Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung elektromagnetischer Felder in ...

212 Pages·2008·3 MB·German

Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung
elektromagnetischer Felder in symmetrischen
Strukturen auf Basis der Randelementmethode
Vom Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
der Technischen Universit¨at Darmstadt
zur Erlangung
der Wu¨rde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigte
Dissertation
von
Dipl.-Ing. Denis Sievers
geboren am 11. Januar 1974 in Aschersleben
Darmstadt 2008
Referent: Prof. Dr.-Ing. Thomas Weiland
Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Thomas Eibert
Tag der Einreichung: 23. Oktober 2007
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 24. Januar 2008
D 17
Darmst¨adter Dissertation

Meiner lieben Mutter gewidmet.

Vorwort
DievorliegendeArbeitentstandw¨ahrendmeinerT¨atigkeitalswissenschaftlicher Mitarbei-
ter am Institut fu¨r Theorie Elektromagnetischer Felder des Fachbereiches Elektrotechnik
und Informationstechnik der Technischen Universit¨at Darmstadt.
An dieser Stelle m¨ochte ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Weiland fu¨r die Aufnahme am
Institut fu¨r Theorie Elektromagnetischer Felder sowie die Erm¨oglichung dieses Promoti-
onsvorhabens unter ausgezeichneten Arbeitsbedingungen meinen tiefsten Dank ausspre-
chen.
Ebenso gilt mein Dank Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Eibert von der Universit¨at Stuttgart
fu¨r das meiner Arbeit entgegengebrachte Interesse sowie die bereitwillige U¨bernahme des
Korreferates mit allen damit verbundenen Mu¨hen.
Herrn Dr. Igor Zagorodnov danke ich fu¨r die Motivation zu dieser interessanten Thematik
und die vielen wertvollen Anregungen und Ratschl¨age. Zudem danke ich Herrn Prof. Dr.-
Ing. Rolf Schuhmann und Herrn Dr.-Ing. Wolfgang Ackermann fu¨r die wissenschaftliche
Betreuung w¨ahrend der Promotion.
Herrn Dipl.-Ing. Felix Wolfheimer danke ich sehr herzlich fu¨r die gewissenhafte und kriti-
sche Durchsicht des Manuskripts, die immer w¨ahrende Diskussionsbereitschaft sowie die
¨außerst angenehme und fruchtbare Zusammenarbeit im Rahmen unserer Lehrt¨atigkeit.
Meinen KollegenHerrnDr.-Ing.TimoEuler undHerrnDr.-Ing.AndreasPaechm¨ochte ich
fu¨r das angenehme und freundschaftliche Arbeitsklima in dem Bu¨ro, das wir teilten, sowie
fu¨r die vielen fachlichen Diskussionen aufrichtig danken. Herrn Dipl.-Ing. Lukas H¨anichen
danke ich fu¨r die uneigennu¨tzige Unterstu¨tzung bei der U¨bersetzung der Kurzfassung.
Frau Heike Seiler sei fu¨r ihre stete und unermu¨dliche Hilfsbereitschaft bei Verwaltungs-
angelegenheiten und organisatorischen Fragen gedankt.
Besonderer Dank gebu¨hrt meiner Mutter und meinen Geschwistern fu¨r die fortw¨ahrende
moralische Unterstu¨tzung und den n¨otigen famili¨aren Ru¨ckhalt in dieser Zeit.
Darmstadt, im Januar 2008

Kurzfassung
In der Praxis sind h¨aufig elektromagnetische Feldprobleme anzutreffen, die durch eine
gewisse geometrische Symmetrie gekennzeichnet sind. Bei ihrer numerischen Behandlung
ist es im Hinblick auf den damit erzielbaren Rechenvorteil wu¨nschenswert, Redundanzen
in der geometrischen Modellbeschreibung und, damit verbunden, in der Rechengebiets-
gr¨oße zu vermeiden. Auf Basis gruppentheoretischer Methoden ist es bei Vorliegen einer
durcheinefiniteGruppecharakterisierten Symmetriem¨oglich,auseiner bestimmten Klas-
se stammende Randwertaufgaben in mehrere, voneinander unabh¨angige Teilprobleme zu
zerlegen, die auf einem Gebiet reduzierter Gr¨oße definiert sind. Dabei muss die Anregung
selbst keine symmetrischen Eigenschaften aufweisen. Dieses als nichtkommutative harmo-
nische Analyse bezeichnete Konzept wurde bisher im Rahmen der Randelementmethode
nur auf Integralgleichungstypen mit Belegfunktionen, an die keine Stetigkeitsforderun-
gen gestellt sind, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wird anhand der Reduktion der
elektrischen Feldintegralgleichung mit Fokus auf elektromagnetische Streuprobleme und
Eigenwertaufgaben eine Verallgemeinerung dieser Methodik zur Erweiterung ihrer An-
wendbarkeit auf Formulierungen mit stetigen Randbelegungen vorgeschlagen.
Ausgehend von der direkten Herleitung g¨angiger Oberfl¨achenintegralgleichungsformulie-
rungen wird zu Beginn ein als Momentenmethode bekanntes Projektionsverfahren vor-
gestellt, das im weiteren Verlauf zur approximativen L¨osung der elektrischen Feldinte-
gralgleichung dienen soll. In diesem Kontext werden zwei weit verbreitete Techniken zur
Regularisierung der indiesemProzessschritt auftretendensingul¨arenIntegralehinsichtlich
Genauigkeit und Effizienz miteinander verglichen und ihr Einfluss auf die Konvergenzei-
genschaften des eingesetzten Quadraturverfahrens untersucht. Im Hauptteil der Arbeit
wird nach Einfu¨hrung wichtiger Begriffe und Definitionen aus der Gruppen- und Darstel-
lungstheorie diegrundlegende Ideedes abstraktenFormalismus der harmonischen Analyse
auffinitenGruppendargelegtsowiedieerforderlichenVoraussetzungen fu¨rderenAnwend-
barkeit herausgearbeitet. Anschließend wirddieTransformationder hier betrachteten Mo-
dellgleichung in einen Satz voneinander unabh¨angiger, strukturgleicher Integralgleichun-
gen demonstriert, dessen A¨quivalenz zum Ausgangsproblem jedoch erst durch Vorgabe
zus¨atzlicher Zwangsbedingungen auf den durch die Einschr¨ankung des Rechengebiets ent-
stehenden Schnittr¨andern herstellbar ist. Zentralen Arbeitsschwerpunkt bildet eine syste-
matische und mathematisch strenge Ableitung dieser von den Stetigkeitseigenschaften der
Feldgr¨oßen abh¨angigen Schnittkantenbedingungen sowie deren Einbindung in den darauf
folgenden Diskretisierungsprozess, wozu speziell angepasste Ansatzfunktionen entwickelt
werden. Besonderer Wert wird dabei auf eine m¨oglichst allgemein gehaltene Darstellung
sowie methodische Vorgehensweise gelegt,damit eine einfache U¨bertragbarkeit auf weitere
Problemformulierungen ohne Schwierigkeiten m¨oglich ist. Aufgrund der erreichten Zerle-
gung in mehrere, voneinander unabh¨angige Systeme reduzierter Gr¨oße wird im Vergleich
zur L¨osung des Gesamtproblems sowohl der Speicherplatzbedarf als auch der Rechen-
zeitaufwand um einen von der zugrunde liegenden Symmetriegruppe abh¨angigen Faktor,
fu¨r den entsprechende Absch¨atzungen angegeben werden, herabgesetzt. Am Beispiel der
numerischen Berechnung des Ru¨ckstreuquerschnitts der in der Hobbyschifffahrt zum Ein-
satz kommenden oktaedrischen Radarreflektoren sowie der Eigenwertanalyse eines in der
Beschleunigertechnik verwendeten Hohlraumresonators wird die Leistungsf¨ahigkeit und
Einsetzbarkeit der vorgestellten Methode verdeutlicht.

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Einordnung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Randelementmethode 9
2.1 Klassische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Das System der Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Zusammenh¨ange auf Oberfl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Formulierung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Randintegralgleichungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Darstellungsformeln fu¨r elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Ober߬achenintegralgleichungsformulierungen . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Diskretisierung von Randintegralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Prinzip der Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Approximation der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Elektrische Feldintegralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Berechnung der Matrixbeitr¨age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Behandlung singul¨arer Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Aspekte bei der L¨osung des diskreten Problems . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Elektromagnetische Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Bestimmung von Streuquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.1 Begriffsbildung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
i
ii Inhaltsverzeichnis
2.6.2 Fernfeldberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.3 Schnelle Frequenzganganalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Finite Symmetriegruppen 59
3.1 Symmetrie und deren Bedeutung in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Grundlagen und Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Gruppen- und Darstellungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Gruppenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Zerlegung in Symmetrietypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Spektralanalyse der Symmetrieoperatoren . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.2 Eigenschaften der Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.3 Abstrakte harmonische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Symmetriereduktion der elektrischen Feldintegralgleichung 93
4.1 Grundlegendes Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Separation linearer Operatorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 Fundamentalgebiet geometrischer Strukturen . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.3 Geometrische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.4 Symmetrische Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.5 Klassifikation von Eigenl¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Diagonalisierung des Integraloperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 Reduktion der Integraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Matrixdarstellung des Integraloperators . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Bedingungen an den Schnittkanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.1 A¨quivalente Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2 Fixpunktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Diskretisierung der reduzierten Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.1 Basisfunktionen fu¨r ¨aquivalente Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 Basisfunktionen fu¨r fixe Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.3 Aufstellung des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 Berechnung der Fernfelddaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6 Aufwandsabsch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133