Anton Tkachuk Variational methods for consistent singular and scaled mass matrices

200 Pages·2014·2.22 MB·English

Baustatik und Baudynamik
Variational methods for consistent
singular and scaled mass matrices
Anton Tkachuk

Variational methods for consistent singular and
scaled mass matrices
by
Anton Tkachuk
Bericht Nr. 60
InstitutfürBaustatikundBaudynamikder UniversitätStuttgart
ProfessorDr.-Ing. habil. M. Bischoff
2013
c AntonTkachuk
(cid:13)
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InstitutfürBaustatik undBaudynamik
UniversitätStuttgart
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D93-Dissertationan derUniversitätStuttgart
ISBN 978-3-00-044747-1
Variational methods for consistent singular and
scaled mass matrices
Von derFakultätBau-und Umweltingenieurwissenschaften
derUniversitätStuttgartzurErlangungderWürdeeines
Doktor-Ingenieurs(Dr.-Ing.) genehmigteAbhandlung
vorgelegtvon
Anton Tkachuk
aus Charkiw,Ukraine
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. habil. Manfred Bischoff
Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. Barbara Wohlmuth
Mitberichter: Prof. Dr. UmbertoPerego
Tag dermündlichenPrüfung: 23. Oktober2013
InstitutfürBaustatikundBaudynamikder UniversitätStuttgart
2013

Kurzfassung
Kurzfassung
Singuläre und selektiv-skalierte Massenmatrizen sind für die Finite-Elemente Modellierung
zahlreicher Probleme von großem Nutzen, zum Beispiel für die Niedriggeschwindigkeits-
aufprall-, Tiefzieh- oder Falltestsimulation. Singuläre Massenmatrizen erlauben eine erheb-
lich Verringerung der unerwünschten Oszillationen in der Kontaktkraft. Die Anwendung
selektiver Massenskalierung für explizite Dynamiksimlationen führt zu einer Reduktion des
Rechenaufwandes ohne maßgeblichen Verlust an Genauigkeit. Bekannte Methoden für sin-
guläreundselektiv-skalierteMassenmatrizenbasierenaufspeziellenQuadraturregelnoderal-
gebraischenUmformungenderStandardmassenmatrizen. DievorliegendeArbeitwidmetsich
der Ableitung variationell streng konsistenter Massenmatrizen und deren Analyse. Die theo-
retischeGrundlagedieserArbeitisteinneuesparametrischesHamiltonschesPrinzipmitunab-
hängigen Variablen für Verschiebung, Geschwindigkeit und Impuls. Die numerische Grund-
lage ist eine hybrid-gemischte Diskretisierung dieses neuen Prinzips und eine geschickte
Auswahl von Ansatzräumen und freien Parametern. Die Qualität der neuen Massenmatrizen
wirdmitverschiedenenBenchmark-Tests gründlichanalysiertundbewertet.
Die Arbeit gliedert sich in drei Teile. Im ersten Teil werden die wesentlichen Grundlagen
und Notationen eingeführt. Es beinhaltet die zugrundeliegende Kontinuumsmechanik, die
lokale Form des Anfangs-Randwertproblems für ein elasto-dynamisches Kontaktproblem,
sowie dessen Lösung mit der Methode der finiten Elemente. Darüber hinaus werden die
zentrale Differenzenmethode für nicht-diagonale Massenmatrizen und eine theoretische Ab-
schätzung über die Reduktion der Rechenzeit mit selektiver Massenskalierung dargestellt.
AußerdemwirdaufdieMotivationfürdieImplementierungalternativerMassenmatrizeneinge-
gangen. Im zweiten Teil der Arbeit wird der neue variationelleAnsatzfür elasto-dynamische
Probleme vorgestellt. Der Grundstein der Arbeit ist die Herleitung des neuen Hamilton-
schen Prinzips mit Penalty-Faktoren und eine Erweiterung des modifizierten Hamiltonschen
Prinzips für kurze einseitigeGleitkontakte. DieseFormulierungen werden im Raum mit dem
BUBNOV-GALERKIN-Ansatzdiskretisiert. AlsErgebniserhältmanFamiliensingulärerund
selektiv-skalierter Massenmatrizen. Die entsprechenden Ansatzfunktionen werden für ver-
schiedene Familien von Finiten Elementen gebildet. Diese Familien beinhalten Stab- und
TIMOSHENKO-Balkenelemente für eindimensionale, sowie Kontinuumselemente für zwei-
unddreidimensionaleProbleme. DieAnsatzfunktionenfürsinguläreMassenmatrizenwerden
fürquadratischeundkubischeElementehergeleitet,fürselektiv-skalierteMassenmatrizenbis
zur dritten Ordnung. Im dritten Teil der Arbeit werden die neuen Massenmatrizen analysiert
undbewertetund einAusblickfürweiteremöglicheEntwicklungenistangeführt.
Zur Bewertung der neuen Massenmatrizen wurden die Ausbreitung harmonischer Wellen,
freie und erzwungene Vibrationen, sowie Aufprallprobleme untersucht. Als erstes wird die
Ausbreitung harmonischer Wellen mithilfe einer FOURIER-Analyse, angewendet auf die
semi-diskreteBewegungsgleichung, untersucht. Diese Analyse führt auf einen Satz von Dis-
persionsrelationen. Ein Vergleich der analytischen Dispersionsrelationen mit den dazuge-
hörigen kontinuierlichen erlaubt eine effiziente Fehlerabschätzung. Auf diese Weise können
dievorgeschlagenenStab-undBalkenelementeanalysiertwerden. AlszweiteswerdenEigen-
i
Kurzfassung
wertproblemefürzwei-unddreidimensionaleProblemegelöst. HierbeiwirdderFehlerinden
niedrigen Frequenzen (Moden), sowie im gesamten Spektrum berechnet. Als drittes werden
fürdieneuenMassenmatrizenspektraleAntwortkurveniminteressantenFrequenzbereich für
erzwungene Vibrationen ermittelt. Diese werden mit den Kurven für konsistente Massenma-
trizenmithilfedesFRAC-Kriteriums(frequencyresponseassurancecriterion)verglichen. Die
Werte des FRAC-Kriteriums zeigen den Fehler für lineare Probleme. Anschließend werden
mehrere transiente Beispiele mit singulären und skalierten Massenmatrizen berechnet. Diese
BeispielebestätigendieerwarteteÜberlegenheitsingulärerMassenmatrizenfürAufprallprob-
leme, d.h. die unerwünschten Oszillationen des Kontaktdrucks können erheblich reduziert
werden. Variationell selektive Massenskalierung reduziert den Rechenaufwand für explizite
dynamische Simulationen. Im Ausblick werden mögliche Weiterentwicklungen im Hinblick
aufneueElementtypen,alternativeschwacheFormen,sowiemulti-physikalischeAnwendun-
gen vorgeschlagen. Als Nebenprodukt dieser Arbeit können Patch-Tests für Trägheitsterme,
einÜberblicküberparametrischeundnicht-parametrischevariationellePrinzipienderElasto-
Dynamik, sowie eine Herleitung des Hamiltonschen Prinzips mit einer halb-inversen Meth-
odeerwähnt werden. DieAnwendungder FE-TechnologiefürMassenmatrizen eröffnet neue
Möglichkeiten in verschiedenen Bereichen der Dynamiksimulation, wie Falltest- und Auto-
mobilcrashsimulationen,sowiedieSimulationphononischerKristalleundBauteile.
ii
Abstract
Abstract
Singularandselectively-scaledmassmatricesareusefulforfiniteelementmodelingofnumer-
ous problems of structural dynamics, for example for low velocity impact, deep drawing and
droptestsimulations. Singularmassmatricesallowsignificantreductionofspurioustemporal
oscillationsofcontactpressure. Theapplicationofselectivemassscalinginthecontextofex-
plicit dynamics reduces the computational costs without substantial loss in accuracy. Known
methods for singularand selectively-scaled mass matrices rely on special quadrature rules or
algebraic manipulations applied on the standard mass matrices. This thesis is dedicated to
variationally rigorous derivation and analysis of these alternative matrices. The theoretical
basis of this thesis is a novel parametric HAMILTON’s principle with independent variables
for displacement, velocity and momentum. The numerical basis is hybrid-mixed discretiza-
tionofthenovelmixedprincipleandskillfultuningofansatzspacesandfreeparameters. The
qualitiesofnovelmass matricesare thoroughlyanalyzed byvarioustestsand benchmarks.
The thesis has three main parts. In the first part of the thesis, the essential fundamentals and
notations are introduced. This includes the basic continuum mechanics, the local form of an
initial boundary value problem for an elasto-dynamic contact problem and its treatment with
finite elements. In addition, an extension of the central difference method to non-diagonal
mass matrices and a theoretical estimate of speed-up with selective mass scaling is given.
Besides,a motivationforimplementationofalternativemassmatrices isgiven.
Inthesecondpartofthethesis,thenovelvariationalapproachforelasto-dynamicproblemsis
presented. ThecornerstoneofthethesisisthederivationofthenovelpenalizedHAMILTON’s
principle and an extension of the modified HAMILTON’s principle for small sliding unilat-
eral contact. These formulations are discretized in space with the BUBNOV-GALERKIN
approach. As a result, families of singular and selectively-scaledmass matrices are obtained.
Thecorrespondingshapefunctionsarebuiltforseveralfamiliesoffiniteelements. Thesefam-
iliesincludetrussandTIMOSHENKObeamelementsforone-dimensionalproblems,aswell
as solid elements for two and three dimensions. Shape functions for singular mass matrices
are derived for quadratic and cubic elements. Selectively-scaled mass matrices are given for
elementsupto theorderthree.
In the third part of the thesis, the novel mass matrices are analyzed and an outlook for fu-
ture work is given. Propagation of harmonic waves, free and forced vibrations and impact
problems are used for evaluation of the new mass matrices. First, the propagation of har-
monicwaves is studied with the help of a FOURIER analysis applied to the semi-discretized
equation of motion. This analysis results in a set of dispersion relations. Comparison of
theanalytical expressionsfordiscrete dispersionrelationswith thecorrespondingcontinuous
ones allows efficient error estimation. In this way, the proposed truss and beam elements are
analyzed. Secondly,eigenvalueproblemsaresolvedfortwo-andthree-dimensionalproblems.
Theerror in thelowest frequencies (modes)and in thewholespectrum is computed. Thirdly,
spectralresponsecurvesforforcedvibrationsareobtainedforthenewmassmatricesinranges
of interest. These curves are compared with the ones obtained with consistent mass matrices
iii
Abstract
via the frequency response assurance criterion. The values of the frequency response assur-
ance criterion indicate the error for linear problems. Finally, several transient examples are
solved with singularand scaled mass matrices. These examples confirm expected superiority
of singular mass matrices for impact problems, i.e. spurious temporal oscillations of contact
pressures are significantly reduced. Variational selectivemass scaling reduces computational
cost of explicit dynamic simulations. In the outlook, possible developments regarding new
elementtypes,alternativeweak formsand severalmulti-physicapplicationsareproposed.
As by-product of this thesis, patch tests for inertia terms, an overview of parametric and
non-parametric variational principles of elasto-dynamics and a derivation of the penalized
HAMILTON’sprinciplewithasemi-inversemethodcan benoted. Besides, thetopicoffinite
element technology for mass matrices is posed. This can open new horizons for evolving
branches of computational dynamics such as drop test and car crash simulations, phononic
crystalsand devices.
iv