Table Of Content,
MATIMA TICA
SUPERIOR
PROBLEMAS
RESUELTOS
A. K. Boiarthulc
Variable compleja
Funciones de
variable compleja
Traducido del ruso bajo Ia dirccci6n
del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
Viktoria 0. Malishenko
y del ingenicro industrial
Guillermo Pena Feria
Revisi6n cicntifica
del doctor en Ciencias Ffsico-matem<1ticas
]airo Correa Rodriguez_
~
Moscu. 2002 URSS
66K 22.1H73, 22.161.6
5oRp•tyK AAeKceu KlluMeHmbeBu•t
Cnpaso•u1oe noco6ue no Bblcrnelt MaTeMaTifKe. ToM 4. qaCTb 1.
Pr6logo a
Boiarchuk Aleksei Klimientievich
"Variable compleja"
Matematica superior. Problemas resueltos. Torno. 5.
Variable compleja: funciones de variable compleja.
Tmducido de Ia edici6n msa (Editorial URSS, Mose~i, 2001)
La colecci6n "Anti0emid6vich" que proponemos a( lector abarca casi todas las ramas de las
Entre los textos recomendados para el estudio de Ia teorfa de funciones de
matematicas.
En "Variable compleja" se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas de difi~l~a_d variable compleja hay muchos manuales y materiales did;kticos muy com
media o alta. Este tomo incluye un repaso de las estructuras fundamentales del analts1s pletos que tienen por autores a cientificos de fama mas que reconocida:
matematico, numeros complejos, funciones de variable compleja y un estudio detallado de
A. I. Markushevich, M. A. Lavrientiev, B. V. Shabat, I. I. Privalov, A. V. Bitsadze,
las funciones elementales en cl plano complejo.
M.A. Evgrafov, A. Hurwitz, R. Courant, etcetera. Lamentablemente, en lo que
respecta a! volumen, elecci6n y distribuci6n del material, Ia mayorfa de estos
libros no estan adaptados a los programas de los cursos de teoria de funcio
Rcservados todos los dercchos en todos los idiomas y en todos los paiscs del mundo. Quedan
rigurosamente prohibidas, sin Ia autorizad6n escrita de los titularcs del "Copyright",. bajo l~s nes de variable compleja que habitualmente se imparten en las facultades de
sanciones establecidas en las !eyes, Ia reproducd6n total o parcial de esta obra por cualqutcr medto
matematicas y fisica de las universidades de Rusia y otros paises de Ia CE£.
o procedimiento, comprcndidos Ia rcprografia y el tratamiento informatico, y Ia distribuci6n de
ejemplarcs de ella mediante alquiler o prestamo publico. Separar de un libro voluminoso el material principal de modo que se forme
un curso integro, l6gicamente acabado y ajustado a! programa de estudios no
es facil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un estudiante o un
ISBN 5-836()-()452-8 (Obra complcta) posgraduado.
ISBN 5-836()-()453-0 (Torno 5) Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que
© Obra original: Editorial URSS, 1997, 2002 corresponda al nivel actual de los programas universitarios del curso de teoria
© Traducci6n y obra en espafiol: Editorial URSS, 2002
© Discfio grafico y disefio del tcxto: Editorial URSS, 2002 de funciones de variable compleja que no este saturado de detalles y que
contenga un gran numero de problemas resueltos. En este tomo se resuelven
detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad media o alta.
Muchos libros de teorfa de funciones de variable compleja se caracterizan
Director Domingo Marin Ricoy
Director finandcro Viktoria Malisltenko por contener desacuerdos e imprecisiones en Ia terminologfa basica. Por ejemplo,
Director de sistemas Vfktor Romanov
en distintos lugares de un rnismo libro el concepto de funci6n analitica puede
Director de prod ucci6n Irina Makitieva
Vicedirector Natalia Finoguit!nova tener un sentido diferente. El autor ha ten.ido en cuenta este hecho; todos
los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido claramente
determinado.
14JAarenbCTDO •3J111TOpHan YPCC•. 113208, r. MO<Xfla, yn. 'lopraHOBCteaR, A. 2/11. En el comienzo de Ia obra se da una definicion rigurosa de funci6n
fKl"H'LI<iJeI<HH3O"i\'A n 1p4o.UA yNta.il0"'3"'2 N16i 7O7T. <1!>0l...l1.81..925030.0n .r2. 7r0 ...3 rn.9eH9W OIOT C3!O0<.0H3 .c9c9pn 1r.< (lnlt1OGAlTni iCHaaH OO bKlny OcKO 'Iarn 24.07.2002 r. (y no su descripci6n, como se suele hacer en Ia mayor parte de los manuales),
<l>opo.car 70 x 100/16. T"'pax 2100 310. ne,. n. 20. 3aK. Ni 36 se consideran las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de Ia
Om~araHo a 000 •Apr·J111an•. 129110, r. MocKDa, yn. 6. nepeRcnaaeteaR, 46. . teorfa de espacios metricos. Sin incluir este material en ellibro, seria imposible
exponer las cuestiones principales al nivel matemcitico que se requiere en Ia
Editorial URSS Tel/fax; 7 (09S) 135-44-23
TeiJfax; 7 (095) 135-42-46
E-mail: [email protected]
Libros de ciencia Cat!logo en Internet: http://urss.ru
actualidad. Por ello, incluso una lectura rapida de ese pequefio capitulo es muy
aconsejable para entender el resto de Ia obra, en donde se exponen los temas
tradicionales de Ia teoria de las funciones analiticas, creada en el siglo XIX,
primordialmente gracias a las obras de A. Cauchy, B. Riemann y K. Weierstrass.
En el libra se presta mucha atenci6n a las cuestiones practicas relacio
nadas con las transformaciones conformes.
El nutor Estructuras fundamentales
del analisis matematico
En este capitulo se incluyen los conocimientos basicos referentes
a Ia teoria de conjuntos y aplicaciones que se usaran mas adelante
en Ia exposici6n del material basico del libra. Se examina de
forma bastante completa Ia teoria de los espacios metricos, se dan
los conceptos basicos, y se utiliza Ia notaci6n establecida en los
curses de analisis matematico moderno.
§ 1. Elementos de la teoria
de conjuntos y aplicaciones
1.1. Simbolos 16gicos
En las matematicas, en Iugar de expresiones verbales a menudo
se utilizan simbolos adoptados de la l6gica. Asi, en vez. de las
expresiones "para todo", "para cada", "para cualquier" se utiliza
el simbolo V, yen Iugar de Ia palabra "existe", el simbolo 3. Estos
simbolos se denominan, respectivamente, cunntificndor universal
y cunr!tificador existencial. Las frases "para todo ... " y "existe ... "
suelen ir acompanadas de ciertas restricciones, anotadas entre
parentesis. En Iugar de Ia frase "tal que" se utilizan dos puntas
o una barra vertical.
El enunciado de cada teorema contiene una propiedad A
(premisa) y una propiedad B (conclusi6n) deducible de A.
Breve mente la expresi6n "A implica B" se denota en Ia forma
Estructuras fundamentales del analisis matematico
"A => B" (=> es el simbolo de implicnci6n). El teorema redproco, 1.2. Notaciones utilizadas
si este es valido, se escribe en Ia forma B => A. Si el teorema y su en la teoda de conjuntos
redproco son validos, las propiedades A y B son equivalentes.
En este caso se escribe A +--+ B ( +--+ es el simbolo de equivnlencin) El concepto de conjunto se considera primario, por eso nos
y se dice: "Para A es necesario y suficiente B", o bien "A si, limitaremos a Ia exposici6n de los terminos y notaciones que
y solo si, B". seran necesarios mas adelante. ·
Si un objeto posee una propiedad A o una propiedad B, Los conjuntos se denotan mediante letras mayusculas, por
entonces se escribe A v B, o tambien "A o B" {V es el simbolo de ejemplo, M. La expresion a E M se lee asf: "a es un elemento
disyunci611). La notacion A v B significa que cs valida al menos del conjunto M" o "a pertenece al conjunto M ". La notacion
una de las propiedades A o B. M 3 x se lee asi: "el conjunto M contiene el elemento x". Si
Si ambas propiedades A y B son validas simultaneamente, el elemento x no pertenece al conjunto M, entonces se escribe
este hecho se escribe en Ia forma A 1\ B, o "A y B" ( 1\ es el x ¢ M, o bien M 75 x. La expresi6n M = {a, b, c, ... } se lee as!:
simbolo de co11junci6n). "M es el conjunto compueslo de los
La notacion -,A significa "no A", "no es valid a A" (..., es elementos a, b, c, etc." N6tese que un
el simbolo de negnci611). conjunto puede contener un solo ele
=
En Iugar de Ia expresion "existe un t'mico" se utiliza el mento, por ejemplo, M {a}. Si cier
slmbolo ! , y Ia expresion "es igual por definicion" se dcnota tos elementos del conjunto M gozan de
med .t ante e I su' nb o I o d=e!. una propiedad P, entonces Ia notaci6n
Toda proposicion puede escribirse utilizando solo simbolos M1 ={a EM: a tiene Ia propiedad P}
logicos. En este caso 'Ia negacion de una propiedad P escrita con se lee: "M1 es el conj unto de todos los
elementos a del conjunto M que tienen
ayuda de cierto numero de cuantificadores V y 3 se obtiene cam
biando cada cuantificador V por 3 , 3 por V y Ia propiedad P Ia propiedad P". Por ejemplo, Ia nota
=
por su negacion. Por ejemplo, sea f(x) una funci6n numerica de cion M1 {x E IR: x ~ 0} representa
variable real. Entonces Ia propiedad de f(x) de ser continua en el conjunto de todos los numeros reales
todo punto de Ia recta numerica se escribe en Ia forma siguiente: no negativos. Los simbolos E y 3 se Fig. 1
denominansimbolos de perlenencia.
(V a E IR) (V c >-0) (3 0 > 0) (V x E IR, lx - al < 6):
AI definir un conjunto mediante cierta propiedad, frecuen
<
if(x) - f(a)i c; temente no se sabe de antemano si existen o no elementos que
mientra~que Ia propiedad de f(x) de no ser siempre continua, es posean dicha propiedad. Por tanto, es conveniente introducir el
decir, de ser discontinua al menos en un punto, se escribe como conjunto que no contiene ningt.n elemento. Dicho conjunto se
sigue: denomina vacio y se denota mediante el simbolo 0.
Sean Mt y M2 dos conjuntos. Si cada uno de los ele
(3 a E IR) (3 c > 0) (V 0 > 0) (3 x E IR, lx - al < 6):
mentos del conjunto M1 pertenece al conjunto M2, entonces el
lf(x) - f(a)l > c. conjunto M1 se denomina subconjunto del conjunto M2 (fig. 1).
Para demostrar algunos teoremas utilizaremos el metodo En este caso se escribe Mt C M2, o bien M2 :J M1 y se lee:
de reducci6u nl absurdo, hacienda uso, ademas, de Ia ley del "el conjunto M2 incluye al conjunto M1" . Los simbolos C y :J
tercio e.:rcluso (ley de contrndicci6n). Segun esta ley Ia proposici6n se denominan simbolos de inclusion.
A v -,A (A o no A) se considera valida independientemente del Los conjuntos compuestos de los mismos elementos se
=
contenido de Ia proposici6n A. Sefialemos que -,(-,A) +--+ A, es consideran iguales. Es evidente que M1 M2 +--+ (Mt C Mz) 1\
decir, Ia doble negaci6n es equivalente al enunciado inicial. (M2 C Mt).
Estructuras fundamentales d_el.an~lisis matematico
itulo 1
Si en el conjunto M1 hay elementos que no pertenecen.al Entonces, todas las proposiciones A1, A2, ... son validas.
conjunto M2, entonces M1 no esta contenido en M2 y se escribe Como vemos, el metoda de induccion matematica se
M1 rf_ M2, o bien M2 1> M,. reduce a =I a hipotesis de induccion. En efe~to, supongamos
Senalemos que todo conjunto M contiene el conjunto vado que M {n E N: An es vcllida}. Entonces, por el lema 1
como su subconjunto. En efecto, en caso contrario, el conjunto tenemos que 1 E M , y partiendo del lema 2 se deduce que
vado contendria al menos un elemento que no pertenece al n EM => (n + 1) EM. De acuerdo con Ia hipotesis de induccion
conjunto M . Pero el conjunto vado no tiene ningun elemento. ('II n E N): n E M, es decir, todas las proposiciones A1, A21 .•.
En adelante usaremos las notaciones siguientes: son validas.
0 cs el conjunto vado; ----._ Demostremos, por ejemplo, que V n E N se verifica Ia
exp M es el conj unto de todos los subconjuntos de M; igualdad
N es el conjunto de los numeros naturales;
Z0 es el conjunto de los numeros enteros no negatives; ~w k2 _- n(n + 1)6( 2n + 1) . (1)
Z es el conjunto de los numeros enteros;
k=l
Q es el conjunto de los numeros racionales;
Comprobando directamente, vemos que se verifica el le
R es el conjunto de los numeros reales;
ma 1. Suponiendo que Ia igualdad (1) se cumple para n E N,
C es el conjunto de los numeros complejos.
tenemos
1.3. Nfuneros naturales. Ln+l k2 = n(n + 1)(2n + 1) +(n +l )2 =
Metodo de inducci6n matematica
6
k=l
Uno de los conjuntos mas importantes en las matematicas es (n + 1)(2n2 + 7n + 6) (n + 1)(n + 2)(2n + 3)
el conjunto N de los numeros naturales. En este conjunto esta =
6 6
definida Ia operacion de adicion y se verifican las siguientes
propiedades: es decir, el lema 2 tambien es valido. Asi pues, Ia formula (1)
1) si n E N, entonces (n + 1) E N; queda demostrada.
2) si un conjunto M contiene el 1 y, ademas, de n E M
siempre se deduce que (n + 1) EM, entonccs M ::> N. 1.4. Operaciones elementales con conjuntos
La propiedad 2) se denomina lripofesis de inducci6n. Bias
Pascal (1623-1662) fue el primero que propuso un metoda de
demostracion basado en Ia induccion, conocido como metoda de
Definicion 1. Se denomina iutersecci6n de l<_>s conjuntos M, y M2 al
inducci611 matematica (completa), el cual consiste en lo siguiente.
conjunto
Supongamos que para las proposiciones A1, A2, A3, .•• se
verifican los dos lemas de Pascal:
Lema 1. La proposici6n A es valida.
1
Sean M E exp M, M2 E exp M. La intersecdon de los
1
Lema 2. Para todo n E N, de la validez de An se deduce [a validez de la conjuntos M y M esta compuesta solo de los elementos que
1 2
proposici611 An+l· pertenecen simultaneamente a ambos conjuntos M,, M2 (fig. 2).
La diferencia de los conjuntos
M1 • y M2 esta compuesta solo de los
elementos del conjunto M que no per
1
tenecen al conjunto M2 (fig. 5).
Si M1 :J M2·, entonces Ia dife
rencia M1 \ M2 se denomina tambien
complemento de M2 e11 M1, y se de no
ta mediante el simbolo eM, M2 (o bien
CM2, si esto no provoca confusion).
Fig.2 Fig.3 Sean M1 E exp M, M2 E exp M. Fig.S
Entonces son validas las igualdades
_Si tale~ _elementos no existen, los co=nj untos M1 y M2 se C(M1 U M2) = CM1 n CM2,
denomrnan diSJllnfos y se escribe M1 n M2 0 (fig. 3). (1)
C(M1 n M2) = CM1 U CM2.
Definicion 2. Se denomina uni611 de los conjuntos M y M al conjunto Las dos igualdades (1) expresan las /eyes de Morgn11.
1 2
= Demostremos Ia primera. Sea x E C(M1 U M2). Tenemos:
M1 U M2 {a: a E M1 V a E M2}.
X E C(Ml u M2) :::} X f/. Ml u M2 :::} X f/. Ml 1\ X f/. M2 :::}
La union de los conjuntos M1 y M2 se compone de los :::? x E CM1 1\ x E CM2 :::? x E CM1 n CM2 :::?
elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos :::? C(M1 U M2) C CM1 n CM2.
M1 y M2 (fig. 4).
Si y E CM1 n CM2, obtenemos
y E CM1 n CM2 :::? y E CM1 1\ y E CM2 :::?
=> y f/. M1 1\ y f/. M2 :::? y f/. M1 U M2 :::?
:::? y E C(M1 U M2) :::?
:::? CM1 n CM2 C C(M1 U M2).
Fig.4
Definicion 3. Se denomina diferellcin de los con1·untos M1 y M2 al
conj unto
De Ia formula (2) vemos que, al intercambiar el simbolo de com
c
plemento con los simbolos u y n, estos ultimos se intercambian
entre si.
l
1.5. Par ordenado y producto cartesiano 1.6. Relaciones binarias. Proyecciones y
de conjuntos secciones de una relacion binaria.
Con ayuda del concepto de par ordenado se introduce una Relacion binaria inversa
operaci6n mas sobre conjuntos: el producto cartesiano. En las
matematicas es de gran importancia el concepto de par ordenn-
Definicion. Un conjunto r se denomina relacion binnria entre los elemen
Y do (x, y) compuesto de
r c
elementos de un mismo tos de los conjuntos X e y si X X Y.
conjunto o de conjuntos
y M(x,y) distintos X e Y. La pro Con las relaciones binarias se pueden realizar no s6lo las
----------------<~I piedad principal de los operaciones elementales definidas para los conjuntos (intersecci6n
II pares ordenados es Ia si y union), sino tambien las operaciones especiales de proyecci6n e
II guiente: dos pares orde inversion.
II X snea dcoosn s(ixde,,r ya1n) iyg u(nxle2,s ys2i,) r C X Sxe Yd eanl ocomnijnuan tpor imem proyeccion de Ia relaci6n binaria
X y s6lo si, x, = x2 e ft = pr f = {x EX: 3 y E Y: (x, y) E f}.
Fig.6 Y1 = Y2· E1 elemento x 1
se llama primera com-
ponente (coordennda) del y
par (x, y), rnientras que el elemento y es Ia segunda componente
(coordenada). AI igual que el concepto de conjunto, el concepto
de par ordenado se considera primario.
De~nici6n. Se denornina producto cnrtesinno de los conjuntos X e y al
COnJU11tO
X x Y = {(x,y): x EX, y E Y}.
El product_o ca~t~siano de dos rectas diferentes que se t>
cortan se puede tdenhflcar con el plano que las contiene. La
identificaci6n se efectua seglln Ia regia M = (x, y) (fig. 6). En
esta propiedad se basa el metoda de coordenadas de resoluci6n de X X
problemas geometricos propuesto por el famoso matematico Rene
Descartes (1596-1650), en cuyo honor el producto se denomina Fig. 7
"cartesiano".
Hacienda uso del metoda de inducci6n matematica pode La primera proyecci6n de Ia relaci6n binaria r esta com
mos definir el conjunto ordenado de n + 1 elementos
puesta de las primeras coordenadas de los pares ordenados
y el p. r(oxd,u, cXt2o, .c.a.r ,t eXsnia+nl)o = d e( (nx ,+, X 12 , c.o..n ,j uXn11t)o, sX 11+1), n ~ 2, perteneEcile nctoensj uanl tcoo nfjun(xto) r= ({fiyg . 7E) . Y: (x, y) E f} se denomina
1
r
seccion primem de mediante x (fig. 7) y esta compuesta de las
x, X x2 X ... X Xn+l = (X, X x2 X ... X Xn) X X,.+l· r
segundas coordenadas de todos los elementos de cuya primera
y i11versa r-1 segUI\ Ia reg~a
r-1 = {(y, x): (x, y) E f}
(fig. 9). A menudo, Ia operacion de inversion de Ia relacion bi
y
naria r sc denornina operaci611 de transposici611 de Ia relacion
binaria r.
1.7. Relaciones binarias funcionales.
Funciones. Conceptos elementales
Una relacion binaria r se denomina relaci611 bi11aria funciollal si
no contiene pares ordenados cuyas primeras coordenadas sean
X
iguales.
Enunciemos ahora Ia definicion principal de aplicacion
Fig.8
entre dos conj untos X e Y.
r
coordenada es igual a x. La secci6n primera de mediante x es
e[ conjunto vacfo 'if X rf_ f1. Definicion 1. La terna ordenada de conjuntos (X, Y, r) se denomina
Se denomina segunda proyeccion de Ia relaci6n binaria r aplicaci611 del COIIjUIIfO X (dominio) ell el conjrmfo y (codominio) si r es
el conjunto
una relacion binaria funcional entre los elementos de los conjuntos X e Y.
f2 = pr2f = {y E Y: 3 x E X: (x, y) E r}. El conjunto r se llama gni.fico de Ia aplicaci6n.
La segunda proyecci6n de Ia relaci6n binaria r es el con
Las aplicaciones se denotan usualmente mediante una
junto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados tetra latina minuscula, por ejemplo, f . Ademas, en Iugar de f =
pertenecientes al conjunto r (fig. 8).
(X,Y,f) se escribe f: X -+ Y. SiX e Y se conocen, entonces,
El conjunto f2(y) = segUI\ Ia definicion, conocer Ia aplicaci6n f es equivalente a
{x E X: (x,y) E r} se de conocer su grafico r.
nomina seccio/1 segzmda de r La prirnera proyeccion del grafico de Ia aplicacion f se
mediante y (fig. 8). El conjunto denomina dominio de Ia aplicaci6n f y se denota mediante
f2(y) esta compuesto de las n o D(f). La segunda proyecci6n del grafico de Ia aplicaci?n f
1
primeras coordenadas de to se denomina imagen de Ia aplicaci6n f y se denota medrante
dos los elementos de r cuya
E1 o E(f). Si x E D 1 y el par (x, y) pertenec~ al grafico de
segunda coordenada es igual Ia aplicaci6n f, entonces el elemento y se denorruna valor de Ia
a y. La secci6n segunda de r
aplicacion f en el elemento x y se de nota mediante f(x).. . ,
mediante y es el conjunto va
X cio Vy rf_ r2• f(x) V Sx i Ese D c on, oecl egnr aIfai croe gfio(nf) D d 1e yI al oasp lvicaalocrioesn dfe sIae acpolnicsatcr1u0yne
1
A cada re)acion bina
segun Ia regia
Fig.9 ria r se le puede hacer co
rresponder su relaci611 binaria f(f) = {(x, j (x)): X E D1 }.
Si D 1 = X, entonces Ia aplicaci6n f: X --+ Y se denomina 1.8. Funci6n inversa.
aplicnci6n del conjunlo X en el conjunlo Y y se denota mediante Composici6n de aplicaciones
Una aplicaci6n f =(X, Y, f) se denomina invertible si Ia relaci6n
x !... v.
r-
binaria 1 cs una relaci6n funcional entre los elementos de los
denomiSnia Dn1p l=icnXci,6 nE 1s u=p rYny, eecntitvonn c(esso bIrae yaepclcici6ac11i)6 nd eJl :c oXnjr--m+ lYo sXe cdoennjoumntionsa Yn plyic nXci6. 1!E nin veesrtsea cdaes of Iay aspel icdaecni6onta (mYe,dxia,nrt-e1 )f -s1c•
Una aplicaci6n suprayectiva invertible f del conjunto X sob:e
sobre el conjrmlo Y y se denota mediante
el conjunto Y se denomina aplicnci6n biyectivn (correspondenczn
X __!____. Y. biwrivocn) y se denota mediante
sobrc I
X +---+ Y.
La funci6n !I = (X, Y, fJ) se denomina restricci6n de Ia =
funci6n f = (X, Y, f) si r, C r. En este caso Ia funci6n j se En este caso, 't:/ y E Y 3 ! x E X: f(x) y, considerandose que
denomina prolongaci6n de In frmci6t1 It del conjrmlo Dl = pr rl r '(y) = x. .
eeIann tpeoI rn occopenise J•du eanxtdios teAD 1u= n=a D p1rre,1s·f t.rL icaS ci ifA6un n ecsi/6 1un n d fceto nIsaje u nfdutoen nctioa6lm nqi nufae Arqte uscefr ipctidreI1 6nrte,r importaESnelc aicano enfsc:pe eXpct ioa- -l+ d eYen ,lc ao!psm : mTpa ot-se-+icm iX6atn i cdadoses. aapplliiccaaccioionneess. LIlae nceo mu pnoa-
de In fzmci6n f en el conjzmto A y se denota mediante !lA. sicion de las aplicaciones !(J y f se denota mediante f o cp. Su
dominic esta compuesto de los valores t E Dcp para los c~ales
La existencia de la restricci6n de Ia funci6n f en el conjunto A
!(J(t) E D . Los valores de Ia comp osicion se obtienen a parttr de
se deduce de que 1
Ia formula
= (f o !(J)(t) = j(!(J(t)), t E D locp·
f(j,) {(x, y): x E A A (x, y) E r}.
1.9. Aplicaciones parametrica e implicita
Definicion 2. Sea f: X --+ Y una aplicaci6n. Para todo subconjunto
Si estan dadas dos aplicaciones
A C D1, el subconjunto del conjunto E1 definido porIa propiedad "existe
un elemento x E A tal que y = f(x)" se denomina imagen del conjzmto A ¢
T~X, T --+ Y,
mediante In aplicaci611 f y se denota f(A).
queda definida Ia aplicaci6n X 1 ="' o "'_, Y. Se dice que f esta
Para cualquier conjunto A' C E1 el subconjunto del con definidn parametricamente mediante las aplicaciones !(J y 1/J. La
junto D1 definido mediante Ia propiedad f(x) E A', se denomina variable t se denomina panimetro.
preimagen de A' mediante Ia aplicaci6n f y se denota con Analicemos Ia aplicaci6n X x Y & G y Ia ecuaci6n
ri(A'>· F(x, y) = c, donde c cs tm elemento arbitrario de cierto con
Para representar una aplicaci6n frecuentemente se escribe junto G. Si ex is ten dos conjtmtos P C X, Q C Y tales que
=
x ~---+ f(x). Ia ecuaci6n F(x, y) c tiene una Unica soluci6n y E Q pa
Sea X cierto conjunto. Toda aplicaci6n N ~ X se de ra todo x E P fijo, entonces en el conjunto P esta definida
nomina sucesi611 de elementos del conjunto X y se denota Ia funci6n f para Ia cual E1 = Q. En este caso, se dice
= que f es una funci6n implicitn definida mediante Ia ecuaci6n
mediante (xn)· Si X IR, entonces se dice que (xn) es una
sucesi6n numericn real. F(x, y) = c.
23u . .l6
1.10. Isomorfismo Si en el grupo E Ia operaci6n "o" tiene sentido aditivo
(multiplicativo) "+" ("·"), entonces el grupo se llamagntpo aditiuo
Sean E y F dos conjuntos dotados, respectivamente, de las
(multiplicatiuo) y el elemento neutro, elemenfo mtlo (elemenlo
-operaciones binarias internas T y .1. Se denomina isomorfismo
dc:l conjunto E sobre F Ia biyecci6n rmidad), denotandose mediante 0 (1). Por ejemplo, el conjunto Z
provisto de Ia operaci6n de adici6n es un grupo conmutativo.
E J_. F El conjunto Q \ {0} dotado de Ia operaci6n de multiplicaci6n es
que cumple Ia propiedad \f(a E E, bE E) f(aTb)=f(a)..Lf(b). tambien un grupo conmutativo.
Los conjuntos E y F se denominan en este caso isomorfos
respecto a las relaciones T y .1.
Por ejemplo, supongamos que E = N, Ia relaci6n T es 2.2. Anillo
Ia adici6n, F = {2"} y Ia relaci6n .1 es Ia multiplicaci6n. La
Se denomina anillo un conjunto R dotado de dos operaciones
aplicaci6n E J_. F: \f n E N, f(n) = 2" es un isomorfismo ya binarias llamadas adici611 y multiplicaci6n, con Ia particularidad
que \f(n EN, mEN) se tiene que (n + m) 1-> 2nlm = 2n ·2m, es de que, respecto a Ia operaci6n de adici6n, el conjunto R es
decir, J(n + m) = f(n)f(m). un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo R), y se cumple Ia
propiedad distributiua:
\f(aER, bER, cER) a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca.
Si Ia operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa, entonces
§ 2. Estructuras matematicas
el anillo se denomina conmutatiuo. Si R 3 1, el anillo se denomina
unitario.
Una estructura matemtitica es un conjunto de objetos o varios Por ejemplo, el conjunto Q de los numeros racionales
conjuntos de objetos de naturaleza distinta que poseen un sistema provisto de las operaciones de adici6n y multiplicaci6n es un
de relaciones y operaciones binarias sometidos a determinados anillo unitario.
axiomas.
2.3. Cuerpo
2.1. Grupo
Un anillo se llama cuerpo si al excluir el elemento neutro de
Se denomina gntpo a un conjunto no vado E dotado de una
Ia adici6n, el resto forma un grupo respecto a Ia operaci6n de
operaci6n "o" que a cada par de elementos a E E, b E E le multiplicaci6n.
hace corresponder un tercer elemento perfectamente determinado
a o bEE, cumpliendose, ademas, las condiciones siguientes:
2.4. Campo
1) Ia operaci6n o es asociativa: \f(a E E, b E E, c E E)
a o (b o c) = (a o b) o c; Un cuerpo en el cualla operaci6n de multiplicaci6n es conmutativa
2) en E existe el elemento neutro, es decir, un elemento n tal se denomina campo.
que \fa E E a on = a; Por ejemplo, las temas ordenadas (Q +, ·) y (IR, +, ·) son
3) \fa E E 3 a' E E: ao a'= n (a' es el inuerso de_a ). los campos de los numeros racionales y de los reales, respectiva
mente.
En caso de que tambien se verifique Ia condici6n
4) \f (a E E, b E E) a o b = boa, Definicion. Sea ~ un cuerpo (campo). La aplicaci6n 1·1: ~--+ JR+, donde
=
el grupo E se denomina abeliano (conmutatiuo). JR+ {x E IR: x ~ 0}, se denomina valor absoluto (modulo) en el cuerpo
