Table Of ContentUNIVERSITAT DE VALÈNCIA
Departament de Didàctica de la Matemàtica
APORTACIONES A LA INTERPRETACIÓN Y
APLICACIÓN DEL MODELO DE VAN HIELE: LA
ENSEÑANZA DE LAS ISOMETRÍAS DEL PLANO. LA
EVALUACIÓN DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO.
TESIS DOCTORAL
Presentada por:
ADELA JAIME PASTOR
Dirigida por:
ÁNGEL GUTIÉRREZ RODRÍGUEZ
Valencia, septiembre de 1993
© Adela Jaime Pastor. 1993.
Todos los derechos reservados.
ÍNDICE
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Capítulo 1: Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1: Aproximación al Modelo de Van Hiele . . . . . . . 1
1.2: Descripción del Modelo de Van Hiele . . . . . . . . 4
- Los niveles de razonamiento . . . . . . . . . . . 5
- Las fases de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . 9
- Propiedades del Modelo de Van Hiele . . . . . . . 14
Capítulo 2: Diseño de una unidad de enseñanza de las Isometrías
del Plano basada en el Modelo de Van Hiele . . . . . 19
2.1. Interés y motivos del estudio . . . . . . . . . . . 19
2.2. Resumen de la literatura sobre la enseñanza de las
Isometrías del Plano . . . . . . . . . . . . . . . 22
- Trabajos de otros autores . . . . . . . . . . . . 22
- Trabajos previos propios . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Bases matemáticas: El grupo de las Isometrías del Plano 25
- Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
- Propiedades básicas de las isometrías . . . . . . . 26
- Teoremas de clasificación de las Isometrías del Plano 28
- La estructura algebraica del conjunto de las Isometrías
del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Desarrollo y organización de la investigación . . . . 29
- Cronología de la investigación . . . . . . . . . . 29
- El contexto de la unidad de enseñanza . . . . . . . 31
- Organización de la unidad de enseñanza . . . . . 33
2.5. Los niveles de Van Hiele en las Isometrías del Plano . . 35
2.6. Propuesta de enseñanza de las Traslaciones . . . . . 39
- Traslaciones: Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . 39
- Traslaciones: Nivel 2 . . . . . . . . . . . . . . 53
- Traslaciones: Nivel 3 . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7. Propuesta de enseñanza de los Giros . . . . . . . . 95
- Giros: Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
- Giros: Nivel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
- Giros: Nivel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.8. Propuesta de enseñanza de las Simetrías . . . . . . 178
- Simetrías: Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 178
- Simetrías: Nivel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 199
- Simetrías: Nivel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Capítulo 3: Interpretación de la continuidad de los niveles de
Van Hiele y descripción de un método de evaluación . . 258
3.1. Interés y motivos de la investigación . . . . . . . . 258
3.2. Resumen de la literatura sobre evaluación de los niveles
de Van Hiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.3. Cuestiones objeto de esta investigación . . . . . . . 263
3.4. Definición y método de evaluación de los Grados de
Adquisición de los niveles de Van Hiele . . . . . . 265
- Definición de los Grados de Adquisición de un nivel
de razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
- Evaluación de las respuestas a un test: Definición de
los Tipos de Respuestas . . . . . . . . . . . . . . 266
- Asignación de los Grados de Adquisición de los
niveles de Van Hiele a los estudiantes . . . . . . . . 268
- Tipos de tests para evaluar el nivel de razonamiento . . 270
3.5. Aplicación a un estudio longitudinal de alumnos desde
6º de E.G.B. hasta C.O.U. . . . . . . . . . . . . . 271
- El contexto de la experimentación . . . . . . . . 272
- Resultados de la administración de los tests. Análisis y
conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Capítulo 4: Resumen final y conclusiones . . . . . . . . . . 295
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Anexo I: Resumen de la experimentación de la unidad de
enseñanza de las traslaciones . . . . . . . . . . . AI-1
- Resumen de la experimentación en 3º de E.G.B. . . . . AI-1
- Resumen de la experimentación en 6º de E.G.B. . . . . AI-29
- Resumen de la experimentación en Magisterio . . . . . AI-71
Anexo II: Resumen de la experimentación de la unidad de
enseñanza de los giros . . . . . . . . . . . . . . AII-1
- Resumen de la experimentación en 3º de E.G.B. . . . . AII-1
- Resumen de la experimentación en 6º de E.G.B. . . . . AII-73
- Resumen de la experimentación en Magisterio . . . . . AII-119
Anexo III: Resumen de la experimentación de la unidad de
enseñanza de las simetrías . . . . . . . . . . . . AIII-1
- Resumen de la experimentación en 1º de E.G.B. . . . . AIII-1
- Resumen de la experimentación en 3º de E.G.B. . . . . AIII-33
- Resumen de la experimentación en Magisterio . . . . . AIII-75
Anexo IV: Items usados para evaluar el grado de adquisición de
los niveles de Van Hiele (6º de E.G.B. a C.O.U.) . . . AIV-1
Anexo V: Descriptores de los items . . . . . . . . . . . . . AV-1
Anexo VI: Tablas de los grados de adquisición de los estudiantes
(6º a C.O.U.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . AVI-1
Anexo VII: Gráficas del estudio longitudinal de 6º a 8º de E.G.B. . . AVII-1
AGRADECIMIENTOS
No es posible expresar aquí mi agradecimiento a todas las personas que, directa o
indirectamente, con sus conocimientos sobre el tema de esta tesis o con su apoyo moral, han
ayudado a que haya podido llevar adelante y finalizar este trabajo. Pero no puedo menos que
mencionar expresamente a algunas de ellas.
En primer lugar a Angel Gutiérrez, director de esta tesis, quien durante todos estos años
me ha orientado, aconsejado y animado.
A Michael Shaughnessy, David Fuys y Alan Hoffer, cuyas acertadas opiniones me han
ayudado a comprender mejor el modelo de Van Hiele.
A los estudiantes de Magisterio Carmen, Nuria, María Dolores y Enrique, y a la
profesora del Departamento de Didáctica de la Matemática María Cáceres, quienes llevaron a
cabo algunas experimentaciones con alumnos de E.G.B., fundamentales para el desarrollo de
esta tesis.
A todos los alumnos de E.G.B., B.U.P. y Magisterio que participaron
desinteresadamente en las experimentaciones que realizamos, así como a los equipos
directivos y profesores de Matemáticas de los Centros, que me dieron todas las facilidades
para que pudiera llevar a cabo este trabajo.
A los profesores del Colegio Amadeo Tortajada de Mislata, Miguel, Ramón y José
Manuel, con quienes colaboré durante varios años y que aportaron información sobre la
viabilidad de la enseñanza de las simetrías en E.G.B. y sobre el modo de razonamiento en
Geometría de los estudiantes del Ciclo Superior de E.G.B.
Al Departamento de Didáctica de la Matemática de la U. de Valencia, que me ha
facilitado la realización de estas investigaciones siempre que fue necesario.
Por otras razones, a mis padres, quienes siempre me animaron a estudiar y, en estos
últimos años, a realizar la tesis doctoral.
Y, finalmente, a mis profesores de Enseñanza Media y la Facultad de Matemáticas que
contribuyeron a ampliar mi visión de la organización de las Matemáticas.
Adela Jaime Pastor
Resumen de la memoria. i
RESUMEN
Una de las preocupaciones centrales de los investigadores en Didáctica de las
Matemáticas es tratar de describir y explicar los procesos cognitivos de los estudiantes de
Matemáticas. En las últimas décadas ha destacado de manera especial dentro de este terreno el
Modelo de Razonamiento Matemático de Van Hiele, que ha sido estudiado con intensidad y
utilizado con éxito como marco de referencia para el diseño curricular.
La memoria que presentamos tiene como objetivo analizar algunas componentes del
Modelo de Van Hiele, aportando varias sugerencias, tanto metodológicas como de aplicación,
que ayuden a conocer mejor dicho modelo y a utilizar todo su potencial de manera más eficaz
para mejorar la enseñanza de las Matemáticas.
El primer capítulo es una introducción y está dedicado a una revisión de las principales
componentes del Modelo de Van Hiele (los niveles de razonamiento, las fases de aprendizaje
y las características centrales del modelo). Además, hacemos una revisión de las principales
aportaciones de las publicaciones realizadas sobre el modelo y resumimos nuestra postura en
relación con algunas cuestiones críticas que se han suscitado a raíz de los resultados de
investigación.
En el capítulo 2 hacemos una aportación a la utilización del Modelo de Van Hiele como
marco teórico para el diseño curricular, mediante la presentación de una unidad de enseñanza
de las isometrías del plano que ha sido elaborada de acuerdo con los niveles de razonamiento
y las fases de aprendizaje de Van Hiele. Esta unidad de enseñanza es válida para las
Enseñanzas Primaria y Secundaria, así como para la formación de profesores de Primaria. La
unidad es el resultado de numerosas experimentaciones realizadas con estudiantes de los
cursos 1º a 8º de E.G.B. y estudiantes de la Escuela de Magisterio.
En las primeras secciones de este capítulo planteamos el objetivo y el desarrollo de
nuestra investigación y analizamos las publicaciones más interesantes relacionadas con el
tema. Después, en las secciones posteriores, presentamos la unidad de enseñanza dividida en
tres partes, dirigidas a la enseñanza de las traslaciones, los giros y las simetrías del plano. Para
cada isometría, enunciamos los objetivos generales (tanto de habilidades de razonamiento
como de conocimientos) a conseguir para alcanzar cada uno de los niveles primero a tercero
de Van Hiele, afinamos dichos objetivos especificando los correspondientes a cada fase de
aprendizaje de ese nivel y enunciamos los tipos de actividades, organizadas para las diferentes
fases de aprendizaje de cada nivel de razonamiento.
Adela Jaime. El Modelo de Van Hiele: Enseñanza de las Isometrías. Evaluación del Razonamiento.
Resumen de la memoria. ii
En el capítulo 3, apoyando la idea de la continuidad en la adquisición de los niveles de
razonamiento de Van Hiele, planteamos una interpretación del proceso seguido por los
estudiantes en su avance a través de los sucesivos niveles y proponemos una técnica para
determinar el nivel de razonamiento de los estudiantes coherente con dicha interpretación.
Diferentes secciones del capítulo están dedicadas a los elementos claves de nuestra
investigación:
- Describimos el proceso de adquisición de los niveles mediante la definición del
concepto de grado de adquisición de los niveles de Van Hiele. Aunque son bastantes las
investigaciones que, al determinar el nivel de razonamiento de estudiantes, reconocen la
existencia de numerosos estudiantes que se encuentran en transición de un nivel al siguiente,
hasta ahora ninguna investigación ha planteado una manera de evaluar con detalle ese período
de transición.
- Utilizamos operativamente los grados de adquisición de los niveles mencionados en el
párrafo precedente, para lo cual, y como complemento a dicha definición, presentamos un
método de evaluación de los grados de adquisición de los niveles de Van Hiele por los
estudiantes, que nos permite analizar e interpretar las contestaciones a items de respuesta
libre.
- Hemos usado los dos elementos anteriores en un estudio longitudinal realizado con
estudiantes desde 6º de E.G.B. hasta C.O.U. Para ello hemos desarrollado un conjunto de tests
escritos de respuesta libre y hemos utilizado este método para evaluar las respuestas a los tests
y determinar los grados de adquisición de los niveles de Van Hiele por los estudiantes. En
esta memoria presentamos los tests y comentamos los resultados de dicha administración.
- Junto a estas tres aportaciones, que consideramos más destacables, en el capítulo 3
presentamos otra contribución, también original, que puede constituir un avance en la
utilización del Modelo de Van Hiele: La elaboración de un tipo de items escritos de respuesta
libre que ayude a romper la actual escasez de tests fiables para la determinación del nivel de
razonamiento de los estudiantes. Estos items están concebidos con el objetivo de superar
algunos de los inconvenientes que suelen tener los tests escritos, para lo cual tratamos que se
acerquen en lo posible al formato de las entrevistas clínicas. Consideramos esta última
componente de la memoria de menor relieve en comparación con las anteriores porque es un
tema de investigación que estamos iniciando y del cual sólo planteamos los principios
básicos, que seguiremos desarrollando en el futuro.
Adela Jaime. El Modelo de Van Hiele: Enseñanza de las Isometrías. Evaluación del Razonamiento.
Resumen de la memoria. iii
La memoria termina con unas conclusiones generales y varios anexos que contienen
información complementaria sobre las experimentaciones que hemos realizado para las
investigaciones recogidas en los capítulos 2 y 3 de la memoria.
Adela Jaime. El Modelo de Van Hiele: Enseñanza de las Isometrías. Evaluación del Razonamiento.
Introducción. 1
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
Este capítulo está dedicado a hacer un rápido recorrido por el Modelo de Van Hiele,
describiendo los elementos y características principales de los niveles de razonamiento y de
las fases de aprendizaje. Esta descripción no intenta ser exhaustiva, pues hay diversas
publicaciones en las que se pueden encontrar análisis detallados, por ejemplo Hershkowitz
(1990) y Clements, Battista (1992), sino que sólo pretendemos dar una visión general de las
características del modelo, centrándonos con más detalle en aquellos elementos que están
directamente relacionados con las investigaciones que presentamos en los siguientes capítulos
de esta memoria.
1.1. Origen y difusión del Modelo de Van Hiele.
El modelo en el que se centran las investigaciones recogidas en esta memoria tiene su
origen en los trabajos de dos profesores holandeses de Matemáticas de Enseñanza Secundaria,
Pierre M. van Hiele y Dina van Hiele-Geldof, quienes, en sus tesis doctorales, presentaron,
respectivamente, un modelo de enseñanza y aprendizaje de la Geometría (Van Hiele, 1957) y
un ejemplo concreto de aplicación de ese modelo en unos cursos de Geometría (Van Hiele-
Geldof, 1957).
El Modelo de Van Hiele ha tenido una difusión relativamente reciente en el mundo
occidental si observamos la fecha de las primeras publicaciones de los Van Hiele. En la Unión
Soviética se supo muy pronto del Modelo de Van Hiele y se tomó como base para el diseño
de un nuevo currículum de Matemáticas implementado en la primera mitad de los años 60
(ver Pyskalo, 1968). También se utilizó el Modelo de Van Hiele en Holanda en el proyecto
Wiskobas de desarrollo curricular, que se empezó a desarrollar en 1971 (Treffers, 1987). Pero
hasta mediados de la década de los 70 no se le empezó a prestar atención en los EE.UU., a
raíz de la publicación de una conferencia de I. Wirszup (Wirszup, 1976), y a continuación se
difundió también por los demás países occidentales.
Adela Jaime. El Modelo de Van Hiele: Enseñanza de las Isometrías. Evaluación del Razonamiento.
