Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion: Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende

383 Pages·2018·7.298 MB·German

by  Joachim Engel

Mathematik für das Lehramt
Reiheherausgegebenvon
KristinaReiss
TechnischeUniversitätMünchen
ThomasSonar
TechnischeUniversitätBraunschweig
Hans-GeorgWeigand
UniversitätWürzburg
DieMathematikhatsichzueinerSchlüssel-undQuerschnittswissenschaftentwickelt,die
in vielen anderen Wissenschaften, der Wirtschaft und dem täglichen Leben eine bedeu-
tende Rolle einnimmt. Studierende, die heute für das Lehramt Mathematik ausgebildet
werden, werden in den nächsten Jahrzehnten das Bild der Mathematik nachhaltig in
den Schulen bestimmen. Daher soll nicht nur formal-inhaltlich orientiertes Fachwissen
vermittelt werden. Vielmehr wird großen Wert darauf gelegt werden, dass Studierende
explorativesundheuristischesVorgehenalseinegrundlegendeArbeitsforminderMathe-
matik begreifen. Diese neue Reihe richtet sich speziell an Studierende im Haupt- und
NebenfachMathematikfürdasgymnasialeLehramt(Sek.II)sowieinnatürlicherAngren-
zung an Studierende für Realschule (Sek. I) und Mathematikstudenten (Diplom/BA) in
der ersten Phase ihres Studiums. Sie ist grundlegenden Bereichen der Mathematik ge-
widmet: (Elementare) Zahlentheorie, Lineare Algebra, Analysis, Stochastik, Numerik,
Diskrete Mathematik etc. und charakterisiert durch einen klaren und prägnanten Stil so-
wie eine anschauliche Darstellung. Die Herstellung von Bezügen zur Schulmathematik
(„Übersetzung“indieSprachederSchulmathematik),vonQuerverbindungenzuanderen
Fachgebieten und die Erläuterung von Hintergründen charakterisieren die Bücher dieser
Reihe. Darüber hinaus stellen sie, wo erforderlich, Anwendungsbeispiele außerhalb der
MathematiksowieAufgabenmitLösungshinweisenbereit.
WeitereBändeinderReihe
http://www.springer.com/series/6902
Joachim Engel
Anwendungsorientierte
Mathematik:
Von Daten zur Funktion
Eine Einführung in die mathematische
Modellbildung für Lehramtsstudierende
2., vollständig überarbeitete Auflage
JoachimEngel
InstitutfürMathematikundInformatik
PädagogischeHochschuleLudwigsburg
Ludwigsburg
Deutschland
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MathematikfürdasLehramt
ISBN978-3-662-55486-9 ISBN978-3-662-55487-6(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55487-6
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Vorwort zur zweiten Auflage
LiebeLeserin,lieberLeser,
Die breite Zustimmung zur ersten Auflage hat eine Überarbeitung zu einer Neuauflage
motiviert. Die vorliegende Fassung wurde inhaltlich an einzelnen Stellen aktualisiert,
mathematischeHerleitungenmitdidaktischenAnmerkungenergänzt,undeswurdenwei-
tere, in Lehrveranstaltungen bewährte Beispiele zur Erläuterung von zentralen Ideen des
ModellierensmitFunktionenhinzugefügt.
Mathematische Software spielt beim Anwenden von Mathematik und beim Erlernen
grundlegender Konzepte mathematischer Ideen eine unverzichtbare Rolle. In der Neu-
fassung wurde darauf geachtet, die Bindung an spezielle Softwareprodukte so weit wie
möglichzulösenunddieBearbeitungvonBeispielenundAufgabenmitunterschiedlicher
Softwarezuermöglichen.
MeinDankgiltFrauSchmickler-HirzebruchundFrauHerrmannvomSpringer-Verlag
bei der Unterstützung eines fachwissenschaftlichen Buches, das didaktische Gesichts-
punktemiteinemausführlichenLehrtextverbindetsowiedenLeserinnenundLesernder
erstenAuflagefürihreRückmeldungen.
DerOnline-ServicezumBuchmiteinerReiheergänzenderMaterialienwurdeebenfalls
überarbeitet.SiefindendieInternetseitenzudiesemBuchunter
http://www.springer.com/de/book/9783662554869
Ludwigsburg,Juni2017 JoachimEngel
V
Aus dem Vorwort zur ersten Ausgabe von 2009
Eine der häufigsten Fragen gegenüber der Schulmathematik lautet: Wozu brauche ich
Mathematik? Diese Frage kann mit den üblichen Vorlesungen im Lehramtsstudium oft
nur unbefriedigend beantwortet werden. Dieses Buch will dazu beitragen, einige Ge-
biete der Mathematik vorzustellen, in denen Mathematik eine entscheidende Rolle zur
LösungvonaußermathematischenFragestellungenspielt,dieseMathematikaberweitge-
hend noch so elementar ist, dass sie auch in die Schulmathematik mit einfließen kann.
Im Mittelpunkt stehen beispielhafte und elementare Konzepte, Mathematik auf ausge-
wählteSachproblemeanzuwendenunddarüberzureflektieren,wieMathematikzueinem
besserenVerstehenderSachsituationbeitragenkann.
Anwendungen von Mathematik stehen in diesem Buch im Zentrum, es wird dabei
aber auch immer um bestimmte mathematische Techniken sowie um Vorgehensweisen
beim Anwenden von Mathematik gehen. Die Beispiele erstrecken sich von technisch-
naturwissenschaftliche Fragestellungen bis hin zu Modellierungen ökonomischer, biolo-
gischer und soziologischer Phänomene. Da sich dieses Buch besonders an angehende
Mathematiklehrerinnen und -lehrer wendet und kein Lehrbuch über Ökonomie, Technik
oderSoziobiologieist,gliedertessichnacheinervonderMathematikmotiviertenSyste-
matik. Wir orientieren uns an Vorgehensweisen, funktionale Abhängigkeiten zwischen
zweiGrößsenmitmathematischenMittelnzumodellieren.Dabeiwerdenwiranver-
schiedenen Stellen auf Inhalte aus Analysis, Stochastik, linearer Algebra und Numerik
zurückgreifen.
MeinzentralesAnliegenbestehtdarin,einbisindieSchulmathematikderunterenund
mittlerenKlassenreichendesaktuellesThemadermodernenMathematikkonsistentdarzu-
stellen.DerLeserwirddabeierfahren,wiemitzunehmendermathematischerKompetenz
verfeinerte Methoden eingesetzt werden können, um auf zunehmend anspruchsvollere
Weise in komplexeren Situationen ein und dasselbe Ziel zu verfolgen: Abhängigkei-
ten zwischen zwei Größen zu modellieren. Gleichzeitig will das Buch aufzeigen, wie
grundlegende Ideen zum Modellieren funktionaler Abhängigkeiten bei entsprechender
Elementarisierung bis in die Schulmathematik hinein lebendig und wirklichkeitsnah
gestaltet werden können. Eine curriculare Basis dafür ist die Tatsache, dass sowohl
der Funktionsbegriff als auch das Modellbildungskonzept allgemein als fundamentale
VII
VIII AusdemVorwortzurerstenAusgabevon2009
mathematische Ideen akzeptiert und als Leitideen des Mathematikunterrichts1 etabliert
sind.
Viele Anregungen und Beispiele in den Kap.2 und 5 stammen aus dem empfehlens-
werten Buch von Tim Erickson (2007): The Model Shop. Using Data to Learn about
Elementary Functions, eeps Media: Oakland, CA. Ein anderes empfehlenswertes Buch,
ausdemverschiedenehiervorgestellteIdeenentnommensind,istdasBuchvonThomas
Sonar (2002) Anwendungsorientierte Mathematik, Modellbildung und Informatik. Das
vorliegende Buchhättenichtentstehen können durchstetigeAnregungen, Diskussionen,
RückmeldungenundErmutigungenvonzahlreichenKolleginnenundKollegen.Meinganz
herzlicherDankgehtanRolfBiehler,TimErickson,MartinGundlach,SilkeHaußmann,
Marcus Herzberg, Norbert Herrmann, Ludger Jansen, Jan-Martin Klinge, Laura Mar-
tignon, Carmen Maxara, Thomas Rubitzko, Angela Stevens, Reimund Vehling, Markus
Vogel, Claudia Wörn und Marc Zimmermann sowie den Studentinnen und Studenten
meinerVorlesungenüberModellbildung.DemSpringer-VerlagdankeichfürdiesteteEr-
mutigungundkompetenteUnterstützungbeiderFertigstellungdiesesBuches.Meinganz
besondererDankgiltmeinerFamilie,diemich–begeistertvonderIdeediesesBuches–
geduldigertragenhat.
Ludwigsburg,Mai2009 JoachimEngel
1sieheKMKBildungsstandardsfürdenmittlerenSchulabschlussvon2004undKMKBildungsstan-
dardsimFachMathematikfürdieAllgemeineHochschulreifevon2012
Zum Umgang mit diesem Buch
DieInhaltedesvorliegendenBucheswurdeninmehrerenVorlesungenfürLehramtsstudie-
rendeerprobt.VorlesungenfürStudierendedesLehramtesanRealschulenim3.Semester
(und mit Abstrichen hiervon auch Vorlesungen für angehende Grundschullehrer und -
lehrerinnen) basierten bis auf wenige Auslassungen auf den Kap.1 und 2, Abschn.4.1,
4.2,und5.1bis5.3.DieseKapitelsetzenkaummehranmathematischenVorkenntnissen
voraus als das, was in der Mittelstufe des Gymnasiums gelehrt wird. Kap.3 (Splines
und Polynominterpolation) und Abschn.4.3 (Differenzengleichung und Chaos), 4.5 und
4.6(Differenzialgleichungen)verlangensichereKenntnissederOberstufenmathematikin
AnalysisundLinearerAlgebra.DieseKapitelwarenunterdemTitel„AngewandteAna-
lysis“ Inhalt von fortgeschrittenen Vorlesungen für Studierende des Sekundarlehramtes.
Eine mehrmals durchgeführte Vorlesung für Studierende des gymnasialen Lehramtes an
derUniversitätHannover„AnwendungsorientierteMathematik,ModellbildungundInfor-
matik“ beinhaltete im Wesentlichen die Inhalte der Kap.1 bis Abschn.5.7. Bei einigen
Teilen dieser Kapitel sind Kenntnisse aus einführenden Veranstaltungen in Analysis und
Linearer Algebra, wie sie in gymnasialen Studiengängen an Universitäten die Regel
sind, gewiss sehr hilfreich. Inhaltlich am anspruchsvollsten sind wohl Abschn.5.9 über
nichtlineareRegressionsowieAbschn.6.5zudenmathematischenGrundlagendesnicht-
parametrischen Kurvenschätzens. Diese Kapitel sind zur Vertiefung für fortgeschrittene
StudierendederMathematikmitgutenKenntnisseninmultivariaterAnalysisundStochas-
tik.DieseTeileführenanneuerecomputerintensivemathematischeMethodenheran,die
erst im Gefolge der Verfügbarkeit leistungsfähiger Hard- und Software im Laufe der
letzten35Jahreentwickeltwurden.
Anwendungsorientierte Mathematik ist heutzutage ohne Computereinsatz nicht mehr
denkbar – und zwar auf allen Ebenen, vom Mathematikunterricht in der frühen Sekun-
darstufe I, über die Sekundarstufe II bis hin zur Hochschulmathematik. Technologie
wird dabei eingesetzt, um lästige, aber im Prinzip verstandene Mathematik an den
„Rechenknecht“ Computer zu delegieren, aber auch als multimediales Mittel zur Veran-
schaulichung, um Konzepte zu illustrieren und zu entdecken. Zum Arbeiten in diesem
BuchkönnenverschiedeneSoftware-PaketewieComputer-Algebra-Systeme(CAS)oder
Tabellenkalkulationssysteme(TBK)eingesetztwerden.Beispiele,ProjekteundAufgaben
IX
X ZumUmgangmitdiesemBuch
sind – soweit möglich – unabhängig von einem speziellen digitalen Werkzeug formu-
liert. Für Kap.2 und 5 eignen sich insbesondere die Software FATHOM2 oder das frei
imInternetverfügbareGEOGEBRA,3wenngleichalleProblemstellungenindiesenbeiden
Kapitelnebenso(wennauchweitwenigerkomfortabel)miteinemCASwiez.B.MAPLE
oderMATHEMATICAodermitTabellenkalkulationssoftwarebearbeitetwerdenkönnen.In
anderen Kapiteln bieten CAS (Kap.3 und 4) oder Tabellenkalkulationssysteme (Kap.4)
einegeeignetetechnologischeUmgebungzurProblembearbeitung.BeieinigenFragestel-
lungenindenKap.5und6empfiehltsichdasstatistischeProgrammiersystemR,dassich
imakademischenBereichweitgehenddurchgesetzthatundunterhttp://cran.r-project.org
freierhältlichist.
Aufhttp://www.springer.com/de/book/9783662554869 findensichallehierbehandel-
ten Datensätze und Programme in den geeigneten Formaten von FATHOM, GEOGEBRA,
MAPLE,RsowiealsTextdatei.
2FATHOMisteineindenUSAentwickelteLernsoftwarezumAnwendenvonMathematik,dieauch
indeutscherVersionvorliegt(Biehleretal.2006).
3https://www.geogebra.org/download