (tratto generatore) in cui il campo
elettromotore è diverso da zero; l'eventuale parte complementare, in cui il campo elettromotore è nullo, prende
il nome di tratto utilizzatore. Nel tratto utilizzatore la forza specifica sulle cariche è quella derivante dalla
distribuzione di cariche (causata a sua volta dal campo elettromotore) ed è quindi un campo a potenziale: nel
tratto utilizzatore la tensione elettrica (integrale del campo elettrico) valutata tra due punti non dipende dalla
curva di integrazione ma solo dagli estremi di integrazione (all'interno del tratto generatore, viceversa, la
tensione dipende dalla curva scelta). Se quindi il campo elettromotore è diverso da zero solo in una parte del
circuito semplice, di sezioni estreme A e B, la tensione VAB sarà indipendente dalla curva scelta solo a patto di
non "entrare" nel tratto generatore. Le sezione A e B individuano quindi i confini tra un "bipolo generatore" -
identificabile attraverso una caratteristica V-I valutata all'esterno del tratto generatore - ed un "bipolo
utilizzatore" in cui non vi sono vincoli per la valutazione della tensione.

2