Angewandte Analysis in einer Unbekannten

670 Pages·2005·5.07 MB·German

by  Donald Estep (auth.)

Springer-Lehrbuch
Donald Estep
Angewandte Analysis
in einer Unbekannten
Mit211Abbildungen
2
ÜbersetztausdemEnglischenvonderdjs GmbH,
unterMitarbeitvonStefanieThorns
123
DonaldEstep
ColoradoStateUniversity
DepartmentMathematics
WeberBuilding101
FortCollins,CO80523-1874
USA
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ÜbersetzungderenglischenAusgabe:,,PracticalAnalysisinOneVariable“vonDonaldEstep,
UndergraduateTextsinMathematics,SpringerNewYork2002.
MathematicsSubjectClassification(2000):
26-02,26Axx,34Axx,41A05,65H05,65L20
ISBN3-540-21898-X SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Gewidmet Lipman Bers, der mir als erster
die Sch¨onheit der Mathematik zeigte und Patty Somers,
die mir half, sie wiederzufinden.
Vorwort
Hintergrund
Ich war gerade achtzehn Jahre alt, als ich als Erstsemester anfing, Ana-
lysis zu studieren. An der Universit¨at von Columbia angekommen, stand
ich im Begriff, Physik oder Ingenieurwissenschaften zu studieren. Meine
Verfu¨hrung zur Mathematik begann aber sofort mit der Vorlesung zur
Differential-undIntegralrechnungvonLipmanBers,dieindiesemJahrmit
fesselnden Vorlesungen an erster Stelle stand. Nachdem der Kurs voru¨ber
war, rief mich Professor Bers zu sich in sein Bu¨ro und gab mir ein kleines
blaues Buch von W. Rudin mit dem Titel Prinzipien der mathematischen
Analysis.Erteiltemirmit,dasswennichdiesesBuchw¨ahrenddesSommers
lesen k¨onnte, das meiste verstehen und durch Bearbeitung der Aufgaben
beweisenk¨onnte,mirdanneventuelleineKarrierealsMathematikerbevor-
stehen wu¨rde. So begann ein 20 Jahre w¨ahrender Kampf darum, die Ideen
im Kleinen Rudin“ zu meistern.
”
Ich begann also, motiviert durch diese Herausforderung an mein Ego.
Allerdings war dieser ober߬achliche Grund schnell vergessen, als ich die-
sen Sommer u¨ber die Sch¨onheit und die Kraft der Analysis kennenlernte.
Jeder, der sich an seinen ersten ernsthaften“ Mathematikkurs erinnert,
”
wird meine Gefu¨hle u¨ber diese neue Welt, in die ich fiel, nachempfinden
k¨onnen. W¨ahrend meiner Studienzeit irrte ich rastlos durch die komplexe
Analysis, die analytische Zahlentheorie und die partiellen Differenzialglei-
chungen, bevor ich mich schließlich bei der numerischen Analysis nieder-
ließ. Hinter dieser Unentschlossenheit stand aber eine allgegenw¨artigeund
viii Vorwort
st¨andig wachsende Wertsch¨atzung der Analysis. Eine Wertsch¨atzung, die
noch immer meinen Intellekt st¨arkt, selbst in der oftmals zynischen Welt
des modernen professionellen Gelehrten.
Diese Wertsch¨atzung zu entwickeln fiel mir allerdings nicht leicht, und
die Darstellung in diesem Buch wurde durch meine K¨ampfe angeregt, die
grundlegendstenKonzeptederAnalysiszuverstehen.UmJ.vonNeumann
zu zitieren: Wir verstehen die Mathematik nicht, vielmehr wird uns die
Mathematik durch U¨bung vertraut. Oftmals verstehen wir ein schwieriges
Konzept, indem wir spezielle F¨alle betrachten, die das Konzept konkre-
tisieren. Andererseits wird unser Verst¨andnis eines Konzeptes durch die
speziellen F¨alle, die wir betrachten, eingeschr¨ankt. Wenn man die Mathe-
matikinspeziellenZusammenh¨angengelernthat,istmanleichtu¨berzeugt,
dass dies das natu¨rlichste und beste Umfeld ist, in dem man diese Ideen
lehren sollte.
Ich denke, dass dies speziell auf die Analysis zutrifft. Ich sehe die Ana-
lysis als die Kunst und die Wissenschaft der Absch¨atzung. Das die Praxis
derAnalyiseineKunstdarstellt,kannjedernachvollziehen,dereinemStu-
denten der Differenzial- und Integralrechnung zu erkl¨aren versucht, was
ein epsilon-delta“ Beweis der Ableitung ist. An bestimmten Punkten lau-
”
tet die natu¨rliche Antwort auf die Frage Warum tust du dies?“ Das ist
” ”
offensichtlich, kannst du das nicht erkennen?“ Durch die Wissenschaft des
Absch¨atzensverweiseichaufdieNotwendigkeitdermathematischenStren-
ge, die sicherstellt, dass alle gewonnenen Absch¨atzungen sinnvoll und dass
plausible Argumente wahr sind.
Weder eine Kunst noch eine Wissenschaft kann effektiv im Abstrakten
gelehrt werden. Konzepte und Techniken, die in praktischen Umgebungen
bestens motiviert sind, werden im Abstrakten einfach zu einer Trickki-
”
ste“. Außerdem werden technische Schwierigkeiten oftmals u¨berw¨altigend,
wenn es keine konkreten Beispiele gibt, die die Sachverhalte motivieren
bzw.eskeinenzwingendenGrunddafu¨rgibt,ZeitmitdenKomplikationen
zuverbringen.Zuoftmangeltes dem VerstandanFeuerkraft,die abstrak-
te technische Mathematik zuru¨ckzulassen, und sich vorzustellen, wie die
zugrundeliegenden Ideen verwendet werden k¨onnten.
Daher stelle ich die grundlegenden Ideen der reellen Analysis im Kon-
text einer fundamentalen Aufgabe aus der angewandten Mathematik dar,
n¨amlich der Approximation von L¨osungen physikalischer Modelle. Auf-
grundmeinerForschungsschwerpunkteindernumerischenAnalyisundder
angewandtenMathematik ist dieser Ansatz fu¨r mich natu¨rlich. Ich bin ein
numerischerAnalytiker,dameineersteReaktionaufdieKonfrontationmit
einem schwierigen analytischen Konzept ist, Beispiele durchzurechnen.Ich
glaube,dassdieser experimentelle“AnsatzzumVerst¨andnisderMathema-
”
tik fu¨r viele Menschen natu¨rlich ist. Deshalb stelle ich, soweit praktikabel,
die Analyis aus einer konstruktiven Perspektive vor. Viele bedeutenden
S¨atze werden unter Verwendung konstruktiver Argumente bewiesen, die
auf einem Computer implementiert und durch Berechnung verifiziert wer-
Vorwort ix
denk¨onnen.Die S¨atze selbstwerdenimKontextderL¨osungvonModellen
physikalischerSituationenangeregt,diegeradezunacheinerberechenbaren
L¨osung schreien. Ich glaube, dass die Studenten, die diese Beweise imple-
mentieren und die praktischen Aufgaben in diesem Buch l¨osen, ein prak-
”
tisches“ Verst¨andnis der Analysis entwickeln, das Ihnen in der Zukunft
zugute kommen wird.
Motivation
Ich habe drei offenkundige Gru¨nde, dieses Buch zu schreiben, und einen
versteckten.
Erstens,wannimmerichnumerischeAnalysislehre,¨argereichmichu¨ber
dievieleZeit,dieichmitThemenzurgrundlegendenDifferenzial-undInte-
gralrechnungverbringe.Aus der Perspektiveder Naturwissenschaftlerund
der Ingenieure ist die moderne Infinitesimalrechnung sehr unbefriedigend.
DieStudentenverbringenvielvonihrerZeitdamit,F¨ahigkeitenzutrainie-
ren, die nur selten verwendet werden, niemals werden ihnen aber grundle-
gende Ideen n¨ahergebracht, die immer wieder auftauchen. Eine Folge ist,
dass Studenten der Naturwissenschaften und der Ingenieurwissenschaften
einen großen Teil ihrer Zeit in fortgeschrittenen Mathematikvorlesungen
mit elementaren Themen verbringen und das auf Kosten von fortgeschrit-
tenem Material,fu¨r das sie wahrlichdie Hilfe eines Mathematikers ben¨oti-
gen.
Zweitens ist das Abhalten einer modernen Vorlesung zur Differenzial-
undIntegralrechnungfu¨rvieleAnalytikereinefrustrierendeErfahrung.Die
Differenzial-undIntegralrechnungsollteeinKurszurreellenAnalysissein,
da es dies ist. Allerdings geht der gegenw¨artigeTrendbei den Vorlesungen
zur Infinitesimalrechnung dahin, alles das zu vermeiden, was mit der Ana-
lysis zu tun hat und sich stattdessen auf die L¨osung praktisch unwichtiger
Aufgaben mit exakten Antworten“ zu konzentrieren. Die althergebrachte
”
Weisheit lautet, dass die Analysis zu schwierig ist (bzw. zynisch ausge-
dru¨ckt, dass die Studenten zu dumm sind, echte Mathematik zu erlernen).
In all den Jahren aber habe ich viele klevere Studenten getroffen und die-
seBegru¨ndungzunehmendalsfragwu¨rdigempfunden.DieserTrendk¨onnte
eherderBeobachtungentsprungensein,dassesbedeutendeAnstrengungen
und Einfallsreichtum des Lehrenden erfordert, jungen Studenten strenge
Mathematik beizubringen.
Drittens: Eine Einfu¨hrung in die relle Analysis unter Verwendung eines
modernen, abstrakten Ansatzes zu lehren, ist selbst unter Zuhilfenahme
eines wunderbaren Buches wie dem von Rudin, weit vom Optimalen ent-
fernt. Wie erw¨ahnt habe ich ernsthafte Bedenken hinsichtlich der Effizienz
eines abstrakten Ansatzes fu¨r die Lehre der Analysis. Außerdem zieht die-
serAnsatzeinigeernsthafteKonsequenzennachsich.Zuallererstverbreitet
x Vorwort
er die fehlerhafte Vorstellung, dass es einen Unterschied zwischen der rei-
”
nen“ Analysisundden schmutzigen“ Themengibt,diefu¨rdienumerische
”
Analysis und die angewandte Mathematik wichtig sind. Dies s¨at Vorurtei-
le u¨ber reine und angewandte Mathematiker, die fu¨r die Mathematik so
unglu¨cklich sind. Außerdem macht es den typischen Einfu¨hrungskurs zur
reellen Analysis fu¨r die kleverstenStudenten der Natur- und Ingeniuerwis-
senschaftenunattraktiv,diedochvonderTeilnahmeaneinemsolchenKurs
profitieren k¨onnten.
Dieses Buch versucht, die grundlegenden Ideen der reellen Analysis und
dernumerischenAnalysiszusammenineinangewandtesUmfeldzustellen,
dasfu¨rjungeStudentenallertechnischenFachrichtungensowohlzug¨anglich
als auch motivierend ist.
Dieses Zielspiegeltmeinen verstecktenGrund zum Schreibendieses Bu-
ches wider. Dieses Buch ist n¨amlich eine pers¨onliche Aussage daru¨ber, wie
meiner Meinung nach Menschen Mathematik lernen und wie Mathematik
demnach gelehrt werden sollte.
Handhabung
Am Anfang dieses Buch steht die L¨osung von algebraischen Modellen mit
numerischen L¨osungen. Die Diskussion fu¨hrt auf natu¨rliche Weise von den
ganzen Zahlen u¨ber die rationalen Zahlen und die vollst¨andige Induktion
zur Konstruktion der reellen Zahlen. Eingebunden ist eine gru¨ndliche Dis-
kussion zu den Funktionen. H¨ohepunkt in diesem Teil des Buches ist die
Theorie der Fixpunktiteration zur L¨osung von nichtlinearen Gleichungen.
Der folgende Teil des Buches befasst sich mit Modellen, die Ableitungen
beinhaltenundderenL¨osungenFunktionensind.DieModellierungunddie
Analyse von Funktionen motiviert die Einfu¨hrung der Ableitung, w¨ahrend
die L¨osung der einfachsten Differenzialgleichungsmodelle die Einfu¨hrung
des Integrals motiviert. Wir untersuchen die Eigenschaften dieser Opera-
tionen ausfu¨hrlich, um dann als praktische Anwendung die grundlegenden
transzendenten Funktionen als L¨osungen einiger klassischer Differential-
gleichungen abzuleiten und zu analysieren. Dieser Teil schließt mit einer
Diskussion des Newton–Verfahrens zur L¨osung von Nullstellenproblemen.
MitdemgrundlegendenStoffu¨berZahlenundFunktionenversorgt,wendet
sichdasBucheinerdetaillierterenAnalysevonFunktionenzu,diesschließt
Untersuchungen zur Stetigkeit, zu Folgen von Funktionen und zur Appro-
ximationstheorie ein. Das Buch endet mit einer Diskussion der L¨osung
von nichtlinearen Differentialgleichungen und zwar mittels des entschei-
dendwichtigenFixpunktsatzesunddemSatzvonArzelau¨bergleichgradig
stetige Funktionen.
Obwohl es sich hierbei um klassische Themen handelt, ist das Material
in diesemBuch nichtin der fu¨r die meisten Lehrbu¨cher zur rellenAnalysis
Vorwort xi
typischen Reihenfolge angeordnet. Es gibt dafu¨r zwei Gru¨nde. Einer der
wenigen Grunds¨atze fu¨r die Lehre, den ich 20 Jahre beibehalten habe, ist,
immer nur jeweils ein neues Konzept einzufu¨hren, und es nur dann ein-
zufu¨hren,wenneserforderlichist.KonsequenterweisewirdderStoffindie-
semBuchineinerReihenfolgeeingefu¨hrt,diedurchdiepraktischeAufgabe
motiviert ist, Modelle zu l¨osen, statt durch den formalen Stil, das Thema
von Grund auf aufzubauen. Drei wichtige Beispiele sind die Einfu¨hrung
sowie der Gebrauch der Lipschitz-Stetigkeit lange vor anderen Definitio-
nen der Stetigkeit, die Einfu¨hrung der Ableitung u¨ber die Linearisierung
einer Funktion und die Einfu¨hrung der Integration als ein Verfahren zur
approximativen L¨osung von Differenzialgleichungen, statt einer Methode
die Fl¨ache unterhalb einer Kurve zu berechnen. Jede dieser Entscheidun-
genfu¨hrtzudeutlichenp¨adagogischenVorteilenhinsichtlichderMotivation
von Ideen sowie des Unterrichtens von Studenten daru¨ber, wie man Ana-
lysis durchf¨uhrt.
Die Reihenfolge des Materials in diesem Buch wurde auch von dem Ziel
bestimmt, konstruktive Argumentationen darzustellen. Die Annahme der
Lipschitz-Stetigkeit erleichtert es zum Beispiel, konstruktive Beweise fu¨r
mehrerefundamentale Ergebnissewie den Mittelwertsatz zu geben. Daher
wird die allgemeinste Definition der Stetigkeit und die allgemeinen Ver-
sionen einiger fundamentaler Ergebnisse nicht vor dem letzten Drittel des
Buches pr¨asentiert, in dem die Diskussion sowohl abstrakter und kompli-
zierter als auch weniger konstruktiv wird.
Dieses Buch zielt auf zwei Arten von Vorlesungen ab. Zum einen gibt
es die Spezialisierungssequenz in der Differenzial- und Integralrechnung,
die typischerweise von Erstsemestern gew¨ahlt wird, die beabsichtigen, ein
technisches Gebiet zu studieren.Diese Studenten haben oftmals Vorkennt-
nisse in der Infinitesimalrechnung. Zweitens gibt es den Einfu¨hrungskurs
in die reelle Analyis, der Studierenden der Mathematik angeboten wird,
diedieDifferential- undIntegralrechungabgeschlossenhaben.DiesesBuch
wurdeerfolgreichfu¨r beide ArtenvonVorlesungenamGeorgiaInstitute of
TechnologysowiederColoradoStateUniversityeingesetzt.EingroßerTeil
diesesMaterialswurdeaucherfolgreichinSchwedenandertechnologischen
Universit¨at von Chalmers getestet.
Um dieses Buch fu¨r solche Vorlesungen einzusetzen, ist es notwendig,
denabzudeckendenStoffauszuw¨ahlen.IneinerVorlesungfu¨rErstsemester
mitderSpezialisierungssequenzDifferential-undIntegralrechnungverwen-
de ich das Material aus den Kapiteln 1–4, 5–7 (kurz), 8–15 und schließlich
die eigentliche Infinitesimalrechnung aus den Kapiteln 16–30 und 35. Den
Schluß bildet ausgew¨ahltes Material aus den Kapiteln 31 und 36–38. Ei-
ne Vorlesung zur Differential- und Integralrechnung, die diesem Lehrplan
folgt, l¨aßt sicherlich mehrere Themen aus, die ein Standardkurs abdecken
wu¨rde, wie eine detaillierte Diskussion zu den Integrationstechniken und
verschiedener Standardanwendungen“. Ich habe nicht festgestellt, dass
”
meine Studenten darunter gelitten haben. In einem fortgeschrittenenKurs
xii Vorwort
zurInfinitesimalrechnungbzw.einemEinfu¨hrungskurszurreellenAnalysis
w¨ahleichMaterialausdenKapiteln3,4,8–15,16,18–23,25–27,28und29
sehr kurz, 32–35. Anschließend w¨ahle ich fu¨r meine Vorlesungen Material
aus den Kapiteln 36–41 aus.
Das Material wird durch U¨bungsaufgaben erg¨anzt, die von einfachen
Berechnungen bis zu Absch¨atzungen und Rechenprojekten reichen. Wenn
ich diesen Stoff lehre, teile ich es in eine Mischung aus Kursarbeit, die
KlausurenzumgrundlegendenVerst¨andniseinschließen,Hausaufgaben,die
die schwierigeren analytischen Aufgaben abdecken und Laborprojekten“
”
ein, die unter Verwendung eines Computers durchgefu¨hrt werden und die
einen schriftlichen Bericht erfordern.
Danksagungen
Als Student war ich in der glu¨cklichen Lage,Vorlesungen zur Analysis von
einer Reihe ausgezeichneter Mathematiker zu besuchen, die Lipman Bers,
JacobSturm,HughMontgomery,JoelSmoller,JeffRauch,RidgwayScott,
Claes Johnson und Stig Larsson einschließen. Obwohl ich ein gleichgu¨lti-
ger Student war, schafften sie es dennoch, mir einen kleinen Eindruck der
wundersch¨onen Sichtweise auf die Analysis zu verschaffen, die sie st¨andig
im Geiste mit sich tragen.
Urspru¨nglich entstand dieses Projekt w¨ahrend Gespr¨achen mit meinem
guten Freund und Kollegen Claes Johnson. Sowohl Zustimmung als auch
AblehnungvonClaessindimmerungeheuerstimulierend.DieEnergieauf-
zubringen, dieses Projektzu beenden, geht zu einem nicht kleinen Teil auf
meine Studenten im Kurs zur Spezialisierungssequenzin der Infinitesimal-
rechnungamGeorgiaInstituteofTechnology1997/8zuru¨ck.IhreBegeiste-
rung, Geduld, Wißbegier, sowie ihr angenehmes Wesen war unbeschr¨ankt
und sie zu unterrichten war wahrlich eine lebens¨andernde Erfahrung.
IchdankeLuca Dieci, SeanEastman,Kenneth Eriksson,ClaesJohnson,
Rick Miranda, Patty Somers, Jeff Steif und Simon Tavener fu¨r ihre Kom-
mentareundKorrekturen,diezuwesentlichenVerbesserungenfu¨hrten.Ich
danke Lars Wahlbin, der mir bei mehreren Punkten zur Geschichte der
Mathematik weitergeholfen hat.
IchdankederAbteilung MathematicalSciencesbeiderNationalScience
Foundationfu¨rvieleJahreUnterstu¨tzung.InsbesonderebasiertderStoffin
diesem Buch auf Arbeiten, die von der National Science Foundation durch
die Beihilfen DMS-9506519, DMS-9805748 und DMS-0107832 unterstu¨tzt
wurde.
Schließlich danke ich Patty Somers fu¨r ihre Unterstu¨tzung und Geduld.
Mit einem akademischen Mathematiker verheiratet zu sein, ist schlimm
genug,ganzzuschweigen,damitklarkommenzumu¨ssen,dasserauchnoch