Analytische Geometrie und Lineare Algebra I

127 Pages·2006·0.63 MB·German

Analytische Geometrie
und Lineare Algebra I
Prof. Dr. Ulrich Stuhler
∗
Skript zur Vorlesung im Wintersemester 2003/2004
∗Georg-August-Universit¨at G¨ottingen, [email protected]

Vorwort
Dies ist eine Ausarbeitung meiner Vorlesung u¨ber lineare Algebra, die ich im
Wintersemester 2003/2004 in G¨ottingen gehalten habe. Ich danke den vielen
Studierenden, die es durch ihre tatkr¨aftige Arbeit erm¨oglicht haben, dass diese
Ausarbeitung noch im WS 2003/2004 fertig geworden ist, ganz herzlich.
Ein Literaturverzeichnis sowie ein Stichw¨orterverzeichnis und einige wenige Er-
g¨anzungen zum Anhang werden in n¨achster Zukunft noch folgen und dann
einfach ins Netz gestellt werden.
U. Stuhler
Verfasst von
Ulrich Stuhler
Mathematisches Institut der Georg-August-Universit¨atG¨ottingen
Bunsenstraße 1-3
37073 G¨ottingen
[email protected]
als begleitendes Skriptzur vonihm imWintersemester2003/2004amMathematischenInsti-
tut der Georg-August-Universit¨at G¨ottingen gehaltenen Vorlesung Analytische Geometrie
”
und Lineare Algebra I“.
Vom Papier in die digitale Form gebracht von seinen H¨orern Martin Creutziger,
Christian Dickmann, Andreas Dirks, Agnes Do¨rfelt, Kyle Graehl,
Lars Kasper, Stefan Klopottek, Jason Mansour, Henrik Schumacher,
Peter Sheldrick, Hendrik So¨hnholz und Christian Thiemann mit Hilfe von
LATEX2ε.
Von der digitalen Form wieder auf Papier gebracht von Stefan Koospal und
Ju¨rgen Matthes im Mathematischen Institut.
3
4
Inhaltsverzeichnis
1 Der n-dimensionale Raum 7
Eine kurze Erkundungsfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Punkte und Vektoren 9
Was sind Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Vektorr¨aume 13
4 Untervektorr¨aume und affine Teilr¨aume 17
5 Der Dimensionsbegriff 23
5ADer K¨orperbegriff 31
5BDer K¨orper der komplexen Zahlen 37
6 Erg¨anzungen zum Dimensionsbegriff 41
Konstruktive L¨osung einer Grundaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Lineare Abbildungen 47
8 Lineare Abbildungen II 51
9 Lineare Abbildungen und Matrizen 55
Das Normalformenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10 Linearformen, der duale Vektorraum 65
11 Lineare Gleichungssysteme 69
12 Determinanten 75
Determinanten von Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Gruppen und Permutationen 85
14 Eigenwerte und Vektoren 93
15 Reelle Vektorr¨aume und euklidische Geometrie 107
16 Isometrien und orthogonale Gruppen 115
17 Hauptachsentransformation, selbstadjungierte Abbildungen 121
18 Erg¨anzungen 125
A Volumina. Eine Formel fu¨r die Gramsche Matrix. . . . . . . . . . . . . . . 125
B Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5
Inhaltsverzeichnis
6
1 Der n-dimensionale Raum
Eine kurze Erkundungsfahrt
Bekanntlich beschreibt eine lineare Gleichung etwa der Form
x +x = 1
1 2
eine Gerade in der (x , x ) - Koordinatenebene.
1 2
Entsprechend ist die L¨osungsmenge zum Beispiel der Gleichung
x +x +x = 1
1 2 3
im (x , x , x ) - Koordinatenraum eine Ebene im Raum, also ein lineares zweidimen-
1 2 3
sionales Gebilde. Viele Probleme aus der Mathematik, den Naturwissenschaften oder
den Wirtschaftswissenschaften fu¨hren ganz natu¨rlich auf Gleichungen mit mehr als drei
Variablen. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung
x +x +...+x = 1
1 2 10
Nach den Beispielen oben liegt es doch nahe, diese Gleichung geometrisch“ zu interpre-
”
tieren. Wir legen Punkte fest durch die zehn Koordinaten (x , x , ..., x ). Ein Punkt
1 2 10
ist also einfach ein (wie man sagt) 10-Tupel von Koordinaten, die Menge aller solcher
10-Tupel (x , x , ..., x ) sollte dann der 10-dimensionale Raum sein, den wir der Ku¨rze
1 2 10
halber auch als R10 bezeichnen. Entsprechend hatten wir es eingangs mit dem R2 (die
Ebene) bzw. dem R3 (der Raum) zu tun. Analog sollte die L¨osungsmenge der Gleichung
x +x +...+x = 1
1 2 10
ein 9-dimensionales lineares Gebilde in unserem 10-dimensionalen Raum R10 sein. Zu-
mindest ist das plausibel. Man kann etwa die Variablen x , x , ..., x ganz frei w¨ahlen,
1 2 9
dann ist x eindeutig gegeben durch
10
x = 1 (x +x +...+x )
10 1 2 9
−
Aber was soll 9-dimensional“ in einem 10-dimensionalen Raum denn nun ganz genau
”
heißen? Dafu¨r brauchen wir eine exakte Definition des Begriffs Dimension“ und das
”
ist einer der wesentlichen Punkte der Vorlesung. Natu¨rlich werden wir dies nicht nach-
einander fu¨r den R1, R2, ..., R10, R11 usw. durchfu¨hren, sondern wir betrachten gleich
allgemein den n-dimensionalen Raum Rn, wo n eine der Zahlen 1, 2, 3, ... sein kann. Ein
Punkt ist dann also einfach ein n-Tupel reeller Zahlen (x , x , ..., x ). Die Menge aller
1 2 n
7
1 Der n-dimensionale Raum
solcher n-Tupel ist der Rn. Eine einzelne lineare Gleichung mit n Unbekannten h¨atte
jetzt ganz allgemein die Gestalt
a x +a x +...+a x = b
1 1 2 2 n n
Dabei sind die a , a , ..., a , b feste (aber beliebige) reelle Zahlen, in unserem Beispiel
1 2 n
eben war n = 10, a = a = a = ... = a = b = 1. Die L¨osungsmengen derartiger
1 2 3 10
Gleichungen gilt es zu studieren. Statt einer Gleichung tritt auch oft der Fall auf, dass
man mehrere Gleichungen simultan zu l¨osen hat, man spricht dann von einem linearen
Gleichungssystem. Das sieht etwa so aus:
a x + a x + ... + a x = b
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + ... + a x = b
21 1 22 2 2n n 2
. . .
. . .
. . .
a x + a x + ... + a x = b
m1 1 m2 2 mn n m
Dabei sind die a , a , a , ..., a sowie die b , ..., b wieder beliebige aber feste reelle
11 12 21 mn 1 m
Zahlen. Die x , ..., x sind die Unbekannten. Man spricht in naheliegender Weise von
1 n
einem System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Die L¨osungsmenge eines
solchen linearen Gleichungssystems sollte wieder ein lineares Gebilde“ einer bestimmten
”
Dimension im Rn sein. Was genau sollte das aber bedeuten? U¨brigens werden wir ein
derartigeslinearesGleichungssystem baldinvielkompaktererFormschreiben,dannsieht
das so aus:
n
a x = b (i = 1,...,m)
ij j i
j=1
X
Das spart Platz, aber man muss sich daran gew¨ohnen! Kann man sich den Rn nun
wirklich anschaulich vorstellen? Hier gilt es, folgendes zu bedenken: Unsere Anschauung
ist, wie manchmal scherzhaft gesagt wird, zweieinhalb dimensional. Hierzu ein einfaches
Beispiel, das ich einer Vorlesung von H. Grauert entnommen habe. Wir halbieren die
Raumdiagonale d eines Wu¨rfels im R3. Im Mittelpunkt P von d errichten wir senkrecht
zu d eine Ebene, die mit der Wu¨rfeloberfl¨ache zum Schnitt gebracht wird. Welche Figur
ergibt sich? Die Figur direkt vor sich zu sehen, ist schwierig. Mit einem einfachen Sym-
metrieargument folgt aber, dass es sich um ein regelm¨aßiges Sechseck handeln muss. Das
heisst, die Eigenschaften bereits des dreidimensionalen Raumes R3 sind nur teilweise fu¨r
uns anschaulich evident. Vieles ergibt sich auch aus logischen U¨berlegungen sowie aus
Analogiebetrachtungen durch Projektion in die Ebene. Ganz ¨ahnlich ergeht es einem
nun mit dem n-dimensionalen Raum. Durch Analogie mit dem Raum R3 werden viele
der Aussagen, die wir rein logisch beweisen werden, doch in gewisser Weise einen an-
schaulichen Gehalt haben. Die Anschauung, in geschickter Weise verwendet, hilft auch
oft, die logischen Beweise u¨berhaupt erst zu finden. Es ist genau das Problem einer sol-
chen Vorlesung fu¨r die Studierenden, das Ineinandergreifen von logisch v¨ollig strengen
Beweisen und leitender Motivation durch anschauliche Vorstellungen zu erfassen.
8
2 Punkte und Vektoren
Was sind Vektoren
Wie oben beschrieben, ist also ein Punkt P fu¨r uns einfach ein Koordinaten-n-Tupel
reeller Zahlen (p ,...,p ).
1 n
Die Menge aller Punkte P ist der n-dimensionale (affine) Raum Rn. Tats¨achlich werden
zun¨achst weniger die Punkte des Rn eine Rolle spielen, sondern viel mehr die Vektoren.
Der Grund dafu¨r ist einfach der, dass man mit Vektoren besser als mit Punkten rechnen
−→
kann, wie wir gleich sehen werden. Ein Vektor x =PQ wird durch zwei Punkte
P = (p ,p ,...,p )
1 2 1
Q = (q ,q ,...,q )
1 2 n
−→
des Rn gegeben. Anschaulich stellen wir uns den Vektor x =PQ als gerichtete Strecke
(Vektorpfeil) von P nach Q vor. Sind
R = (r ,r ,...,r )
1 2 n
und
S = (s ,s ,...,s )
1 2 n
−→
aus dem Rn zwei weitere Punkte und y =RS der entsprechende Vektor von R nach S,
so definieren wir eine Gleichheit(-srelation) zwischen den Vektoren x und y wie folgt:
−→ −→
2.1 Definition: Es ist x = y (bzw. PQ=RS) genau dann, wenn gilt:
q p = s r
i i i i
− −
fu¨r alle (i = 1,2,...,n).
Offenbar trifft diese Definition fu¨r die anschaulichen Dimensionen“ (n = 1,2,3) genau
”
die geometrische Vorstellung. Fu¨r die h¨oheren Dimensionen handelt es sich um eine
rein logische Festsetzung, die die anschaulichen Gegebenheiten der niederdimensionalen
R¨aume fortschreibt.
Wir halten folgende Tatsachen fest:
Ein geordnetes Paar von Punkten P,Q Rn (P,Q aus dem Rn) legt eindeutig
• −→ ∈
einen Vektor x =PQ fest.
9
2 Punkte und Vektoren
−→ −→
Vektoren PQ,RS, sind gleich im Sinne der obigen Definition, wenn gilt
•
q p = s r (i = 1,...,n)
i i i i
− −
Vektoren werden also eindeutig durch das so genannte Komponenten-n-Tupel
•
(q p ,q p ,...,q p )
1 1 2 2 n n
− − −
beschrieben, d.h. ebenfalls durch ein geordnetes n-Tupel reeller Zahlen.
2.2 Bemerkung: Sowohl Punkte als auch Vektoren im Rn werden also durch n-Tupel
reeller Zahlen beschrieben. Trotzdem sind, gem¨aß ihrer Bedeutung, die beiden Begriffe
Punkt“ und Vektor“ von einander zu unterscheiden. - Gegeben sei ein Punkt P =
” ”
(p ,...,p ) und ein Vektor x = (ξ ,ξ ,...,ξ ). Dann findet man in
1 n 1 2 n
Q := (p +ξ ,p +ξ ,...,p +ξ )
1 1 2 2 n n
−→
einen Punkt, so dass gilt PQ= x.
Q entsteht aus P durch Anheften des Vektors x in P“ oder anders gesagt, Q entsteht
”
aus P durch Verschiebung“ mit dem Vektor x, sind Punkt x. Q ist durch die Bedingung
”
−→
PQ= x
eindeutig bestimmt.
Addition von Vektoren
−→ −→
Gegeben seien die Vektoren x =PQ und y =RS durch die Komponenten-n-Tupel
x = (q p ,...,q p )
1 1 n n
− −
y = (s r ,...,s r )
1 1 n n
− −
−→
Wir k¨onnen den Vektor y auch repr¨asentieren durch y =R′S′ mit R′ = Q und S′ =
−→ −→ −→
(q +(s r ),...,q +(s r ) Es gilt danndie Gleichheit von Vektoren RS=R′S′=QS′.
1 1 1 n n n
− −
Entsprechend derAdditionvonVektorenindenanschaulichenniederdimensionalen R¨au-
men R1,R2,R3 setzt man jetzt
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
PQ + RS=PQ + R′S′=PQ + QS′=PS′
In Komponenten ergibt sich sofort
−→
PS′= ((q p )+(s r ),...,(q p )+(s r ))
1 1 1 1 n n n n
− − − −
10