Anwendungen der Graphentheorie im modernen Leben

49 Pages·2016·1.51 MB·German

Anwendungen der Graphentheorie
im modernen Leben

V A
ORWISSENSCHAFTLICHE RBEIT
L H
EONHARD OCHFILZER
K : 8A
LASSE
B : M . P P
ETREUER AG ETER OLLAK
J 2016
ÄNNER

BG|BRG P
URKERSDORF
H 4, 3002 P
ERRENGASSE URKERSDORF
Abstract
Diese Arbeit befasst sich mit dem mathematischen Teilgebiet der Graphentheorie. Es
werden Anwendungen, die erst mit neueren technologischen Entwicklungen Sinn ma-
chen, vorgestellt. Auch der Entstehungsprozess der Graphentheorie wird nähergebracht.
Dabei werden die Anwendungen hinsichtlich ihrer Zweckdienlichkeit betrachtet und es
wird der Frage des praktischen Nutzens der Graphentheorie nachgegangen. Außerdem ist
die These, dass Graphentheorie nützlich für das moderne Leben ist, zu prüfen. Zu diesem
Zweck wird Literaturrecherche betrieben, sowie ein Experiment an einem Gleichstrom-
kreis und eine Analyse einer Ampelschaltung durchgeführt. Außerdem werden teilweise
Hilfsgrößen eingeführt, um die anhand der Graphentheorie ermittelten Ergebnisse mit den
Messergebnissen objektiv vergleichen zu können. Die durchgeführte Recherche ergibt,
dass die Einfärbung von Graphen, um Frequenzen von Mobilfunkmasten zu verteilen,
nicht effizient genug ist, dass aber eine erweiterte Form des Dijkstra-Algorithmus zur
Bestimmung kürzester Routen in Navigationssystemen angewendet wird. Aus dem Ex-
periment an dem Gleichstromkreis ist zu schließen, dass es mit graphentheoretischen Me-
thoden möglich ist, die Spannungen eines Gleichstromkreises gut zu modellieren. Durch
die Analyse der Kreuzung lässt sich vermuten, dass es sinnvoll ist, graphentheoretische
Methoden zu nutzen, um eine optimale Ampelschaltung einer Kreuzung zu erhalten.

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Inhalt
Abstract ............................................................................................................................. 2
1 Einleitung ....................................................................................................................... 5
2 Historischer Aspekt der Graphentheorie ........................................................................ 7
2.1 Königsberger Brückenproblem ................................................................................ 7
2.2 Eulersche Polyederformel ...................................................................................... 10
2.3 Das Versorgerproblem ............................................................................................ 11
3 Anwendungen der Graphentheorie .............................................................................. 14
3.1 Routenplanung ........................................................................................................ 14
3.1.1 Verdeutlichung des Dijkstra-Algorithmus anhand eines Beispiels ..................... 14
3.1.2 Gültigkeitsbeweis des Dijkstra-Algorithmus ...................................................... 19
3.2 Frequenzplanung im Mobilfunk ............................................................................. 21
3.3 Gleichstromkreise ................................................................................................... 24
3.3.1 Zufallswanderung................................................................................................ 26
3.3.2 Verallgemeinerung .............................................................................................. 29
3.4 Optimierung von Ampelschaltungen ...................................................................... 32
4 Vergleich von Erhebungsergebnissen mit den ermittelten Ergebnissen ...................... 35
4.1 Lokalanalyse einer Kreuzung in Wien Penzing ..................................................... 35
4.1.1 Ermitteln möglicher Schaltungen durch graphentheoretische Methoden ........... 36
4.1.2 Observierung der Kreuzung ................................................................................ 38
3
4.1.3 Vergleich der Beobachtung mit den ermittelten Ergebnissen ............................. 38
4.2 Messen der Spannungen eines Gleichstromkreises ................................................ 40
4.2.1 Rechnerisches Ermitteln der Potenziale .............................................................. 40
4.2.2 Messung der Widerstände ................................................................................... 42
4.2.3 Vergleich der Rechen- und Messergebnisse ....................................................... 43
Resümee .......................................................................................................................... 44
Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 46
Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... 47
Glossar ............................................................................................................................ 48

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1 Einleitung
Graphentheorie. Die meisten Menschen, die sich nicht näher mit diesem Thema befasst
haben, werden denken, dass die Graphentheorie in Zusammenhang mit Funktionsgraphen
steht. Tatsächlich unterscheiden sich die hier untersuchten Graphen grundlegend von
Funktionsgraphen. In dieser Arbeit werden Graphen betrachtet, die aus einer Menge von
Knoten und Kanten bestehen, wobei eine Kante immer zwei Knoten miteinander verbin-
det (siehe Abbildung 1).
Abb. 1: Ein Graph im graphentheoretischen Sinn

Vieles, wie etwa Prozesse oder Geräte, wird durch das mathematische Instrument der
Graphentheorie verbessert oder gar ermöglicht. Das Ziel dieser Arbeit ist einerseits, ei-
nige dieser Anwendungen vorzustellen und so dem Leser die Bedeutung der Graphenthe-
orie vor Augen zu führen. Andererseits soll durch die Vorstellung jener Anwendungen
auch ein Einblick in die Graphentheorie aus mathematischer Sicht gewährt werden. Zu-
sätzlich soll der historische Hintergrund erläutert werden, um zu verstehen, wie es zu der
abstrakten Idee eines Graphen kam und wie sie sich entwickelt hat.
Im Hauptteil werden zunächst die Anfänge der Graphentheorie erläutert, um den Leser
der Arbeit in das Thema einzuführen. Dabei wird auch das „Königsberger Brückenprob-
lem“ vorgestellt, eines der bekanntesten mittels Graphentheorie gelösten Probleme. Dabei
wird sich vor allem auf das Werk Wladimir Velminskis gestützt, der Eulers Manuskripte
digital verschriftlichte und dies herausgab [vgl. 11]. Danach werden eine Reihe von An-
wendungen erläutert, die ohne dem Grundgerüst der Graphentheorie nicht oder zumindest
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nicht so existieren würden, hauptsächlich basierend auf den Ausführungen von Krumke
et al. [vgl. 7]. Hierbei handelt es sich um Themenebereiche wie zum Beispiel Routenpla-
nung oder Ampeln, die dem Leser aus dem Alltag wohlbekannt sind. Das letzte Kapitel
widmet sich ausschließlich den Ampelschaltungen und Gleichstromkreisen. Die Ergeb-
nisse, die mittels der graphentheoretischen Methoden gefunden wurden, werden mit den
Erhebungsergebnissen verglichen und eventuelle Abweichungen evaluiert.
Es handelt sich bei der vorliegenden Arbeit vorwiegend um eine Literaturarbeit, da der
Großteil der Arbeit auf mathematischen, beziehungsweise graphentheoretischen Konzep-
ten basiert, die in der angeführten Literatur dargeboten werden. Das letzte Kapitel lässt
sich als „empirischer Teil“ kategorisieren, da selbstständige Untersuchungen und Be-
obachtungen durchgeführt werden. Die meisten Graphen und Diagramme sind eigenstän-
dig erstellt worden.
Auch wenn die Graphentheorie in dieser Arbeit aus möglichst mathematischer Sicht be-
trachtet werden soll, wird darauf verzichtet, jeden einzelnen Satz zu beweisen, da die
Komplexität mancher Beweise den Umfang einer vorwissenschaftlichen Arbeit sprengen
würde. Die meisten Sätze, die nicht bewiesen werden, sind zudem intuitiv verständlich.

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2 Historischer Aspekt der Graphentheorie
Auch wenn die Graphentheorie vor allem Anwendung in Technologien findet, die es erst
seit dem 20. Jahrhundert gibt, war es bereits im 18. Jahrhundert Leonhard Euler, der die
Idee hatte, Gegebenheiten aus der echten Welt in „Knoten“ und „Kanten“ zu abstrahieren.
Diese Methode legte den Grundstein für ein Konzept, das über die letzten Jahrhunderte
stetig weiterentwickelt wurde und heute einen großen Teilbereich der Mathematik dar-
stellt: Die Graphentheorie. Aufgrund ihrer Anwendungsorientiertheit und extremen Nütz-
lichkeit ist sie die Basis vieler Algorithmen, die sich zum Beispiel in Routenplanern fin-
den. Die Entstehung der Graphentheorie fand vor ungefähr 270 Jahren statt, als Leonhard
Euler die Lösung des wohlbekannten „Königsberger Brückenproblems“ dem Plenum der
St. Petersburger Akademie der Wissenschaft vorstellte [vgl. 11, S.12 ff.].
Euler hatte jedoch weit mehr im Bereich der Graphentheorie zu verzeichnen, als nur die
Lösung des Königsberger Brückenproblems. Er schaffte es mit ähnlichen Methoden Rät-
sel über sogenannte magische Quadrate und Rösselsprünge zu lösen, die zwar auf den
ersten Blick über keine direkte Anwendung verfügen, jedoch einen großen Einfluss auf
die Graphentheorie selbst hatten. [vgl. 11, S.88 ff.]. Bemerkenswert ist außerdem seine
Arbeit der Erforschung von 3-dimensionalen topologischen Oberflächen, wobei er viele
Eigenschaften fand, und Probleme durch die Anwendung der Graphentheorie löste. [vgl.
11, S.29 ff.]
2.1 Königsberger Brückenproblem
Leonhard Euler wurde erstmals mit dem „Königsberger Brückenproblem“ vertraut, als
Carl Leonhard Gottlieb Ehler ihm 1736 einen Brief schickte, in dem er um eine Lösung
des folgenden Problems
bat [vgl. 11, S. 152 f.]: Ist
es möglich, einen Rund-
gang durch Königsberg zu
machen, bei dem man jede
Brücke genau einmal pas-
siert und am Ende am An-
fangspunkt landet (siehe
Abbildung 2)? Abb. 2: Skizze des Stadtplans
7
Zunächst könnte man versuchen, alle möglichen Routen zu ermitteln und dann auf eine
Antwort zu schließen. Euler verwarf diesen Ansatz jedoch, da es einerseits einen enormen
Arbeitsaufwand bedeutet hätte und sich diese Methode nicht verallgemeinern ließe, um
ähnliche Probleme zu lösen [vgl. 11, S.14].
Eulers ursprüngliche Lösung nimmt
weit mehr Platz als die hier vorge-
stellte ein, weil Graphentheorie bis da-
hin noch nicht existierte, und daher
Begriffe, Definitionen und Schreib-
weisen, um vieles abzukürzen und zu
präzisieren, damals noch nicht vor-
handen waren [vgl. 11, S.12 ff.]. Die
Ideen und Ansätze der angeführten
Lösung bleiben jedoch erhalten:
Euler bezeichnete die Landschaftsstü-
cke mit den Großbuchstaben A, B, C,
D und die Brücken mit den Kleinbuch-
staben a, b, c, d, e, f (siehe Abbildung
2 und Abbildung 3).
Abb. 3: Beschrifteter Graph von Königsberg
DEFINITION:
Ein ungerichteter Graph 𝐺 = (𝑉,𝐸) ist ein Paar disjunkter Mengen mit 𝐸 ⊆ [𝑉]2; die
Elemente aus E werden als Kanten und diejenigen aus V als Knoten (Ecken) bezeichnet.
Bei dem Königsberger Brückenproblem behandeln wir also den Graphen 𝐺 = (𝑉,𝐸) auf
𝑉 = {𝐴,𝐵,𝐶,𝐷} mit der Kantenmenge 𝐸 = {{𝐴,𝐵}, {𝐴,𝐵},{𝐴,𝐶},{𝐴,𝐶},{𝐴,𝐷},{𝐵,𝐷},
{𝐶,𝐷}}.
Die beiden zweielementigen Mengen {𝐴,𝐵} = 𝑎 = 𝑏 und {𝐴,𝐶} = 𝑐 = 𝑑 kommen zwei-
mal in der Kantenmenge vor, da es zur Verbindungsstrecke von A nach B beziehungs-
weise A nach C jeweils zwei Brücken gibt.
Die grafische Darstellung erfolgt, indem man für jedes Element 𝑣 ∈ 𝑉 einen Punkt zeich-
net und für jedes Element 𝑒 ∈ 𝐸 eine Verbindungslinie zwischen den beiden Knoten des
Paars zieht. Entscheidend für die Lösung des Problems ist die Tatsache, dass die graphen-
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theoretischen Eigenschaften unabhängig von der Geographie des zu untersuchenden Ge-
ländes sind. Es gibt unendlich Möglichkeiten einen Graphen darzustellen, ohne die gra-
phentheoretischen Eigenschaften zu verändern. Eine Möglichkeit den Graphen von Kö-
nigsberg darzustellen findet sich in Abbildung 2.
Hierbei lässt sich gut erkennen, dass die Form der Brücken und Landschaftsstücke unbe-
deutend für die Lösung des Problems ist, und dass die Abstraktion in Kanten und Ecken
einen besseren Überblick über das Problem ermöglicht.
Die Verallgemeinerung des Problems führte zu der Formulierung des Satzes von Euler.
DEFINITION:
Der Grad 𝑑(𝑣) eines Knotens (Ecke) 𝑣 ist die Anzahl |𝐸(𝑣)| der zu 𝑣 inzidenten Kanten.
Eine Kante 𝑒 und ein Knoten 𝑣 inzidieren miteinander, wenn 𝑣 ∈ 𝑒 gilt.
SATZ VON EULER FÜR UNGERICHTETE GRAPHEN:
Ein endlicher ungerichteter Graph ist genau dann eulersch, wenn alle Ecken geraden
Grad haben. Er hat genau dann einen eulerschen Weg, wenn genau zwei Ecken ungera-
den Grad haben (diese bilden Anfangs- und Endecke jedes eulerschen Weges).
Wenn ein Graph eulersch ist, dann ist es möglich einen Rundweg zu gehen, wobei man
jede Kante genau einmal verwendet. Der Gedanke, um den ersten Teil dieses Satzes zu
erklären, ist folgender: Immer, wenn man ein Landschaftsstück betritt, muss man es auch
wieder verlassen (außer beim End-/Anfangspunkt; diesen verlässt man, woraufhin man
ihn wieder betreten muss). Nun wird sowohl beim Betreten, als auch beim Verlassen eine
Brücke überquert. Da man wissen will, ob es möglich ist, einen Rundgang zu finden, bei
dem jede Brücke lediglich einmal überquert wird, ist daher eine gerade Anzahl von Brü-
cken, die an jedes Landschaftsstück anschließt, notwendig, um einen solchen Rundweg
gehen zu können.
Der zweite Teil des Satzes behandelt eulersche Wege, dies sind Wege, bei denen jede
Brücke zwar nur einmal überquert wird, jedoch Anfangs- und Endpunkt verschieden sind.
Dies lässt sich folgendermaßen begründen: Unterscheidet sich nun der Anfangs- vom
Endpunkt, so muss der Anfangspunkt immer einmal mehr verlassen werden, als er betre-
ten wird. Analog dazu muss der Endpunkt immer einmal mehr betreten werden, als er
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verlassen wird. Da die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen immer
ungerade ist, folgt daher, dass der Grad des End- und Anfangspunkts ungerade sein muss.
Da der Grad der Ecke A ungerade ist, folgt aus dem obigen Satz, dass der Graph nicht
eulersch ist, sprich, dass es keinen Rundweg gibt, bei dem man jede Brücke nur einmal
überquert. Auch ein eulerscher Weg ist nicht möglich, da der Grad jeder Ecke ungerade
ist, und da |𝑉| > 2.
Mit der Lösung dieses Problems legte Leonhard Euler den Grundstein für die Graphen-
theorie.
2.2 Eulersche Polyederformel
Wie oben schon erwähnt, beschäftigte Euler sich ausgiebig mit graphentheoretischen
Strukturen von 3-dimensionalen Körpern [vgl. 11, S.31 ff.]. Viele Beobachtungen stehen
in Zusammenhang mit der Anzahl der Kanten und Flächen verschiedener Polyeder. Vor
allem die Aufstellung der folgenden Gleichung ist von Bedeutung.
SATZ:
Für jedes Polyeder gilt die Gleichung 𝑉 −𝐸 +𝐹 = 2. 𝑉 bezeichnet hierbei die Anzahl
der Knoten, 𝐸 gibt die Anzahl der Kanten an und 𝐹 die Anzahl der Flächen.
Dies zu beweisen ist am einfachsten, wenn man ein allgemeines Polyeder auf einen plana-
ren Graphen in der euklidischen Ebene reduziert. Planar bedeutet in diesem Zusammen-
hang, dass sich zwei Kanten nicht schneiden dürfen. Auf einen formellen Beweis, dass es
möglich ist jedes Polyeder in einen planaren Graphen einzubetten, wird hier verzichtet.
Intuitiv kann man es sich aber folgendermaßen vorstellen:
Man entfernt eine beliebige Seite eines Polyeders und zieht die angrenzenden Kanten
auseinander, sodass man das Polyeder auf eine Ebene „auflegen“ kann. Damit die Glei-
chung auf der rechten Seite noch immer 2 ergibt, zählt man die Außenfläche als eigene
Fläche hinzu.
Nun ist nur zu zeigen, dass die obige Gleichung für jeden planaren und zusammenhän-
genden Graphen gilt. Dies kann per mathematischer Induktion relativ einfach gezeigt
werden, wobei es sich im Folgenden wieder um einen eher wenig formellen und intuitiven
Beweis handelt:
Man betrachte den trivialen Graphen. Dieser enthält nur einen Knoten und keine Kanten
und erfüllt damit die Gleichung, da 1−0+1 = 2. Fügt man nun ein Objekt hinzu, gibt
es zwei Fälle:
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