Analytische Geometrie - Stormarnschule

14 Pages·2011·0.38 MB·German

Analytische Geometrie
Lexikon zur Klausur- und Abiturvorbereitung
Projekt des Mathe LKs 2006/2007:
Fabian Feddern
Kortine Kleinheinz
Simon Landsberg
Lennart Mou
Jan Overbeck
Katharina Schellhaus
1 Euro Friederike Thun
Christopher Westphal
Analytische Geometrie – Inhalt Seite 2
Seite Thema
1 ---/---
2 Inhalt
3 Grundbegriffe
4 Grundbegriffe
5 Darstellungen von Teilräumen des Rn
6 Winkelberechnungen
7 Winkelberechnungen/ Abstandsberechnungen
8 Abstandsberechnungen
9 Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
10 Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
11 Lagebeziehungen zwischen Ebenen
12 Lagebeziehungen zwischen Ebenen
13 Gegenseitige Lage von Geraden
14 Gegenseitige Lage von Geraden
Analytische Geometrie – Grundbegriffe Seite 3
Ein Rechtssystem ist ein System aus drei räumlichen fi Vektoren , die von einem
einzigen Ursprung ausgehen. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit dieser
untereinander bilden sie ein System, in dem sich räumlich bewegt werden kann.
Ein Vektor ist in allgemeinster Form ein Element eines fi Vektorraums, also ein
Objekt, das mit seinesgleichen addiert werden kann und mit Zahlen (=Elementen des
zugrunde liegenden Körpers) multipliziert werden kann.
(cid:230) a(cid:246) In der Geometrie ist ein Vektor auffassbar als eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge
(cid:231) (cid:247)
WT=V=(cid:231) b(cid:247) (Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung.
(cid:231) (cid:247) Vektoren haben normalerweise keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher
Ł cł
als die Menge aller "Pfeile", die kollinear (d.h. parallel sind, also die gleiche Richtung
z besitzen), gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden. Sie dienen im
y Allgemeinen dazu, eine Richtung anzuzeigen.
Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ursprung (Ausgangspunkt).
W a v Sie können zum Beispiel, als so genannte fi Ortsvektoren, die Position eines
T Punktes im Raum angeben.
b c x Ein Vektor mit gleichem Betrag, gleicher Richtung aber entgegengesetzter
Orientierung eines anderen Vektors ist dessen Gegenvektor.
z Ein Ortsvektor Pist ein gebundener Vektor, durch den die Position (Lage, Ort) eines
y
Punktes P im Raum festgelegt wird. Um einen Ortsvektor angeben zu können, muss
ein eindeutiger Bezugspunkt definiert sein, der den Ursprung O eines

P Koordinatensystems festlegt. Es gilt P= OP.
O
x
(cid:230) a (cid:246) (cid:230) a (cid:246) Das Skalarprodukt ordnet jeweils zwei fi Vektoren A und Beine reelle Zahl zu.
(cid:231) 1(cid:247) (cid:231) 2(cid:247)
V *V = (cid:231) b (cid:247) *(cid:231) b (cid:247) = a *a + b *b + c *c Im R³ ergibt sich aus dem Skalarprodukt A*Ader Betrag des Vektors A.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł c ł Ł c ł Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null
1 2
ist; zeigen sie hingegen in dieselbe Richtung, so ist das Skalarprodukt das
(gewöhnliche) Produkt ihrer Längen.
Analytische Geometrie – Grundbegriffe Seite 4
(cid:230) a (cid:246) (cid:230) b (cid:246) (cid:230) a b - a b (cid:246) Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) zweier fi Vektoren in einem
(cid:231) 1(cid:247) (cid:231) 1(cid:247) (cid:231) 2 3 3 2(cid:247) dreidimensionalen fi Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden
a· b= (cid:231) a (cid:247) · (cid:231) b (cid:247) = (cid:231) a b - ab (cid:247) = c Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche
(cid:231) 2(cid:247) (cid:231) 2(cid:247) (cid:231) 3 1 1 3 (cid:247) des Parallelogramms mit den Seiten die dem Betrag (dazu siehe fi Einheitsvektor)
Ł a ł Ł b ł Ł ab - a b ł der beiden Vektoren entspricht.
3 3 1 2 2 1
Es gibt zwei solche Vektoren, die in entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird
einer ausgewählt, sodass die Vektoren mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein fi
Rechtssystem bilden.
(cid:230) a(cid:246)
(cid:231) (cid:247)
V = (cid:231) b(cid:247) V = a2+ b2+ c2
(cid:231) (cid:247)
Ł cł
In der linearen Algebra ist ein Einheitsvektor ein fi Vektor mit der Länge Eins. Man
(cid:230) (cid:246) kann jeden Vektor zu einem Einheitsvektor machen, indem man ihn normiert, das heißt
(cid:231) a (cid:247) alle Koordinaten durch den Betrag (fi Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst) des
(cid:231) a2 + b2 + c2 (cid:247) Vektors teilt.
(cid:231) (cid:247)
b
V = (cid:231) (cid:247)
0 (cid:231) a2 + b2 + c2 (cid:247)
(cid:231) c (cid:247)
(cid:231) (cid:247)
Ł a2 + b2 + c2 ł
Ein Vektorraum ist eine mathematische Struktur und stellt das fundamentale Konzept
der Linearen Algebra dar. Vektorräume werden in fast allen Zweigen der Mathematik
verwendet.
Ein Vektorraum besteht aus einzelnen fi Vektoren, die addiert oder mit einer skalaren
Zahl multipliziert werden können, so dass das Ergebnis jeweils wieder ein Vektor
desselben Vektorraums ist (siehe fi Skalarprodukt). Da die skalaren Zahlen, mit
denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein
Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht
beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen.
Punktnormalenform einer Ebene: Die Hessesche Normalform (HNF) (nach Otto Hesse) ist in der analytischen
Ø(cid:230) x (cid:246) (cid:230) 1(cid:246)ø (cid:230) 0(cid:246) Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene im R3 oder eine Gerade im R2 beschreibt:
Œ(cid:231) 1(cid:247) (cid:231) (cid:247)œ (cid:231) (cid:247)
ŒŒº(cid:231)(cid:231)Ł xx2(cid:247)(cid:247)ł - (cid:231)(cid:231)Ł 32(cid:247)(cid:247)łœœß *(cid:231)(cid:231)Ł185(cid:247)(cid:247)ł =0 Wenn x in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P der
3 Ebene E ist (kurz: P˛ E), dann gilt
(cid:230) 0(cid:246)
(cid:231) (cid:247)
n= (cid:231) 8(cid:247) =17 n *x= d
(cid:231) (cid:247) 0
Ł15ł
HNF derselben Ebene: Dabei ist n der normierte Normalenvektor (siehe fi Einheitsvektor) von E und
0
(cid:230) 0(cid:246) (cid:230) x (cid:246)
1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) 1(cid:247) 61 d > 0 der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.
(cid:231) 8(cid:247) *(cid:231) x (cid:247) - = 0 Die sich hieraus ergebende Gleichung
17(cid:231) (cid:247) (cid:231) 2(cid:247) 17
Ł 15ł Ł x ł
3 n *x- d = 0
Abstand Ursprung-Ebene:
0
61
d=
17 ist die Hessesche Normalenform.
Analytische Geometrie – Darstellung von Teilräumen des Rn Seite 5
Ein Punkt im R3 wird durch die X- ,Y- und Z-Koordinaten beschrieben.
P(X/Y/Z)
Ein Gerade wird durch im R3 zwei Punkte A und B beschrieben.
(cid:230) a (cid:246) (cid:230) b - a (cid:246)
(cid:231) 1 (cid:247) (cid:231) 1 1 (cid:247)
g:x=(cid:231) a (cid:247) + r * (cid:231) b - a (cid:247)
2 2 2
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł a ł Ł b - a ł
3 3 3
In einem R2 wird eine Gerade durch ihre Steigung und dem Schnittpunkt der Y-
Achse beschrieben
y = m*x+c
oder durch einen senkrechten Vektor n
Ø (cid:230) a (cid:246) ø
0 = n*Œ x- (cid:231)(cid:231) 1 (cid:247)(cid:247) œ
º Ł a ł ß
2
Eine Ebene wird in einem R3 durch drei Punkte (A, B, C) oder zwei Geraden
oder einer Geraden und einem Punkt oder einem senkrechten Vektor
beschrieben.
(cid:230) a (cid:246) (cid:230) b - a (cid:246) (cid:230) c - a (cid:246)
(cid:231) 1 (cid:247) (cid:231) 1 1 (cid:247) (cid:231) 1 1 (cid:247)
E:x=(cid:231) a (cid:247) + r * (cid:231) b - a (cid:247) + s* (cid:231) c - a (cid:247)
(cid:231) 2(cid:247) (cid:231) 2 2(cid:247) (cid:231) 2 2(cid:247)
Ł a ł Ł b - a ł Ł c - a ł
3 3 3 3 3
(cid:230) n (cid:246)
1 (cid:231) 1 (cid:247) (n*g)
E:x= (n ²+ n ²+ n ²) * (cid:231)(cid:231) n2(cid:247)(cid:247) x+ (n ²+ n ²+ 3²)
1 2 3 Ł n ł 1 2 n
3
Das Volumen eines Spates wird im R3 durch
V = |(a X b)*c|
Ermittelt, wobei a und b die Vektoren der Grundfläche sind und c die Höhe
ist.
Analytische Geometrie – Winkelberechnungen Seite 6
Winkel zwischen 2 Vektoren
Der Winkel 180(cid:176) - a zwischen zwei Vektoren wird über den Kosinussatz

b- a berechnet. Aus (b- a)2 = a2 + b2 - 2a (cid:215) bcosa folgt: a* b = cosa .
a * b
Beispiel:
(cid:231)(cid:230) 3(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 9(cid:247)(cid:246) a(cid:215) b 42
(cid:231) 7(cid:247) = a (cid:231) 1(cid:247) = b cosa = = » 0.45(cid:222) a = 63.09(cid:176)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) a (cid:215) b 59(cid:215) 146
Ł 1ł Ł 8ł
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den beiden
Normalenvektoren der Ebenen. Auch hier verwendet man den umgestellten

a* b
Kosinussatz, der wie folgt lautet: = cosa , a und bsind hierbei die
a* b
E2
Normalenvektoren der Ebenen.
E1 Hier ist es wichtig wie die Vektoren orientiert sind, deshalb rechnet man mit
n
Betragsstrichen im Zähler, um zu vermeiden, dass man den falschen (d.h. den
1 n
2 größeren) Schnittwinkel errechnet.
Beispiel:
(cid:231)(cid:230) 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 0(cid:247)(cid:246) a(cid:215) b 62
nE1= (cid:231)(cid:231) 2(cid:247)(cid:247) nE2 = (cid:231)(cid:231) 8(cid:247)(cid:247) cosa = a (cid:215) b = 14(cid:215) 289 » 0,97(cid:222) a = 12,9(cid:176)
Ł 3ł Ł 15ł
Winkel zwischen zwei Geraden:
a
Schneiden sich zwei Geraden g und h, so entstehen vier Winkel, je zwei der Größe
a
und zwei der Größe 180°- . Unter dem Schnittwinkel versteht man den, der kleiner
a
oder gleich 90° ist, also .  
a Aus den Richtungsvektoren u und v der Geraden g und h ergibt sich für den
Schnittwinkel:
 
180°-a cosa = u*v
 
a u * v
Da der Schnittwinkel zwischen den Geraden auch der größere sein kann, man aber
den kleineren berechnen möchte, setzt man das Skalaprodukt in Betragsstriche,
dadurch wird der kleinere berechnet.
Beispielaufgabe:
Berechne den Schnittwinkel der zwei Geraden:
(cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 2(cid:246) (cid:230) 1 (cid:246)
 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)  (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
g:x= (cid:231) 1(cid:247) + r(cid:231) 0(cid:247) h:x = (cid:231) 2(cid:247) + s(cid:231) - 1(cid:247)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 0ł Ł 3ł Ł 3ł Ł 3 ł
(cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 1 (cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(cid:231) 0(cid:247) *(cid:231) - 1(cid:247)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) a =40,29°
Ł 3ł Ł - 3ł 1- 9
cosa = =
1+ 0+ 9* 1+1+ 9 10* 11
(Ohne Betragsstriche hätte man den Winkel 180°-40,29°=139,71° berechnet.)
Analytische Geometrie – Winkelberechnungen/Abstandsberechnung Seite 7
Seite „XXX“
Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene:
Schneiden sich die Gerade g und die Ebene E, aber nicht im rechten Winkel, so gibt
es genau eine Ebene F, die senkrecht zur Ebene E ist und g enthält.
Die Gerade g bildet dann mit dem Normalenvektor n von E, der in F enthalten ist, den
a a
Winkel 90°- , wobei der gesuchte Schnittwinkel zwischen g und E ist.
 
u*n
a
Cos(90°- )=  
u * n
 
u*n
cos(90°- a )=sina (cid:222) sina =  
u * n
Beispielaufgabe:
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene E:
g:x= t(cid:231)(cid:231)(cid:230) 34 (cid:247)(cid:247)(cid:246) E: 5x+y+z=22 Ein Normalenvektor von E ist: n= s(cid:231)(cid:231)(cid:230) 15(cid:247)(cid:247)(cid:246)
(cid:231)Ł - 1(cid:247)ł (cid:231)Ł 1(cid:247)ł
(cid:230) 4 (cid:246) (cid:230) 5(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(cid:231) 3 (cid:247) *(cid:231) 1(cid:247) a = 56,13(cid:176)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł - 1ł Ł 1ł 22
sina = =
26* 27 26* 27
Schnittpunkt P: 5*(4t)+(3t)-t=22 22t=22 t=1 P(4/3/-1)
1. Ebene – Ebene
Voraussetzungen: E1 || E2 ; E1 und E2 in HNF
Liegen beide Ebenen auf der selben Seite des Ursprungs (Vorzeichen der markierten
Terme gleich) den Betrag der Differenz, sonst den Betrag der Summe dieser Terme
(den Abständen zum Ursprung) bilden.
Beispiel:
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) 4(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
1  6 1  8
E = (cid:215) (cid:231) 3(cid:247) (cid:215) x- = 0 E = (cid:215) (cid:231) 3(cid:247) (cid:215) x- = 0
1 2
34 (cid:231) (cid:247) 34 34 (cid:231) (cid:247) 34
Ł 3ł Ł 3ł
(cid:230) (cid:246)
(cid:231) (cid:247) 2
d = - 8 - (cid:231)(cid:231) - 6 (cid:247)(cid:247) d =
34 (cid:231) 34(cid:247) 34
(cid:231) (cid:247)
Ł ł
2. Ebene – Gerade
Voraussetzungen: E || g ; E in HNF, g in Parameterform
Mit dem Stützvektor der Geraden g und dem Normalenvektor der Ebene E eine
Ebene Eg, die g enthält und parallel zu E ist, bilden.
Dann fortfahren wie in 1.
Beispiel:
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) 5(cid:246) (cid:230) 4 (cid:246)
1 (cid:231) (cid:247)  6  (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
E: (cid:215) (cid:231) 3(cid:247) (cid:215) x- = 0 g:x = (cid:231) 4(cid:247) + r(cid:215) (cid:231) - 2(cid:247)
34 (cid:231)Ł 3(cid:247)ł 34 (cid:231)Ł 3(cid:247)ł (cid:231)Ł - 2(cid:247)ł
Eg in Normalenform: Eg in HNF:
Eg :ŒŒŒºØ x- (cid:231)(cid:231)(cid:231)Ł(cid:230) 354(cid:247)(cid:247)(cid:247)ł(cid:246) œœœßø (cid:215) (cid:231)(cid:231)(cid:231)Ł(cid:230) 334(cid:247)(cid:247)(cid:247)ł(cid:246) = 0 Eg : 134(cid:215) (cid:231)(cid:231)(cid:231)Ł(cid:230) 334(cid:247)(cid:247)(cid:247)ł(cid:246) (cid:215) x+ 4314 = 0
Weiter wie oben.
Analytische Geometrie – Abstandsberechnungen Seite 8
Seite „XXX“
3. Ebene – Punkt
Voraussetzungen: E in HNF
Mit dem Ortsvektor des Punktes P und dem Normalenvektor der Ebene E eine Ebene
Ep bilden, die P enthält und parallel zu ist. Dann wie in 2 die Normalenform und die
HNF bilden und fortfahren wie in 1 oder P in die vereinfachte Formel einsetzen:
E in HNF (siehe 2.); P (1/2/3)
(cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 4(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
1 6
d = (cid:231) 2(cid:247) (cid:215) (cid:215) (cid:231) 3(cid:247) -
(cid:231) (cid:247) 34 (cid:231) (cid:247) 34
Ł 3ł Ł 3ł
4. Gerade – Gerade
Voraussetzungen: g1 und g2 in Parameterform, ˇ g1˙ g2
Mit den Richtungsvektoren von g1 und g2 einen Normalenvektor von g1 und g2 finden.
Mit den Stützvektoren und dem neuen Normalenvektor zwei parallele Ebenen Eg1 und
Eg2 bilden, die g1 bzw. g2 enthalten. Dann fortfahren wie in 1.
Beispiel:
(cid:230) 3(cid:246) (cid:230) 4(cid:246) (cid:230) 1(cid:246) (cid:230) - 4(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
 
g :x = (cid:231) 6(cid:247) + r(cid:215) (cid:231) 8(cid:247) g :x = (cid:231) 0(cid:247) + r(cid:215) (cid:231) - 6(cid:247)
1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 2 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 4ł Ł 2ł Ł 3ł Ł 2 ł
Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt ermitteln.
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) - 4(cid:246) (cid:230) 7(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)

n= (cid:231) 8(cid:247) · (cid:231) - 6(cid:247) = (cid:231) 4(cid:247) Fortfahren wie in 2 und 1.
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 2ł Ł 2 ł Ł 2ł
5. Gerade – Punkt
VoraussetzungF˛ gin Parameterform

Für den kleinsten Abstand gehen wir davon aus, dass PF ^ u und damit das
Skalarprodukt Null ist.
Daher lässt sich der Vektor OF berechnen:
g:x=(cid:231)(cid:231)(cid:230)32(cid:247)(cid:247)(cid:246) +r(cid:215)(cid:231)(cid:231)(cid:230)32(cid:247)(cid:247)(cid:246) P(4/3/2);
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł4ł Ł1ł
(cid:239)(cid:236)ί(cid:231)(cid:230)3(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)2(cid:247)(cid:246)Ͽ (cid:231)(cid:230)4(cid:247)(cid:246)(cid:239)(cid:252) (cid:231)(cid:230)3(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)6(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)2(cid:247)(cid:246)
(cid:237)Œ(cid:231)2(cid:247) +r(cid:215)(cid:231)2(cid:247)œ - (cid:231)3(cid:247)(cid:253) (cid:215)(cid:231)2(cid:247) =0fi r=2fi OF=(cid:231)9(cid:247) fi PF=(cid:231)6(cid:247)
(cid:239)(cid:238)Œº(cid:231)Ł1(cid:247)ł (cid:231)Ł1(cid:247)łœß (cid:231)Ł2(cid:247)ł(cid:239)(cid:254) (cid:231)Ł0(cid:247)ł (cid:231)Ł6(cid:247)ł (cid:231)Ł4(cid:247)ł
PF = 56= d
6. Punkt – Punkt
Die Punkte P(1/2/3) und Q(3/2/1) haben den Abstand, der sich aus dem Betrag der
Differenz ihrer beiden Ortsvektoren errechnen lässt.
Beispiel:
(cid:230) 3(cid:246) (cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 2 (cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
OQ(cid:231) 2(cid:247) - OP(cid:231) 2(cid:247) = PQ(cid:231) 0 (cid:247)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 1ł Ł 3ł Ł - 2ł
PQ = d = 8
Analytische Geometrie – Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Seite 9
Seite „XXX“
Die Gerade g :x= p+ t*u ist parallel zu der Ebene E:x= q+ r*v+ s*w
und liegt nicht in der Ebene, wenn die Gleichung p+ t*u=q+ r*v+ s*w keine
Lösung hat:;
1. Bedingung: Der Richtungsvektor umuss linear abhängig zu den
Richtungsvektoren v und wsein
2. Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren p - qmuss linear
unabhängig von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene vund wsein
Beispiel 1):
Bestimmung einer Geraden die parallel zur Ebene ist und durch einen Punkt geht: Die
Ebene ist durch die Punkte A (1/0/2), B (0/2/1) und C (1/3/0) festgelegt. Die Gerade
geht durch den Punkt P (4/4/4). Daraus ergibt sich
(cid:231)(cid:230)1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)0- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)1- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 0(cid:247)(cid:246)
E:x=(cid:231)0(cid:247) +r*(cid:231)2- 0(cid:247) +s*(cid:231)3- 0(cid:247) =(cid:231)0(cid:247) +r*(cid:231) 2(cid:247) +s*(cid:231) 3(cid:247)
(cid:231)Ł2(cid:247)ł (cid:231)Ł1- 2(cid:247)ł (cid:231)Ł0- 2(cid:247)ł (cid:231)Ł2(cid:247)ł (cid:231)Ł- 1(cid:247)ł (cid:231)Ł- 2(cid:247)ł
Der Richtungsvektor und der Geraden g und die Spannvektoren müssen linear
abhängig sein.
(cid:230)- 1(cid:246)
(cid:231) (cid:247)
Als Richtungsvektor kann man einen der Spannvektoren nehmen, z.B. (cid:231) 2(cid:247)
(cid:231)Ł- 1(cid:247)ł
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) - 1(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Die Gerade g:x=(cid:231) 4(cid:247) +t*(cid:231) 2(cid:247) ist parallel zur Ebene
(cid:231)Ł 4(cid:247)ł (cid:231)Ł - 1(cid:247)ł
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) - 1(cid:246) (cid:230) 1(cid:246) (cid:230) - 1(cid:246) (cid:230) 0 (cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Beispiel 2): g:x= (cid:231) 4(cid:247) +t*(cid:231) 2(cid:247); E:x=(cid:231) 0(cid:247) + r*(cid:231) 2(cid:247) + s*(cid:231) 3 (cid:247) ;
(cid:231)Ł 4(cid:247)ł (cid:231)Ł - 1(cid:247)ł (cid:231)Ł 2(cid:247)ł (cid:231)Ł - 1(cid:247)ł (cid:231)Ł - 2(cid:247)ł
(cid:231)(cid:230)- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 0(cid:247)(cid:246)
Prüfen der beiden Bedingen?: (cid:231) 2(cid:247) =a*(cid:231) 2(cid:247) +b*(cid:231) 3(cid:247) a=1; b=0 linear abhängig;
(cid:231)Ł- 1(cid:247)ł (cid:231)Ł- 1(cid:247)ł (cid:231)Ł- 2(cid:247)ł
(cid:230) 4(cid:246) (cid:230) 1(cid:246) (cid:230) - 1(cid:246) (cid:230) 0 (cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(cid:231) 4(cid:247) - (cid:231) 0(cid:247) =a*(cid:231) 2(cid:247) +b*(cid:231) 3 (cid:247) linear unabhängig;
(cid:231)Ł 4(cid:247)ł (cid:231)Ł 2(cid:247)ł (cid:231)Ł - 1(cid:247)ł (cid:231)Ł - 2(cid:247)ł
(cid:231)(cid:230)4(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)- 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 0(cid:247)(cid:246)
(cid:231)4(cid:247) +t*(cid:231) 2(cid:247) =(cid:231)0(cid:247) +r*(cid:231) 2(cid:247) +s*(cid:231) 3(cid:247)
(cid:231)Ł4(cid:247)ł (cid:231)Ł- 1(cid:247)ł (cid:231)Ł2(cid:247)ł (cid:231)Ł- 1(cid:247)ł (cid:231)Ł- 2(cid:247)ł
3=1r+t Das LGS hat keine Lösung
4=2r+3s-2t
2=-r-2s+t
Die Gerade g:x= p+ t*u liegt in der Ebene E:x= q+ r*v+ s*w, wenn
die Gleichung p+ t*u=q+ r*v+ s*w unendlich viele Lösungen hat:
1. Bedingung: Der Richtungsvektor umuss linear abhängig zu den
Richtungsvektoren v und wsein
2. Bedingung: Die Differenz der beiden Stützvektoren p- qmuss linear
abhängig von denen der beiden Richtungsvektoren der Ebene vund wsein
Beispiel:
(cid:231)(cid:230)18(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 9(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)9(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)5(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 4(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)18(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)9(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)9(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230)5(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 4(cid:247)(cid:246)
g:x= (cid:231)10(cid:247) +t*(cid:231) 5(cid:247); E:x=(cid:231) 5(cid:247) +r*(cid:231)3(cid:247) +s*(cid:231) 2(cid:247); (cid:231)10(cid:247) +t*(cid:231)5(cid:247) = (cid:231)5(cid:247) +r*(cid:231) 3(cid:247) + s*(cid:231) 2(cid:247)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 6ł Ł 3ł Ł 3ł Ł1ł Ł 2ł Ł 6ł Ł 3ł Ł3ł Ł1ł Ł 2ł
(cid:230) 9(cid:246) (cid:230) 5(cid:246) (cid:230) 4(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Prüfen der beiden Bedingen: (cid:231) 5(cid:247) = a*(cid:231) 3(cid:247) + s*(cid:231) 2(cid:247) linear abhängig ;
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 3ł Ł 1ł Ł 2ł
(cid:230)18(cid:246) (cid:230)9(cid:246) (cid:230)5(cid:246) (cid:230) 4(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(cid:231)10(cid:247) - (cid:231)5(cid:247) =a*(cid:231)3(cid:247) +b*(cid:231) 2(cid:247) linear abhängig
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 6ł Ł3ł Ł1ł Ł 2ł
9=5r+4s-9t
5=3r+2s-5t
3=1r+2s-3t
Das LGS hat unendlich viele Lösungen
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Ebene - Gerade:
Durchstoßpunkt:
Parameterform:
E: x= p+ r*u1 + s*v1 und g: x= p+ t*w
Die gerade g schneidet die Ebene E im Punkt P. Um diesen Schnittpunkt zu ermitteln
muss man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und erhält eine
Variable. Diese ergibt in die jeweilige Gleichung eingesetzt den Vektor zum Punkt P:
(cid:231)(cid:230) 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 2(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) - 1(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 2(cid:247)(cid:246) (cid:231)(cid:230) 1(cid:247)(cid:246)
E: (cid:231) 1(cid:247) +r(cid:231) 0(cid:247) +s(cid:231) - 1(cid:247) = x und g: x= (cid:231) 2(cid:247) + t*(cid:231) - 1(cid:247)
1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł 5ł Ł 1ł Ł 3ł Ł 1ł Ł 1ł
Gleichsetzung im LGS:
I. 1+ 2 r- s= 2+ t èGleichung III. mit 2 multipliziert und subtrahiert von
II. 1- s= 2 – t Gleichung I.
III.5+ r+3s= 1+ t
II -1 + s=2- t è III subtrahiert von II.
III’. -9- 7s= -t
4 1 1
2=8+8sè- 6=8s ès= - , eingesetzt: t=- ; r=-
3 3 3
(cid:230) 1 1 2(cid:246)
t eingesetzt in g ergibt: P (cid:231) 1 /2 / (cid:247)
Ł 3 3 3ł
Ebene-Gerade:
Durchstoßpunkt:
Koordinatengleichung:
g: x= p+t*w E: 2x+5x-x=49
1 2 3
Zur Bestimmung des Durchstoßpunktes muss die Geradengleichung in
Koordinatenform gebracht werden:
(cid:230) 3(cid:246) (cid:230) 2(cid:246)
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
g: x=(cid:231) 4(cid:247) +t*(cid:231) 1(cid:247) è x= 3 +2 t; x= 4+ t; x= 7- t
(cid:231)Ł7(cid:247)ł (cid:231)Ł - 1(cid:247)ł 1 2 3
eingesetzt in Koordinatengleichung:
2*(3+2t)+5*(4+t)-(7-t)=49
è10t +19=49, also t=3
eingesetzt in g ergibt Durchstoßpunkt P(9/7/4)
Ebene-Gerade:
Normalengleichung:
E1: (x- p1)*n1 =0 und g: x= p2+t*w
Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt und somit t ermittelt.
( )
p2 +t*w- p1 *n1 =0
E: ŒŒØx- (cid:231)(cid:231)(cid:230)11(cid:247)(cid:247)(cid:246)œœø*(cid:231)(cid:231)(cid:230) 51(cid:247)(cid:247)(cid:246) =0 und g: x=(cid:231)(cid:231)(cid:230)22(cid:247)(cid:247)(cid:246) +t*(cid:231)(cid:231)(cid:230)-11(cid:247)(cid:247)(cid:246)
Œº (cid:231)Ł5(cid:247)łœß (cid:231)Ł- 2(cid:247)ł (cid:231)Ł1(cid:247)ł (cid:231)Ł 1(cid:247)ł
ŒŒØ(cid:231)(cid:231)(cid:230) 11(cid:247)(cid:247)(cid:246) +t(cid:231)(cid:231)(cid:230)-11(cid:247)(cid:247)(cid:246)œœø *(cid:231)(cid:231)(cid:230) 15(cid:247)(cid:247)(cid:246) =0 è -6 t -2=0 è t=-1/3
Œº(cid:231)Ł- 4(cid:247)ł (cid:231)Ł 1(cid:247)łœß (cid:231)Ł- 2(cid:247)ł
(cid:230) 1 1 2(cid:246)
eingesetzt in g ergibt Durchstoßpunkt P (cid:231)1 /2 / (cid:247)
Ł 3 3 3ł
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