Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1902
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 519.413:519.422
Dr. rer. nat. Ekkehard Altmann
Rhein.-WestJ. Institut für Instrumentelle Mathematik (llM) Bonn
Anwendung der Theorie der Faktorisierungen
(Nr. 20 der Schriften des IIM . Serie A)
WESTDEUTSCHER VERLAG· KÖLN UND OPLADEN 1968
Diese Veröffentlichung ist zugleich Nt. 20 der »Schriften des Rheinisch-Westfälischen
Institutes für Instrumentelle Mathematik an der Universität Bonn (Serie A)«.
ISBN 978-3-322-96083-2 ISBN 978-3-322-96217-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96217-1
Verlags-Nr. 011902
© 1968 by Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag·
Inhalt
Einleitung ............................................................. 5
Kapitel I
Die allgemeine Theorie der Faktorisierungen nach REDEI-SZEP 7
§ 1 Bestimmungsstücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 2 Eine Folgerung aus dem Satz von FEIT-THOMPsoN ..................... 10
Kapitel II
Bestimmung der Automorphismengruppen von auflösbaren Gruppen und von
Schreierschen Erweiterungen mit teilerfremden Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
§ 1 Auflösbare Gruppen ................................................ 11
§ 2 Schreiersche Erweiterungen mit teilerfremden Ordnungen ............... 14
Kapitel III
Die Krullschen w-Sylowgruppen 17
Kapitel IV
Stabilitätsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
§ 1 Allgemeines........................................................ 21
§ 2 Stabilitätsgruppen auflösbarer Gruppen und Schreierscher Erweiterungen mit
teilerfremden Ordnungen ........................................... 23
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
Bezeichnungen und Definitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
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Einleitung
Ist eine endliche Gruppe G direktes Produkt von s Untergruppen U" dann gilt:
1) Je zwei Faktoren U, und U" mit t =1= u sind elementeweise miteinander vertauschbar.
2) Die Gruppe G ist Komplexprodukt sämtlicher U,.
s
3) Jede Gruppe U, hat mit dem Produkt II U" trivialen Durchschnitt.
,,~1
i<=Fl
In vielen Fällen kann man aus der Kenntnis gewisser Eigenschaften der Faktoren U,
Schlüsse auf gewisse Eigenschaften der Gesamtgruppe G ziehen.
Fordert man statt 1) nur, daß je zwei Faktoren U" U" als Komplexe miteinander ver
tauschbar sind, so erhält man nach B. H. NEuMANN eine Zerlegung von G in ein »all
gemeines Produkt« (general product).
Natürlich wird dann die Untersuchung viel schwieriger als bei den direkten Produkten.
So stößt man schon bei Auflösbarkeitsuntersuchungen auf große Schwierigkeiten. Eine
Zusammenfassung darüber findet sich in einem Vortrag, den B. HUPPERT [9] im März
1954 im Mathematischen Kolloquium der Humboldt-Universität zu Berlin gehalten
hat.
Das Hauptinteresse der vorliegenden Arbeit gilt Fragen, die mit der Automorphismen
gruppe der Gesamtgruppe zusammenhängen. Es ist klar, daß neben den (als bekannt an
genommenen) Eigenschaften der Faktoren U, auch die Einbettung der U, in die Ge
samtgruppe eine wichtige Rolle spielt.
Aus diesem Grunde wird zuerst (Kapitel I) eine Einführung in die Theorie der Faktori
sierungen nach REDEI und SZEP gebracht, ergänzt durch Ergebnisse aus einer früheren
Arbeit des Verfassers [1].
Die allgemeinen Fundamentalsätze werden z. T. unter Berufung auf die Literatur ohne
Beweis angegeben. Dort jedoch, wo ein Beweis nicht schwierig oder für das weitere Ver
ständnis förderlich ist, wird dieser gebracht.
Als unmittelbare Anwendung bringt der zweite Teil des Kapitel I eine Folgerung aus
dem Satz von FEIT-THoMPsoN über die Auflösbarkeit der Gruppen ungerader Ordnung.
Es wird gezeigt: Ist die Ordnung einer endlichen Gruppe nicht durch 16 teilbar, so ist
diese Gruppe genau dann auflösbar, wenn in ihr ein 2-Sylow-Komplement existiert, und
sie nicht die bekannte Gruppe GI68 als homomorphes Bild besitzt (vgl. hierzu B. HUPPERT
[9]).
Kapitel II ist der Bestimmung der Automorphismengruppen von faktorisierten auflös
baren Gruppen und von Schreierschen Erweiterungen mit teilerfremden Ordnungen
gewidmet: Gesucht werden Methoden, die es gestatten, mit Hilfe der die Faktorisierun
gen bestimmenden Gesetze die zugehörigen Automorphismengruppen mit der Hand
oder der Maschine aus den Automorphismengruppen der einzelnen Faktoren zu berech
nen. Es zeigt sich, daß nur die Kenntnis gewisser »zulässiger« Automorphismen der
Faktoren nötig ist. Dabei heißt ein Automorphismus eines Faktors zulässig, wenn er mit
den die Faktorisierung bestimmenden Vertauschungsregeln in einem bestimmten Sinn
verträglich ist.
Das Nachprüfen der Zulässigkeit läuft im Prinzip auf folgendes hinaus: Die Faktoren U,
werden homomorph in die symmetrischen Gruppen Slu,,1 abgebildet (u =1= t). Es wer
den die Automorphismen von U" herausgesucht, welche diese homomorphen Bilder in
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einem bestimmten Sinn normalisieren. Diese normalisierenden Automorphismen indu
zieren innere Automorphismen auf den Bildern von V, . Von den Bildern unter diesen
inneren Automorphismen müssen dann die Urbilder in V, aufgesucht werden.
Hierbei steht man, zumindest bei Gruppen größerer Ordnung, rechnerisch scheinbar
vor unrentabel schweren Problemen. Diese werden aber durch einen einfachen Kunst
griff umgangen: Die Elemente, die das gleiche Bild haben, werden nach Anwendung des
Homomorphismus nicht miteinander identifiziert. Einem jedem wird als Index sein Ur
bild angeheftet. Es müssen dann nur noch je zwei Matrizenpaare verglichen werden.
Abschließend wird für Schreiersche Erweiterungen mit teilerfremden Ordnungen eine
Abschätzung der Ordnung der Automorphismengruppe angegeben.
Der dem zweiten Teil von Kapitel II vorangestellte Satz schlägt eine Brücke zu Kapi
tel III. Diese bringt eine Einführung der Krullschen w-Sylowgruppen, wie sie z. T. von
W. BRAUER [3] behandelt worden sind. Die Theorie der Faktorisierungen ermöglicht es
hier, das Verhalten dieser Gruppen zu den Hallschen Systemnormalisatoren näher zu
untersuchen.
Sämtliche vorangegangenen Kapitel stellen Hilfsmittel dar für das Kapitel IV.
Hier werden zunächst die auf L. KALOUJNINE zurückgehenden Stabilitätsgruppen ein
geführt, und es wird ihre Beziehung zur Cohomologietheorie angegeben.
Die Eigenschaften dieser Stabilitätsgruppen sind durch Arbeiten von L. KALOUJNINE,
1. J. MOHAMED, R. BAER und anderen genau bekannt. Die Frage, wann überhaupt nicht
triviale Stabilitätsgruppen existieren, gewinnt dadurch an Bedeutung, daß die zu charak
teristischen Untergruppen gehörigen Stabilitätsgruppen abelsche Normalteiler der
Automorphismengruppe sind. Man kann sie aus diesem Grunde benutzen, aus der Struk
tur der Grundgruppe Strukturaussagen über ihre Automorphismengruppe abzuleiten.
Es gilt also zu untersuchen, in welchen Gruppen charakteristische Untergruppen mit
nichttrivialer Stabilitäts gruppe existieren. Dabei zeigt es sich, daß es genügt, sich auf die
abelschen charakteristischen Untergruppen zu beschränken. Gibt es eine solche, die nicht
im Zentrum enthalten ist, dann liefert diese bereits eine nichttriviale Stabilitätsgruppe.
Eine Gruppe heißt zentralabelsch, wenn das Zentrum maximale abelsche charakteristi
sche Untergruppe ist, sie heißt stabil, wenn sie nur triviale Stabilitätsgruppen charakteri
stischer Untergruppen besitzt.
Die weitere Untersuchung beschränkt sich auf zentralabelsche auflösbare Gruppen und
zentralabelsche Gruppen mit HaUschen Normalteilerketten. Auflösbare Gruppen lassen
sich bekanntlich (P. HALL [5]) in mannigfacher Weise als Produkt von Untergruppen
teilerfremder Ordnung darstellen. Für Gruppen mit Hallschen Normalteilerketten liefert
der dem zweiten Teil von Kapitel II vorangestellte Satz eine Faktorisierung. Diese Grup
pen sind bereits dann schon abelsch, wenn es ihre Faktoren sind.
Ihr Zentrum läßt sich darstellen als direktes Produkt der Zentren der in den Faktoren
enthaltenen maximalen Normalteiler der Gesamtgruppe.
Da bei zentralabelschen Gruppen die Stabilitätsgruppen stark mit gewissen zentralen
Endomorphismen zusammenhängen, lassen sich hier einige Untergruppen angeben,
welche die Lage von charakteristischen Untergruppen mit nichttrivialer Stabilitäts
gruppe einschränken.
Mehrere Stabilitätskriterien schließen das Kapitel ab.
Diese Arbeit wurde angeregt durch Herrn Professor Dr. Dr. h. c. WOLFGANG KRULL,
der sich für Faktorisierungen und Automorphismen von w-Sylowgruppen interessierte.
Ihm und Herrn Professor Dr. HELMUT SCHIEK danke ich für wertvolle Ratschläge.
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KAPITEL I
Die allgemeine Theorie der Faktorisierungen nach REDEI-SZEP
§ 1 Bestimmungsstücke
Gegeben seien zwei Gruppen U,(t = 1,2). Gesucht werden alle Gruppen G, die zu U,
isomorphe Untergruppen U: mit G = U*· U; und U; (\ U; = {cG} besitzen. Eine
solche Gruppe heißt dann »allgemeines Produkt« von U, (t = 1,2), und die Gruppe G
heißt »faktorisiert« in ein Produkt zweier Untergruppen.
Ist K ein Komplex aus U" dann verstehen wir unter K* stets den durch den Isomor
phismus U: ,..., U, gegebenen Komplex aus U;. Wir sagen, K habe in G die Eigenschaft
B, wenn K* diese Eigenschaft in G hat. \'Venn nicht anders angegeben, sei unter t, "
immer t =f= " (t, " = 1,2) verstanden.
Eine Gruppe G sei zerlegt in G = U1· U2 mit U1 (\ U2 = {cG}. Jedem 11, E U, (t = 1,2)
ist eine Abbildung 11," von U" in U" zugeordnet durch die Vorschrift:
(1) für alle 112 E U2,
(2) für alle 111 E U1•
Diese Abbildungen bestimmen zusammen mit den Relationen von U1 und U2 die Struk
tur der Gruppe G, denn es gilt:
Beweis: Aus (1) folgt (11111121 Ul (\ U2)· 111'112 = CG, und daraus durch Multiplikation
von links mit 112111 nach Einsetzen von (2) die Behauptung.
Als Umkehrung führen wir ohne Beweis an:
Satz 1 (REDEI-SZEP): Seien U1 und U2 zwei Gruppen. Jedem 11, E U, sei eine Abbil
dung 11," von U" in U" zugeordnet. Die Menge aller Paare <111, IIZ), <VI, V2), ••. mit
11" v, E U, (t = 1,2) und der Verknüpfungsregel
<111,1(2) <VI, V2) = <111· 112'Vl, Vl'1I2· Vz)
ist genau dann eine Gruppe G, wenn gilt:
Ei)
E 2)
E 3) (111 VI)' IIZ = VI' (111' IIZ),
(1I2VZ)' 111 = IIZ' (V2' 111),
E4) IIl'(1I2VZ) = (V2'U1)' IIZ· IIl'VZ,
IIZ'(IIIVI) = 112'111· (111'112)' VI·
Ur
Ist U~ = {<lIl' C2) I 111 E Ul} und U~ = {<Cl, 112) I 112 E U2}, dann sind U* und
auf Grund der Zuordnung IIr = <111, e2) ~ 111 und II~ = <eI, 112) ~ 112 und der vorge
gebenen VerknUüpr f(u\n gsregel zu U1 bzw. U2 isomorphe Untergruppen von G mit
G = U;· U;, u; = {<eI, C2)} = {cG}, und wir haben die dazugehörigen Ab-
7
bildungen gegeben durch u7><u: = (u,"u,,)*. G ist allgemeines Produkt von U1 und U2,
und jedes allgemeine Produkt zweier Gruppen kann auf diese Weise erhalten werden.
Aus E 1) und E 3) folgt, daß die Abbildungen U," Permutationen von S u" sind, und
ihre Gesamtheiten Gruppen bilden. Diese seien mit II"" bezeichnet. Sie sind homorphe
Bilder von U,.
Satz 2: Die Menge aller u, E U, mit U ,"u" = u" für alle u" E U" bildet den maximalen
zu U, gehörigen Normalteiler N, von G.
Beweis: u,"u" = u" für alle u" E U" ist gleichwertig mit (u,,'u.)* = u:-1u;u:, und das
mit u:-1u;u: EU; wegen U~ n U; = {eG}'
Der Normalteiler N, bestimmt den Homomorphismus U, -? II"" und es gilt U;
= U./N, '" II"". Jeder Nebenklasse u; = u,N, von N, in U, ist die gleiche Permuta
tion wie u, zugeordnet. Sie werde mit u;", und ihre Gesamtheit mit IIt,,, bezeichnet.
Aus E 4) folgt
Satz 3: Die Permutationsgruppe II"" induziert auf N" eine Automorphismengruppe
und eine Permutationsgruppe II"" von U",
Beweis für t = 1,,, = 2: Wegen (U12U2)' VI = (U2'U1)-1. U2' (U1V1) ist mit U2 auch jedes
UpU2 E N2 für alle U1 E U1. Aus U1' (U2V2) = U1'U2 . U12 V2 für U2 E U2, V2 E N2 und
U1 E U1 folgt dann die Behauptung.
Satz 4: Die Menge aller u, E U, mit ",,, u, = u, für alle u" EU", die »Fixgruppe« M,
von Il",,, bestimmt den Normalisator N(U: <;; G), und es gilt: M; = N(U: <;; G)
M:- M;.
n U;; N(U: <;; G) = U: = U:-
Beweis: u,,'u, = u, für alle u" E U" ist gleichwertig mit u;-lu:u; EU:. Ist ", E M" dann
giltfüralle V" EU,,: v:-1u;-lu:U:V: E U",alsou;v: EN(U: <;; G).Ist(u7v:)-1u,,(u;v:)
EU:, dann ist auch 1I;-ll1:U; EU:, und damit u, E M,.
Satz 5: Sei G endlich. Die Anzahl der Konjugierten von U: in G ist gleich dem Index
von M" in U".
Beweis: [U; U:: U; M:J = [U:: M:J.
Satz 6: Für jedes ", E M, ist U ," ein Automorphismus von U". Ist N, = {eJ, dann ist
M, die maximale Untergruppe von U" welche Automorphismen von U, erzeugt.
Beweis :Istu, E M" dann giltfür alle u", v" E U" wegenv,,'u, = u, die Gleichungu,"(u"v,,)
= U,,,U,, . U,"V". Aus (v,,, u,)" "" = u,"u" für alle u", V" E U" folgt V,,, u, E II,N, für alle
V" EU", und daraus für N, = {e,}, V,,' ", = u, für alle V" EU", also u, E 111,.
Satz 7 (SZEP): Zu jedem N<l G gibt es N, <l U, (t = 1,2) mit N = NI . N2, falls
(!U1!, jU2J) = 1 ist.
Beweis: Für jedes n E N gibt es U, E U, mit n = Ul ' U2' Daraus folgt u11n U1 = U2Ul E N,
und daraus dann u~u~ E N für jedes natürliche k. Wegen (JU1!' !U2!) = 1 folgt dann
aber u, E U" und wir haben N, = N n U, (l = 1,2) und N1N2 = N2N1, da ebenso
für n = U2 . U1 folgt u, E N.
Satz 8: GIN: ist allgemeines Produkt von U; = U./N, und U" mit den dazugehörigen
Permutations gruppen IIt,,, und Il"". Es ist N; = {ei}'
Beweis: Es ist GIN; '" {<u", u,N,) ! u" EU", u, EU,} durch die Zuordnung u:u;
= u:u; N, ~ <u", u,N,) = <u", ui)' Die Verknüpfungstreue folgt aus den Sätzen 2
und 3. Ni = {e;} ist trivial erfüllt wegen e, = N,.
8
N1,,, = {u" E U" I u,,' u, E II,N, für alle 11, EU,} ist der größte in U" enthaltene Normal
teiler des allgemeinen Produktes GjN, von U, und U". Es ist U"jN1,,, '" fI"" und
N1 " :2 N". Wegen 11,"11" = 11,"11" ist M" auch die »Fixgruppe« der Permutationsgruppe
fIt:,,' Die »Fixgruppe« M, = M1.JN, der Permutationsgruppe fI",! ist bestimmt durch
M1" = {II, E U, I U,,'II, EII,N, für alle u" EU,.}, und es gilt M1,,:2 M,N,. U, hat da
her in GjN7 genausoviel Konjugierte wie U, in G, und die Anzahl der Konjugierten
von U" in GjN7 ist ein Teiler der von U" in G.
Satz 9: GjN ~ N* ist allgemeines Produkt von U, = U,/ N, (t = 1, 2). Die dazugehöri
gen Permutationsgruppen sind fI"" = fI"" und fI"" = fI",-,.
Der Beweis läuft ähnlich dem von Satz 8.
Zum Beweis des ersten Teils von Satz 9 wird nur benutzt, daß N* N* <J G, N, <J U,
(t = 1,2). Wir erhalten deshalb den die Sätze 8 und 9 als Spezialfälle enthaltenden
Satz 10: Ist N<J G mit N = N(I)N(2), N(d <J U, (l = 1,2) (vgl. Satz 71), dann ist
GjN allgemeines Produkt von U,/N(,) (l = 1,2).
Sei rp ein Homomorphismus von G. Dann ist nach Satz 10 durch die Faktorisierung
G = UI . Uz, UI (\ U2 = {eG} auf kanonische Weise eine Faktorisierung von rp G ge
gegeben: rpG = rpUI . rpUz, rpUI (\ rpUz = {e<pc}' Durch rpI, rp2, rpI,2 seien fol
gende Operatoren definiert: Für jeden Homomorphismus rp von G ist rp, der Homo
morphismus von rpG auf rpGjN,(rp) (t = 1,2), und rpI,Z der Homomorphismus von
rpG auf rpGjN1(<p)L'V2(rp), wobei N,('P) der maximale in rpU, enthaltene Normalteiler
von rpG ist.
Satz 11: Kommt man bei beliebiger Hintereinanderausführung der in den Sätzen 8 und
9 beschriebenen Verfahren nach endlich vielen Schritten einmal zu einer Gruppe G, die
allgemeines Produkt zweier in ihr antiinvarianter Gruppen U und Uz ist, dann ist diese
I
(bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt. (Bei endlichen auflösbaren Gruppen besteht
diese Gruppe natürlich nur aus dem Einselement.)
Beweis: rpI, rp2, rpI,2 seien wie oben definiert. Es gilt dann rp, rp, = rp" rpI,2rp, = rp"rp"
rp,rpI,2 = rp,rp". Es sind also nur die Homomorphismen (rp2rpI)', (rplrp2)s, (rpl,2)t zu
untersuchen. Ist m so gewählt, daß (rp,rp,,)m+l G = (rp,rp,,)m G, dann ist (rp,rp,.)m G
= rp, (rpl,2)2 m-l G = rpl,2 (rpI,2)2 m-I G = (rpl,2)2 m G. Ist n so gewählt, daß (rpl,2)2 n+l G
= (rpI,2)2nG, dann ist (rp1,2)2nG = rp,rp,,(rpI,2)2nG = (rp,rp,,)n+lG. Damit ist schon
alles bewiesen.
Als Abschluß der allgemeinen Theorie seien noch ohne Beweis angegeben:
Satz 12 (REDEI-SZEP): Gegeben seien zwei Gruppen U1 und U2 und eine Permutations
gruppe fI1,z mit NI = {eI} und den Eigenschaften E 1)1 bis E 3)1, Dann existiert zu
jedem Paar (V2, 1(1) mit 111 E UI, v2 E U2 höchstens ein VI E U1, so daß für alle 112 E U2
gilt: Vl'II2 = 1I1'(1I2V2)' (U!'V2)-I. Hat diese Gleichung für jedes Paar (V2, 1(1) eine Lö
sung, so ist durch die Zuordnung (Vz, 1(1) -+ VI jedem V2 E U2 eine Permutation V2' von
5 u, zugeordnet mit ~'z' 111 = VI' Die Gesamtheit dieser Permutationen bildet eine Gruppe
fI2,1 mit den Eigenschaften E 1)2 bis E 4)2 und E 4)1' Hat aber diese Gleichung keine
Lösung, dann gibt es zu fII,2 keine Permutatiorisgruppe fI2,1 mit E 1) bis E 4).
Satz 13 (SZEr): Gibt es in einem U, ein Element 11, mit 111,1 = PI' ' .... p~r (PJ Prim
zahlen,PJ =1= h, j, k = 1, ... , r) und PI' + ... + gr ~ IV"I, dann gilt N, =1= {eJ
Satz 14: Sei m2 E .1112,112 E U2, 111 E U1. Dann ist 1I1'(1I2m2) = "12112' m2. Ähnliches
gilt für ml E MI, 111 E U1, IIZ E U2.
9
§ 2 Eine Folgerung aus dem Satz von FEIT-THOMPsoN
Mit Hilfe des Satzes von FEIT-THOMPsoN, daß jede Gruppe ungerader Ordnung auflös
bar ist, läßt sich folgende Aussage über die Auflösbarkeit von Gruppen gerader Gruppen
gewinnen:
Satz: Ist die Ordnung einer Gruppe, welche die einfache Gruppe L (7,2) der Ordnung
168 nicht als homo morphes Bild besitzt, nicht durch 16 teilbar, dann ist diese Gruppe
genau dann auflösbar, wenn in ihr ein 2-Sylow-Komplement existiert (vgl. hierzu
B. HUPPERT [9]).
Beweis,' Die eine Richtung der Behauptung ist bekannt nac°h P . HALL. Sei G = Ul · U2,
IU ll = n (n ungerade), IU 21 = 2r (0 ~ r ~ 3). Für r = folgt die Behauptung aus
dem Satz von FEIT-THOMPSON. Ist r = 1, dann besitzt G einen Normalteiler ungerader
Ordnung vom Index 2, ist daher auflösbar. Für r = 2 hat Ih,2 als Permutationsgruppe
ungerader Ordnung auf IU 21 - 1 Elementen die Ordnung 1 oder 3. GINI hat daher die
Ordnung 3J . 2k und ist daher auflösbar. Da NI ungerade Ordnung hat, folgt die Be
hauptung. Für r = 3 sind einige Fallunterscheidungen nötig:
1) Ist Ul normal in G, dann ist Gauflösbar.
2) Genau zwei Konjugierte kann U in G nicht haben, denn es gilt der
I
Hilfssatz " Ist IGI = 28 • n (n ungerade), G = Ul • U2, IUll = n, IU21 = 28, dann kann
UI in G nicht genau zwei Konjugierte haben. Denn dann wäre Ul<l UIM2 = N(Ul
s; G) <l G. G wäre also auflösbar (das reichte in unserem Fall schon I), und daher wäre
2 darstellbar als Produkt von Faktoren, von denen jeder kongruent 1 modulo einem
Primteiler von n wäre.
3) Ul habe genau 4 Konjugierte in G. Es ist dann IM21 = 2. Aus Satz 14 folgt, daß
IIl,2 die Ordnung 3 hat. GINl ist also wieder auflösbar, und daher auch G.
4) UI habe genau 8 Konjugierte in G. Es ist dann M2 = {e2}' IIl,2 ist in die symme
trische Gruppe 57 einbettbar. Ist die Ordnung von IIl,2 nicht durch 7 teilbar, dann kom
men für GINl nur die Ordnungen 24,40,72,120,360 in Frage. Für die ersten drei Fälle
ist GINl und daher G auflösbar. Hat GINl die Ordnung 120, dann kann es nur dann
nicht auflösbar sein, wenn es eine zur alternierenden Gruppe A5 isomorphe Faktor
gruppe oder Untergruppe A besitzt. Im ersten Fall enthielte GINl einen Normalteiler
der Ordnung 2, was wegen der Sätze 7 und 8 nicht möglich ist; im zweiten Fall hätte A
den Index 2 in GINl , wäre also nach Satz 7 faktorisierbar in eine Untergruppe der
Ordnung 15 und eine der Ordnung 4. Das ist aber nicht möglich (siehe r = 2!). Hat
GINl die Ordnung 360, dann hat UllNl die Ordnung 45 und enthält daher ein Element
+
der Ordnung 15 = 3 . 5. Wegen 3 5 ~ 8 = IU 21 erhalten wir einen Widerspruch zu
den Sätzen 8 und 13. Für den Fall, daß die Ordnung von IIl,2 durch 7 teilbar ist, ent
hält IIl,2 ein Element der Ordnung 7, ist also transitiv auf den von dem Einselement
verschiedenen 7 Elementen von U2• Da IIl,2 als Gruppe ungerader Ordnung auflösbar
ist, ist IIl,2 isomorph zu einer linearen Gruppe L (7, h) mit hl6 (vgl. KULL [12]), hat
also die Ordnung 7 oder 21. Für die Ordnung 7 ist GINl und daher G auflösbar. Für
die Ordnung 21 gibt es für GINl als nichtauflösbare Gruppe nur die einfache Gruppe
L (7, 2) der Ordnung 168. Sie ist Produkt einer Untergruppe der Ordnung 21 und einer
Diedergruppe der Ordnung 8. Damit ist alles bewiesen.
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