Table Of ContentAplicaciones de la Geometr(cid:19)(cid:16)a
Tom(cid:19)as Guardia
XVII Escuela Venezolana para la Ensen~anza de la
Matem(cid:19)atica
A
Tomasito
CONTENIDO
1 Grupos de Transformaciones 1
1.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Isometr(cid:19)(cid:16)as 11
2.1 Isometr(cid:19)(cid:16)as de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Isometr(cid:19)(cid:16)as del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Clasi(cid:12)caci(cid:19)on de las Isometr(cid:19)(cid:16)as del Plano . . . . . . . . 19
3 Grupo Af(cid:19)(cid:16)n 27
3.1 Transformaciones A(cid:12)nes . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Propiedades A(cid:12)nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 C(cid:19)onicas 37
4.1 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 La Par(cid:19)abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Hip(cid:19)erbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i
5 Invariantes 49
5.1 >Qu(cid:19)e es un Invariante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Invariantes A(cid:12)nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Teselaciones 57
6.1 Teselaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 M.C. Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Obra de Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Nu(cid:19)mero Aureo 69
7.1 La Divina Proporci(cid:19)on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Propiedades Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Suceci(cid:19)on de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Espiral Dorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 Girasoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6 Pin~as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.7 Galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.8 Arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.9 Cuerpo Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ii
Introducci(cid:19)on
Lageometr(cid:19)(cid:16)aesunadelasdisciplinasm(cid:19)ashermosasdelamatem(cid:19)ati-
ca. Los griegos le dieron su forma axiom(cid:19)atica y rigurosa. Es tan fasci-
nanteycautivadoraquetodav(cid:19)(cid:16)ahoylaestudiamosdelamismamanera
en que los antiguos pitag(cid:19)oricos se reun(cid:19)(cid:16)an para discutir y comentar sus
maravillosos descubrimientos. La cultura griega nos dejo un legado
invalorable: poes(cid:19)(cid:16)a, teatro, mitolog(cid:19)(cid:16)a, tragedia, (cid:12)losof(cid:19)(cid:16)a, democracia,
matem(cid:19)atica, y much(cid:19)(cid:16)simas otras cosas m(cid:19)as hicieron de helenismo una
civilizaci(cid:19)on que marc(cid:19)o para siempre el destino de la humanidad.
El primero del que tenemos algu(cid:19)n tipo de registro de haber uti-
lizado la geometr(cid:19)(cid:16)a fue el primero de los siete sabios de Grecia, Tales
de Mileto. Tales, midi(cid:19)o la altura de las pir(cid:19)amides de Egipto utilizando
solamente semejanza de tri(cid:19)angulos. Tambi(cid:19)en midi(cid:19)o la distancia de
un barco a la orilla del mar par(cid:19)andose desde la costa. Se le atribuye
tambi(cid:19)en haber predicho un eclipse de sol en el an~o 585 a.c. M(cid:19)as ade-
lante, Pit(cid:19)agoras -disc(cid:19)(cid:16)pulo de Tales- viaja a Egipto por petici(cid:19)on de su
maestro y se inicia en el misticismo egipcio y pasa a la historia como
unodelosm(cid:19)asgrandesmatem(cid:19)aticosquejam(cid:19)ashayaexistido. Cre(cid:19)ouna
cofrad(cid:19)(cid:16)adematem(cid:19)aticosquelaposteridadlosllam(cid:19)olos pitag(cid:19)oricos una
fraternidad de estudiosos que discut(cid:19)(cid:16)an geometr(cid:19)(cid:16)a, mu(cid:19)sica, astronom(cid:19)(cid:16)a
y (cid:12)losof(cid:19)(cid:16)a. El lema central de la (cid:12)losof(cid:19)(cid:16)a pitag(cid:19)orica es Todo es nu(cid:19)mero
y muchos de los avances cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)cos modernos le han dado la raz(cid:19)on al
pitagorismo.
Tambi(cid:19)en Plat(cid:19)on fue un gran ge(cid:19)ometra. Se dice que inscribi(cid:19)o en
la entrada de su academia la frase αγϵ(cid:28)µϵτριτ(cid:28)ζ µιδϵιζ ϵνξιτω que
iii
comu(cid:19)nmente se traduce c(cid:19)omo que nadie entre si no sabe geometr(cid:19)(cid:16)a.
Sin embargo Bernard Suzzane propone como traducci(cid:19)on que ningu(cid:19)n
incapaz de la geometr(cid:19)(cid:16)a entre. Lo cierto es que cualquiera de las dos
traducciones de la emblem(cid:19)atica inscripci(cid:19)on de la academia, sugiere que
el estudio de la geometr(cid:19)(cid:16)a es un arte liberal. Esto u(cid:19)ltimo se lo tomar(cid:19)an
de manera literal los escol(cid:19)asticos profesores de las universidades me-
dievales. Pero volviendo a Plat(cid:19)on, su geometr(cid:19)(cid:16)a es de un car(cid:19)acter
(cid:12)los(cid:19)o(cid:12)co y representa los cuatro elementos de la naturaleza a(cid:12)rmando
que El fuego est(cid:19)a formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua,
de icosaedros; la tierra de cubos y como si no fuera poco a todo esto le
agrega y como au(cid:19)n es posible una quinta forma, Dios ha utilizado (cid:19)esta,
el dodecaedro pentagonal. Ya vemos que en Plat(cid:19)on hay una descripci(cid:19)on
del mundo muy geom(cid:19)etrica y no muy alejada de la realidad.
Tambi(cid:19)en encontramos a Apolonio de P(cid:19)ergamo quien escribi(cid:19)o su
obra inmortal Sobre las secciones c(cid:19)onicas; a la que posteriormente
Hipat(cid:19)(cid:16)a, la gran erudita alejandrina le an~adiera comentarios en donde
propuso que las (cid:19)orbitas de los planetas eran el(cid:19)(cid:16)pticas y el Sol se situ-
aba en uno de sus focos. Esto le sirvi(cid:19)o posteriormente a Kepler para
sentar sus leyes sobre las cuales Isaac Newton postular(cid:19)(cid:16)a su Teor(cid:19)(cid:16)a de
la Gravitaci(cid:19)on Universal.
Pero sin lugar a dudas, la obra maestra de la geometr(cid:19)(cid:16)a son los
Elementos de Euclides. Trece libros en los que se estudia geometr(cid:19)(cid:16)a
y teor(cid:19)(cid:16)a de nu(cid:19)meros y en donde est(cid:19)an las bases de la geometr(cid:19)(cid:16)a m(cid:19)as
hermosa y que a pesar de todas las geometr(cid:19)(cid:16)as posteriores; como la ge-
ometr(cid:19)(cid:16)ariemannianaquesirvi(cid:19)odebaseparalaTeor(cid:19)(cid:16)adelaRelatividad
de Einstein. La geometr(cid:19)(cid:16)a eucl(cid:19)(cid:16)dea es y seguir(cid:19)a siendo una s(cid:19)olida base
del conocimiento matem(cid:19)atico. Partiendo de los elementos b(cid:19)asicos el
punto, la recta y el plano Euclides desarrolla toda la teor(cid:19)(cid:16)a que hoy
conocemos como congruencia y semejanzas de tri(cid:19)angulos, circunferen-
cias, el teorema de pit(cid:19)agoras, paralelismo. Los libros intermedios de
los Elementos se dedican al estudio de las propiedades de los nu(cid:19)meros
primos y compuestos y esta obra magistral culmina con un estudio
bastante completo de los s(cid:19)olidos plat(cid:19)onicos.
iv
Hay muchos otros ge(cid:19)ometras de la antigu(cid:127)edad y estas l(cid:19)(cid:16)neas ser(cid:19)(cid:16)an
insu(cid:12)cientes para abarcar a los grandes matem(cid:19)aticos antiguos que de-
sarrollaron la geometr(cid:19)(cid:16)a. Pero quiero volver a la descripci(cid:19)on de Plat(cid:19)on
sobre su visi(cid:19)on del mundo. Sin duda, el universo est(cid:19)a compuesto de
formas geom(cid:19)etricas. Todo lo que el hombre a hecho es descubrir la se-
mejanza entre la naturaleza y la matem(cid:19)atica. Pero a pesar del hombre
esas reglas que determinan el comportamiento natural est(cid:19)an presentes
y no podemos negarla.
En la XVII edici(cid:19)on de la Escuela Venezolana para la Ensen~anza
de la Matem(cid:19)atica, evento anual de capacitaci(cid:19)on y formaci(cid:19)on docente
que se viene realizando de manera ininterrumpida en la Facultad de
Ciencias de la Universidad de Los Andes. El comit(cid:19)e organizador me
ha solicitado dictar un curso sobre Aplicaciones de la Geometr(cid:19)(cid:16)a. Con-
sidero que la riqueza de la geometr(cid:19)(cid:16)a eucl(cid:19)(cid:16)dea es tan vasta que en una
sola semana no ser(cid:19)(cid:16)a su(cid:12)ciente para mostrar el amplio potencial que
tiene la geometr(cid:19)(cid:16)a en muchas (cid:19)areas, no s(cid:19)olo de la matem(cid:19)atica sino de
todo el saber. Encontramos aplicaciones en la f(cid:19)(cid:16)sica, la ingenier(cid:19)(cid:16)a, la
mec(cid:19)anica, la astrof(cid:19)(cid:16)sica, la mec(cid:19)anica cu(cid:19)antica, la econom(cid:19)(cid:16)a, los mer-
cados de valores, en la biolog(cid:19)(cid:16)a, en la arquitectura, etc. Me atrever(cid:19)(cid:16)a
a(cid:12)rmar que no existe ninguna rama del conocimiento que carezca de
algu(cid:19)ntipodeaplicacionesdeconocimientosmatem(cid:19)aticos, enparticular
de algu(cid:19)n razonamiento geom(cid:19)etrico.
Dado lo amplio del tema he decidido orientar el curso sobre la base
del programa Erlangen de Klein, mostrando que la geometr(cid:19)(cid:16)a es, en
esencia, el estudio de invariantes bajo la acci(cid:19)on de un grupo de trans-
formaciones. No pretendo en este curso dar una abstracci(cid:19)on rigurosa
de la teor(cid:19)(cid:16)a de grupos ya que la idea es todo lo contrario, salir de la
abstracci(cid:19)on y orientarse m(cid:19)as hacia lo aplicado y concreto. Pero si me
parece fundamental, mostrar que toda la geometr(cid:19)(cid:16)a (eucl(cid:19)(cid:16)dea o no) se
concentra en el estudio de los invariantes. En particular, la geometr(cid:19)(cid:16)a
eucl(cid:19)(cid:16)dea es el estudio de invariantes del grupo de movimientos r(cid:19)(cid:16)gidos
que es un subgrupo del grupo de isometr(cid:19)(cid:16)as del plano y del espacio.
Tambi(cid:19)en presentar(cid:19)e de manera muy elemental el grupo af(cid:19)(cid:16)n y mostrar(cid:19)e
v
c(cid:19)omo la geometr(cid:19)(cid:16)a eucl(cid:19)(cid:16)dea puede extenderse de manera natural a una
geometr(cid:19)(cid:16)a m(cid:19)as general como la geometr(cid:19)(cid:16)a af(cid:19)(cid:16)n, pero como ya dije, lo
introducir(cid:19)e de manera muy somera.
Ser(cid:19)(cid:16)a interesante ir un p(cid:19)oco m(cid:19)as all(cid:19)a y mostrar la generalizaci(cid:19)on del
espacioaf(cid:19)(cid:16)nyhablarunpocodelespacioproyectivo,peroestoescapar(cid:19)(cid:16)a
completamente al objetivo del curso y no es adecuado hablar de ge-
ometr(cid:19)(cid:16)a proyectiva al menos en este momento. Luego introducir(cid:19)e si es
posible la clasi(cid:12)caci(cid:19)on af(cid:19)(cid:16)n de las c(cid:19)onicas para ilustrar c(cid:19)omo una trans-
formaci(cid:19)on lineal convierte una circunferencia en una elipse y viceversa.
El curso (cid:12)naliza con las aplicaciones de las teselaciones (elementos
del grupo de isometr(cid:19)(cid:16)as) para estudiar la obra de M.C. Escher. Intro-
duciremos el nu(cid:19)mero aureo y veremos las impresionantes apariciones
del nu(cid:19)mero de oro en la biolog(cid:19)(cid:16)a, el arte, la naturaleza y el cuerpo
humano.
No quiero culminar esta introducci(cid:19)on al texto de Aplicaciones de la
Geometr(cid:19)(cid:16)asinantesexpresarmim(cid:19)assinceroagradecimientoalprofesor
Ar(cid:19)(cid:16)stides Arell(cid:19)an, Coordinador General de la XVII Escuela Venezolana
para la Ensen~anza de la Matem(cid:19)atica, por su consideraci(cid:19)on hacia mi
persona al proponerme ser el facilitador de este curso y permitirme en
este importante evento al que carin~osamente llamamos la escuelita en
el que fui participante en su edici(cid:19)on del an~o 2000 y al que le debo haber
conocidoamiactualesposa. Perom(cid:19)asall(cid:19)adelasan(cid:19)ecdotaspersonales,
quiero darles las gracias al profesor Arell(cid:19)an por darme la oportunidad
de poder ensen~ar a profesores y estudiantes de matem(cid:19)atica una de mis
grandes pasiones dentro de la matem(cid:19)atica, la geometr(cid:19)(cid:16)a.
Finalmente, espero que el lector pueda disfrutar de este material
que con mucho carin~o y dedicaci(cid:19)on he preparado para la escuelita y
que pueda ser una gu(cid:19)(cid:16)a de referencia futura para su discusi(cid:19)on y estudio
posteriortantodelosestudiantesdematem(cid:19)aticacomodelosprofesores
de educaci(cid:19)on media, dentro de las aulas de clase.
Tom(cid:19)as Guardia
UCV
Abril 2013
vi
...\La Geometr(cid:19)(cid:16)a exist(cid:19)(cid:16)a antes de la Creaci(cid:19)on.
Es co-eterna con la mente de Dios...
La Geometr(cid:19)(cid:16)a ofreci(cid:19)o a Dios un modelo para la Creaci(cid:19)on...
La Geometr(cid:19)(cid:16)a es Dios mismo"...
Johannes Kepler (1571-1630). Matem(cid:19)atico y Astr(cid:19)onomo alem(cid:19)an.
(cid:19) 1
CAPITULO
GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
La geometr(cid:19)(cid:16)a m(cid:19)as hermosa es sin duda la geometr(cid:19)(cid:16)a de Euclides. El
ge(cid:19)ometra griego que vivi(cid:19)o en Alejand(cid:19)(cid:16)a escribi(cid:19)o la obra maestra de la
matem(cid:19)atica los Elementos. Despu(cid:19)es de la biblia, es el segundo texto
en nu(cid:19)mero de ediciones publicadas(m(cid:19)as de 1000).1 La obra de Euclides
es estudiada en muchos libros de textos y actualmente forma parte del
pensum de los programas de educaci(cid:19)on b(cid:19)asica. Sin embargo las aplica-
ciones de la geometr(cid:19)(cid:16)a eucl(cid:19)(cid:16)dea es poco conocida por los profesores. El
objetivo principal de este curso es ofrecer herramientas matem(cid:19)aticas
que permitan a los profesores mostrar algunas (ya que son demasiadas)
de las aplicaciones de la geometr(cid:19)(cid:16)a a los estudiantes, y en general a
cualquier persona. Se debe romper de manera radical con el esquema
mental de la mayor(cid:19)(cid:16)a de la gente, de que la matem(cid:19)atica es para locos
y comenzar a sembrar el esquema totalmente opuesto, aquel en donde
la matem(cid:19)atica es hermosa y tiene much(cid:19)(cid:16)simas aplicaciones. Pero, las
aplicaciones no pueden ser puestas en pr(cid:19)actica sin que se posean los
conceptos matem(cid:19)aticos concretos que la justi(cid:12)quen. Ya que vamos a
entender a la geometr(cid:19)(cid:16)a como un conjunto de invariantes bajo la acci(cid:19)on
1http://es.wikipedia.org/wiki/LosElementos
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