Aplicação de Algoritmos para geração automática de malhas de elementos finitos hexaédricos ...

77 Pages·2014·6.92 MB·Portuguese

by  Luís Reis

Aplicação de Algoritmos para geração automática de
malhas de elementos finitos hexaédricos

Luís Miguel Rodrigues Reis

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica

Orientadores: Prof. João Orlando Marques Gameiro Folgado
Prof. Rui Miguel Barreiros Ruben

Júri
Presidente: Prof. Luís Manuel Varejão de Oliveira Faria
Orientador: Prof. Rui Miguel Barreiros Ruben
Vogal: Prof. Paulo Rui Alves Fernandes

Novembro 2014
i
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer em geral a todos os que sempre me apoiaram e me
ajudaram durante a realização deste trabalho, e ao longo de toda a minha formação académica.
Quero agradecer aos meus orientadores Professor Rui Ruben e Professor João Folgado, pelo
apoio prestado e conhecimentos transmitidos no decorrer deste trabalho. Ao Professor Rui Ruben, que
me tem acompanhado nos últimos anos em diversos projetos, e me tem ajudado e apoiado muito ao
longo deste tempo quero deixar um agradecimento muito especial.
Agradeço aos meus pais e ao meu irmão pelo enorme apoio a todos os níveis que sempre me
deram, e sem eles não seria possível alcançar este objetivo. À minha namorada, Catarina, quero
agradecer por ter estado sempre a meu lado e me ter ajudado sempre nos bons e maus momentos.
Por fim agradeço a todos os que contribuíram para a minha formação pessoal e me
transmitiram todo o seu saber ao longo do tempo.

ii
Resumo
O método dos elementos finitos tem-se tornado uma ferramenta muito importante, na
modelação e análise computacional ao longo das últimas décadas, nos mais diversos tipos de sistemas
na área da engenharia. O método dos elementos finitos implica, entre outras coisas, a geração de uma
malha no domínio do problema. A geração de malhas de elementos finitos é um processo bastante
importante mas este pode ser um processo bastante complexo e moroso.
A presente dissertação focou-se na geração de malhas, de elementos finitos, quadriláteras e
hexaédricas. Atualmente não existe algoritmo algum que permita a geração deste tipo de malhas de
uma forma automática. Para além disso, a grande maioria dos programas comerciais de elementos
finitos não têm implementados os mais recentes algoritmos de geração de malhas quadriláteras e
hexaédricas.
Foi realizada uma recolha bibliográfica sobre os algoritmos desenvolvidos recentemente, e
foram estudados e implementados os que mostram maior potencial. Recorreu-se à utilização dos
métodos receding front, level sets, eixo médio e transfinite mapping, para gerar as malhas
bidimensionais e tridimensionais. Deste modo, foi possível gerar malhas com boa qualidade de diversas
geometrias com características diversas.
Foram programados algoritmos parametrizados de geração de malhas para ser possível alterar
a configuração da malha, isto é, o número de nós e elementos, de forma mais automática e rápida
possível.
A análise global de uma malha é indispensável para aferir a qualidade dos elementos. No
presente trabalho utilizou-se o número de condição da matriz Jacobiana por forma a analisar a
qualidade das malhas geradas.

Palavras chave: Método dos elementos finitos; Geração de malhas; Elementos quadriláteros;
Elementos hexaédricos.

iii
Abstract
The finite element method has become a very important tool in modeling and computational
analysis over the past decades in several areas of engineering. Mesh generation is a very important
part of the process, however, can be complex and time consuming.
This thesis has focused on the meshing of quadrilateral and hexahedral elements. Nowadays,
there is no algorithm to generate, in an automatic fashion, this kind of elements. Additionally, the major
part of commercial finite element programs don’t have the most recent algorithms of mesh generation
available.
This work started studying the most recent mesh generation algorithms. Then, some algorithms
were implemented: receding front, level sets, medial-axis and transfinite mapping. Thus, several 2D and
3D meshes were generated in order to test the implemented algorithms, and meshes with good quality
parameters were obtained.
Algorithms were parameterized, in order to adapt to several geometries and also to generate
meshes with different number of nodes and elements, depending on user definition. Mesh generation
algorithms were also implemented in a semi-automatic way, since user should only choose the number
of nodes per line or per surface.
A mesh quality and distortion measure was also implemented in order to compare meshes and
elements. The mesh quality and distortion measure uses the condition number of the Jacobian matrix.

Keywords: Finite element method; Mesh generation; quadrilateral elements; hexahedral elements.

iv
Índice

Capítulo 1 ................................................................................................................................................ 1
Introdução ............................................................................................................................................ 1
1.1 Motivação ................................................................................................................................... 1
1.2 A geração de malhas hexaédricas ............................................................................................. 1
1.3 Tipos de malha ........................................................................................................................... 2
1.4 Características dos algoritmos de geração de malhas .............................................................. 2
1.5 Objetivos .................................................................................................................................... 3
1.6 Estrutura da dissertação ............................................................................................................ 4
Capítulo 2 ................................................................................................................................................ 5
Revisão bibliográfica ............................................................................................................................ 5
2.1 Algoritmos primitivos .................................................................................................................. 5
2.2 Algoritmos de decomposição automática .................................................................................. 6
2.3 Métodos de sobreposição .......................................................................................................... 7
2.4 Métodos advancing front ............................................................................................................ 9
Capítulo 3 .............................................................................................................................................. 11
Metodologias aplicadas ..................................................................................................................... 11
3.1 Introdução ................................................................................................................................ 11
3.2 Método dos Level sets ............................................................................................................. 11
3.3 Método receding front .............................................................................................................. 15
3.4 Método do eixo médio .............................................................................................................. 23
3.5 Método transfinite mapping (TFI) ............................................................................................. 25
3.6 Análise qualitativa da malha .................................................................................................... 27
Capítulo 4 .............................................................................................................................................. 29
Resultados ......................................................................................................................................... 29
4.1 Malhas 2D ................................................................................................................................ 29
4.2 Malhas 3D ................................................................................................................................ 40
Capítulo 5 .............................................................................................................................................. 61
Conclusões e trabalhos futuros ......................................................................................................... 61
5.1 Conclusões ............................................................................................................................... 61
v
5.2 Trabalhos futuros ..................................................................................................................... 62
Referências ........................................................................................................................................ 63

vi
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Tipos de elementos geralmente utilizados, tetraedro, hexaedro e prisma. (COMSOL 2014)
................................................................................................................................................................. 2
Figura 2.1 - Método Grid-based (Schneiders, 1995) ............................................................................... 8
Figura 2.2 - Malha inicial e malha isomórfica na fronteira. (Schneiders, 1995) ...................................... 8
Figura 2.3 - Algoritmo plastering (Schneiders, 1995) .............................................................................. 9
Figura 3.1 - Propagação de curva com velocidade F numa direcção normal. (Sethian, 1996) ............ 12
Figura 3.2 - Expansão de circunferência e curvas de nível de uma função de maior dimensão. (Sethian,
1996) ...................................................................................................................................................... 13
Figura 3.3 – Propagação de curva triplo seno. (Sethian, 1996)............................................................ 14
Figura 3.4 – Solução de entropia. (Sethian, 1996) ............................................................................... 15
Figura 3.5 - Exemplo de resolução da equação de Eikonal e cálculo do valor de u. Em cima à esquerda
observa-se o conjunto de nós para resolução da equação de Eikonal, em cima à direita d , em baixo
out
à esquerda d e em baixo à direita u. ................................................................................................... 18
in
Figura 3.6 - Localização dos diversos tipos de nós que definem os templates a utilizar. .................... 19
Figura 3.7 - Modelos de hexaedros aplicados aos vértices. (Ruiz-Gironés 2011) ............................... 20
Figura 3.8 - Modelos de hexaedros adjacentes às arestas. (Ruiz-Gironés 2011) ................................ 20
Figura 3.9 - Modelo de hexaedro adjacentes aos quadriláteros das faces. (Ruiz-Gironés 2011) ........ 20
Figura 3.10 - Modelos para semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011) ........................................................... 21
Figura 3.11 - Modelos para semi vértices. (Ruiz-Gironés 2011)........................................................... 21
Figura 3.12 - Localização de semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011) ......................................................... 21
Figura 3.13 - Localização do eixo médio de uma geometria e respectivas circunferências que o definem.
(Dey, 2007) ............................................................................................................................................ 24
Figura 3.14 - Circunferências tangentes à fronteira que definem eixo médio. (Dey, 2007) ................. 25
Figura 3.15 - Processo de varrimento em extrusão de um volume. (Roca 2009) ................................ 25
Figura 3.16 - Malha de volume com formato S. a) nós equidistantes, b) nós que minimizam a distância
entre arestas (Roca 2009) ..................................................................................................................... 26
Figura 4.1 - Malha de elementos triangulares de geometria estrela ..................................................... 29
Figura 4.2 - Level sets de geometria estrela ......................................................................................... 30
Figura 4.3 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 30
Figura 4.4 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 31
Figura 4.5 - Malha Estrela, método receding front, NF=12, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 31
Figura 4.6 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=5: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 32
Figura 4.7 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=7: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 32
vii
Figura 4.8- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 34
Figura 4.9 - Figura 0.1- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica
gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................ 34
Figura 4.10 - Malha Estrela, método das distâncias, NF=12, NN=11: (a) malha hexaédrica gerada; (b)
resultados da qualidade, inverso do número de condição. ................................................................... 35
Figura 4.11 - Geometria em estudo com localização do eixo médio determinado ............................... 36
Figura 4.12 – Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 821; (b)
malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. .............................................. 36
Figura 4.13 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 705; (b)
malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. .............................................. 37
Figura 4.14 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 1008;
(b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. ......................................... 37
Figura 4.15 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada, com número de elementos igual a 1352 ;
(b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. ......................................... 38
Figura 4.16 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus®: (a) método de construção; (b) malha
hexaédrica vista em corte;..................................................................................................................... 40
Figura 4.17 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus®: (a) qualidade dos elementos, inverso
do número de condição; (b) qualidade dos elementos, inverso do número de condição, vista da figura
em corte. ................................................................................................................................................ 41
Figura 4.18 - Malha Esfera-Cubo nº1: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da
malha, vista em corte. ........................................................................................................................... 41
Figura 4.19 - Malha Esfera-Cubo nº2: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da
malha, vista em corte. ........................................................................................................................... 42
Figura 4.20 - Malha Esfera-Cubo nº3: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da
malha, vista em corte. ........................................................................................................................... 42
Figura 4.21 - Malha Esfera-Cubo nº4: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da
malha, vista em corte. ........................................................................................................................... 43
Figura 4.22 - Malha prótese nº1: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo. .......................... 44
Figura 4.23 - Malha prótese nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo. .................................................................................................................... 45
Figura 4.24 - Malha cimento nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo. .................................................................................................................... 46
Figura 4.25 - Malha nº1 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo. ............................................................................................................................. 47
Figura 4.26 - Malha nº1 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte ................................................................................................ 48
Figura 4.27 - Malha prótese nº2: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo. .......................... 49
Figura 4.28 - Malha nº2 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte ........................................................................................ 50
viii
Figura 4.29 - Malha nº2 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo. .................................................................................................................... 51
Figura 4.30 - Malha nº2 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo. ............................................................................................................................. 52
Figura 4.31 - Malha nº2 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte ................................................................................................ 53
Figura 4.32 - Malha prótese nº3: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c)vista topo. ........................... 54
Figura 4.33 - Malha nº3 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo. .................................................................................................................... 55
Figura 4.34 - Malha nº3 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a)
vista frontal; (b) vista topo. .................................................................................................................... 56
Figura 4.35 - Malha nº3 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo. ............................................................................................................................. 57
Figura 4.36 - Malha nº3 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista
frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte. ............................................................................................... 58

ix