Analysis II für Physiker

127 Pages·2.824 MB·German

by  Wulf-Dieter Geyer

Analysis II fu(cid:127)r Physiker
SS 2001, Prof. Geyer
Die Vorlesung behandelt die beiden folgenden Kapitel der Analysis
I. Di(cid:11)erentialrechnung reeller Funktionen in mehreren Ver(cid:127)anderlichen
II. Gew(cid:127)ohnliche Di(cid:11)erentialgleichungen
Das Skript soll etwa den Inhalt der Vorlesung wiedergeben ohne die Rand- und Nebenbemerkungen; die
Beweise sind nur als Skizzen aufgefu(cid:127)hrt; die Zahl der Beispiele ist etwas vergr(cid:127)o(cid:25)ert.
Teil I: Di(cid:11)erentialrechnung reeller Funktionen in mehreren Ver(cid:127)anderlichen
Inhalt:
Seite
n
1. Konvergenzim IR ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1
n
2. Stetige Funktionen auf dem IR :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 13
n
3. Kurven im IR :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 31
n
4. Di(cid:11)erenzierbare Funktionen auf dem IR ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 65
5. Taylor-Formel. Lokale Extrema ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
6. Implizite Funktionen ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
7. Integrale, die von einem Parameterabh(cid:127)angen:::::::::::::::::::::::::::::::::
Analysis II fu(cid:127)r Physiker
Seite
n
Teil I: Di(cid:11)erentialrechung auf dem R
n
1. Konvergenz im IR 1
n
1.1. Der euklidische Raum IR 1
1.2. Kugeln, Sph(cid:127)aren, Umgebungen 2
1.3. H(cid:127)aufungspunkte und Grenzwerte von Folgen 4
1.4. O(cid:11)ene und abgeschlosseneMengen 6
1.5. R(cid:127)ander von Mengen 9
1.6. Kompakte Mengen 10
n
2. Stetige Funktionen auf dem IR 13
2.1. De(cid:12)nition der Stetigkeit 13
2.2. Lipschitz-Stetigkeit 16
2.3. Normen linearer Abbildungen 17
2.4. Erg(cid:127)anzungen zum Begri(cid:11) der Stetigkeit 20
2.5. Konvergenz von Funktionen 22
2.6. Stetige Funktionen auf kompakten Mengen 25
n
3. Kurven im IR 31
3.1. Wege 31
3.2. Geschwindigkeit und Tangenten 44
3.3. Bogenl(cid:127)ange 47
3.4. Parametertransformation 52
3.5. Kru(cid:127)mmung 54
3.6. Kru(cid:127)mmungskreise 59
3.7. Evoluten 61
n
4. Di(cid:11)erenzierbare Funktionen auf dem IR 65
4.1. Funktionen von 2 Ver(cid:127)anderlichen 65
A. H(cid:127)ohenlinien 65
B. Projektion von Graphen 72
4.2. Partielle Ableitungen 74
4.3. (Totale) Ableitung von Funktionen mehrer Variabler 79
4.4. Ableitungskalku(cid:127)l 86
4.5. Mittelwertsatz und Schrankensatz 92
4.6. Vertauschbarkeit von Di(cid:11)erentiation mit Grenzu(cid:127)bergang 97
ii
n
1. Konvergenz im R
Konvergenz ist der Grundbegri(cid:11) der Analysis, er wurde bereits in der Vorlesung des 1. Semesters vor-
n
gestellt. Hier soll dieser Begri(cid:11) von der reellen Zahlengeraden IR auf den euklidischen Raum IR (oder
einen beliebigen metrischen Raum) ausgedehnt werden, zun(cid:127)achst fu(cid:127)r Folgen, in x2 fu(cid:127)r Funktionen. Aus
n
der Konvergenz leiten sich gewisse Eigenschaften von Teilmengen des IR her: O(cid:11)enheit, Abgeschlos-
senheit und Kompaktheit, von denen besonders der letzte Begri(cid:11) zentral an vielen Stellen der Analysis
ist.
n
1.1. Der euklidische Raum R
n
In der Analysis ist der IR nicht so sehr ein n-dimensionaler Vektorraum sondern zun(cid:127)achst ein Punkt-
raum, auf dem ein Abstandsbegri(cid:11) gegeben ist. Fu(cid:127)r die Physik besonders wichtig ist der euklidische
Abstand, der aus der euklidischen Norm
v
uuXn
x=(x1;:::;xn)2IRn =) kxk2 :=t x2(cid:23)
(cid:23)=1
durch (hier ist d = Distanz = Abstand)
n
d(x;y):=kx(cid:0)yk2 (x;y 2IR )
gewonnen wird. Die euklidische Norm wird im folgenden als Standard-Norm kurz mit kxk bezeichnet,
sie geh(cid:127)ort zu dem Skalarprodukt
1(cid:0) 2 2(cid:1) Xn n
hx;yi:= kx+yk (cid:0)kx(cid:0)yk = x(cid:23)y(cid:23) (x;y 2IR ) ;
4
(cid:23)=1
das wir bisweilen auch ben(cid:127)otigen.
Die Norm-Rechenregeln
kx+yk(cid:20)kxk+kyk ; k(cid:21)(cid:1)xk=j(cid:21)j(cid:1)kxk ; x6=0 =) kxk>0
n
fu(cid:127)r x;y 2IR ; (cid:21)2IR liefern fu(cid:127)r den Abstand die Regeln
d(x;x)=0
x6=y =) d(x;y)>0
dd((xx;;yz))=(cid:20)dd((yx;;xy))+d(y;z) x(cid:15)...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)..................................................................................................y...........................................................................................z......(cid:15).......................
n
fu(cid:127)r x;y;z;2 IR . Die letzte Ungleichung hei(cid:25)t Dreiecksungleichung, weil sie die formelm(cid:127)a(cid:25)ige Darstel-
lung des Satzes In einem Dreieck ist die Summe zweier Seitenl(cid:127)angen mindestens so gro(cid:25) wie die dritte
"
Seitenl(cid:127)ange\ ist.
n
Viele der in xx1-2 fu(cid:127)r den IR entwickelten Begri(cid:11)e lassen sich allgemeiner fu(cid:127)r einen metrischen Raum
(M;d) entwickeln, d.h. fu(cid:127)r eine Menge M mit einer Abstandsfunktion d : M (cid:2) M ! IR, die die
vorstehenden vier Regeln erfu(cid:127)llt.
InderGeometrieistdereuklidischeRaumzun(cid:127)achsteinPunktraummiteinemeuklidischenAbstand. Die
n
Isomorphiezum vorstehendgenannten IR geschiehtdurch Wahl eines Nullpunktes und einer Orthonor-
malbasis, also durch Wahl eines kartesischen Koordinatensystems. Bei konkreten Problemen wird das
1
Koordinatensystem dem Problem angepa(cid:25)t. Je zwei kartesische Koordinatensysteme unterscheiden sich
durch eine Transformation
n
x7!Ax+b (x2IR )
mit orthogonaler Matrix A2O(n), also
n n t
kAxk=kxk fu(cid:127)r x2IR oder hAx;Ayi=hx;yi fu(cid:127)r x;y 2IR oder A(cid:1) A=E ;
n
und Translationsvektor b2IR . Die Gruppe der Transformationen
n
x7!Ax+b ; A2O(n) ; b2IR
n n
ist die Isometriegruppe der euklidischen IR , also die Gruppe der abstandstreuen Bijektionen des IR .
Die Isometrien zerfallen in zwei Klassen, die orientierungserhaltenden Bewegungen (detA =1) und die
orientierungsumkehrenden Isometrien (detA = (cid:0)1). In der Ebene (n =2) hat man orientierungserhal-
tend die Drehungen und Translationen
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x1 cos(cid:11) (cid:0)sin(cid:11) x1 b1
7! +
x2 sin(cid:11) cos(cid:11) x2 b2
und orientierungsumkehrenddie Spiegelungen und Gleitspiegelungen
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x1 cos(cid:11) sin(cid:11) x1 b1
7! + ;
x2 sin(cid:11) (cid:0)cos(cid:11) x2 b2
3
imRaum IR hatmananalogeinerseits Drehungenund Schraubungen, andererseitsSpiegelungen, Gleit-
spiegelungen und Drehspiegelungen.
zDweirscAhbesntannicddh(tzAlwe;eiBsrce)hne:=nTePiinlumffnedkn(tgaeen;nb)inA;d;auBz2iedArets;aIbuRc2nhBdeiugnrecnh Abstand ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................A...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................B.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Es gilt
A\B 6=? =) d(A;B)=0 ;
aber nicht umgekehrt, wie die Halbr(cid:127)aume
n n
A=fx2IR ; x1 <0g ; B =fx2IR ; x1 >0g
dzeeingeBne,gdriie(cid:11)ddiessjuDnkutrdciahabmmereAsvs:eo=rmsseuAipnbfesdrt(anani1dc;ha0t2le)sei;nreadn1.;MaW2een2itgeeArgAin(cid:18)d:uIzRienr:t der Abstand ............................................................................................................................................................................................................................................................A..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
1.2. Kugeln, Sph(cid:127)aren, Umgebungen
n
Ist a2IR und r>0 eine positive reelle Zahl, so hei(cid:25)t
ddiiee oab(cid:11)geensechKlouKsgUseerrl(n(uaae))nKd::==ugffexxl,22IIRRnn;; kkxx(cid:0)(cid:0)aakk<(cid:20)rrgg==aa++UKrr((00)) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
2
n
Sr(a):=fx2IR ; kx(cid:0)ak=rg=a+Sr(0)
die Sph(cid:127)are vom Radius r um den Mittelpunkt a, so da(cid:25)
Kr(a)=Ur(a)]Sr(a)
gilt. Radius und Mittelpunkt sind durch jede der Mengen Kr(a);Ur(a);Sr(a) bestimmt. Man nennt
Ur(a) auch die r-Umgebung von a und verallgemeinert diesen Begri(cid:11) zur r-Umgebung einer beliebigen
n
Teilmenge A(cid:18)IR verm(cid:127)oge
S
n
Ur(A):=fx2IR ; d(x;A)<rg= Ur(a)
a2A
[0;1](cid:2)im[0;I1RU]2m[fgu(cid:127)Aferb(=ud(cid:0)nieg21eM;n21e)n;g(e32;21)g ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Je zwei Umgebungen des Punktes a oder der Menge A sind bezu(cid:127)glich der Inklusion vergleichbar. Das
n
gesamte System der Umgebungen Ur(a) fu(cid:127)r a2IR und r>0 hat die folgenden Eigenschaften:
a) Verschiedene Punkte haben disjunkte Umgebungen:
n
d(x;y)=2r >0 =) Ur(x)\Ur(y)=? (x;y 2IR ) :
b) Liegt in dem Durchschnitt zweier Umgebungen ein Punkt, so auch eine Umgebung des Punktes:
z 2Ur(x)\Us(y); t:=minfr(cid:0)d(x;z); s(cid:0)d(y;z)g =) Ut(z)(cid:18)Ur(x)\Us(y) :
c) Ist a=(a1;:::;an), so liegt die o(cid:11)ene Kugel Ur(a) in dem o(cid:11)enen Wu(cid:127)rfel
n
Ur(a1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)Ur(an)=fx2IR ; jx(cid:23) (cid:0)a(cid:23)j<r fu(cid:127)r (cid:23) =1;:::;ng
und enth(cid:127)alt den o(cid:11)enen Wu(cid:127)rfel
n
U(cid:26)(a1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)U(cid:26)(an)=fx2IR ; jx(cid:23) (cid:0)a(cid:23)j<(cid:26) fu(cid:127)r (cid:23) =1;:::;ng ;
p
wobei (cid:26)=r= n ist.
Beispiele:
(cid:0) (cid:1)
1. Fu(cid:127)r den Abstand zweier Kugeln gilt d Kr(a);Ks(b) =maxf0;ka(cid:0)bk(cid:0)r(cid:0)sg .
2. Fu(cid:127)r Durchmesser von Kugel und Wu(cid:127)rfel gilt
diamKr(a) =2r=diamSr(a)
p
W =Ur(a1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)Ur(an) =) diamW =2r(cid:1) n
3
1.3. H(cid:127)aufungspunkte und Grenzwerte von Folgen
n n
Definition 1: Sei (ai)i2IN eine Folge in IR und a2IR .
a) Der Punkt a hei(cid:25)t H(cid:127)aufungspunkt der Folge (ai), wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele
Folgenglieder liegen, d.h. wenn fu(cid:127)r alle r >0 die Menge
fi2IN; kai(cid:0)ak<rg
unendlich ist.
b) Der Punkt a hei(cid:25)t GrenzwertderFolge (ai), wenn in jeder Umgebungvon a fastalle(=allebis auf
endlich viele) Folgenglieder liegen, d.h. wenn es zu jedem r >0 ein i0 2IN gibt mit
IN 3 i>i0 =) kai(cid:0)ak<r :
c) Existiert ein Grenzwert a der Folge (ai), so ist er eindeutig bestimmt, wir schreiben
a= lim ai
i!1
und nennen die Folge (ai) konvergent(gegen a). O(cid:11)enbar ist
a= limai () lim d(ai;a)=0 :
i!1 i!1
n n
Satz 1: Sei (ai)i2IN eine Folge in IR und a2IR mit den Koordinaten
1 n 1 n
ai =(ai;:::;ai) ; a=(a ;:::;a )
Dann ist
n
a= limai (in IR )
i!1
gleichbedeutend mit
(cid:23) (cid:23)
a = limai (in IR) fu(cid:127)r (cid:23) =1;:::;n :
i!1
Beweis: Die Gleichung
Xn
2 (cid:23) (cid:23) 2
ka(cid:0)aik = (a (cid:0)ai)
(cid:23)=1
(cid:23) (cid:23)
zeigt, da(cid:25)dieFolge ka(cid:0)aik genaudanngegen 0 konvergiert,wennalleFolgen ja (cid:0)aij fu(cid:127)r (cid:23) =1;:::;n
gegen 0 konvergieren.
Satz 2: Genaudannist a H(cid:127)aufungspunkt derFolge (ai)i2IN, wenn a GrenzwerteinerTeilfolge (aij)j2IN
von (ai) ist.
Beweis: ZueinemH(cid:127)aufungspunkt a kann maneine aufsteigendeFolge i1 <i2 <i3 <::: vonIndizesmit
aij 2U1=j(a) w(cid:127)ahlen. Dann konvergiertdie Teilfolge (aij)j2IN gegen a. Die Umkehrung ist evident.
n
Definition 2: Eine Folge (ai)i2IN in IR hei(cid:25)t eine Cauchy-Folge, wenn es zu jedem r >0 ein i0 2IN
gibt mit
IN 3 i;j >i0 =) kai(cid:0)ajk<r ;
wenn also die Abst(cid:127)ande zwischen Folgengliedern fu(cid:127)r gro(cid:25)eIndizes beliebig klein werden.
n
Jede konvergente Folge ist o(cid:11)enbar eine Cauchy-Folge. Im IR gilt die Umkehrung:
4
n n
Satz 3: Jede Cauchy-Folge in IR konvergiert; man sagt, IR sei vollst(cid:127)andig.
n (cid:23)
Beweis: Ist (ai) eine Cauchy-Folge in IR , so sind auch alle Koordinatenfolgen (ai) fu(cid:127)r (cid:23) = 1;:::;n
Cauchy-Folgen in IR. Mit Satz 1 folgt die Behauptung aus dem entsprechenden Satz der Analysis I.
n
Bemerkung: DerRaum Q istnichtvollst(cid:127)andig. ObwohlPhysikerndierationalenZahlenalsMe(cid:25)werte
v(cid:127)ollig genu(cid:127)gen, w(cid:127)are eine Analysis bei Wegfall von Satz 3 mehr als schwerf(cid:127)allig. Deshalb sind die reellen
Zahlen eingefu(cid:127)hrt worden, um einen guten Kalku(cid:127)l zu erhalten.
Beispiele:
3. Ein konstante Folge ist konvergentgegen den Wert.
4. Enth(cid:127)alt eine Folge (ai) einen Wert unendlich oft, so ist dieser ein H(cid:127)aufungspunkt der Folge.
i' 2
5. Sei z =x+iy =re eine komplexe Zahl in C =IR . Wann konvergiert die Folge der Potenzen
j
(z )j2IN in C?
Fall 1: r =jzj<1:
j j j
Dann ist (r ) mit r =jz j eine monotone Nullfolge und daher gilt auch
j
lim z =0 :
j!1
(cid:25)i=16
Beispiel: Die Potenzen von z =0;9(cid:1)e :
. .
. .
.
.
.
. .z2
.
.
.z1
.
.
.
.................................................. .z0
Fall 2: r >1:
j j
Danngilt lim r =+1,unddaherdivergiertdieFolge(z )in C. Aberaufderkomplexen
j!1
Zahlenkugel C[f1g konvergiertdie Folge gegen 1.
Fall 3: r =1:
i'
Jetzt liegt z =e =cos'+isin' auf dem Einheitskreis, und die Potenzen
j ij'
z =e =cosj'+isinj'
laufen um den Einheitskreisherum. Ist z =1, so ist die Folge konstant, also konvergent.
m
Ist z eine von 1 verschiedene Einheitswurzel, d.h. z = 1 6= z fu(cid:127)r eine natu(cid:127)rliche Zahl
j
m > 1, die wir minimal gew(cid:127)ahlt denken, so ist die Folge (z ) periodisch, wiederholt sich
2 m
jeweilsnach m Schritten,unddiese m Glieder z, z ,:::, z =1 sinddieH(cid:127)aufungspunkte
der nichtkonvergentenFolge der Potenzen.
m
Ist schlie(cid:25)lich z 6=1 fu(cid:127)r alle natu(cid:127)rlichen Zahlen m, so hat die Potenzfolge alle Punkte a
des Einheitskreises, also mit jaj=1, als H(cid:127)aufungspunkte (Aufgabe zu Analysis I).
5
i
Beispiel: Die ersten 8bzw.16bzw.32 bzw.64 bzw.128Potenzenvon e =cos1+isin1
(die Striche rechts sind Haufen von Potenzen!):
. . . . . . . . ...... . .... . .... ................................ ................................................................ ................................................................................................................................
2n2
6. In Verallgemeinerung des vorigen Beispiels betrachten wir eine Matrix A 2 Mn(C) = IR und
j 1)
fragen, wann die Folge (A )j2IN der Potenzen der Matrix konvergiert.
Fall 1: A=diag((cid:21)1;:::;(cid:21)n) ist eine Diagonalmatrix:
j j j
Dann sind auch die Potenzen Diagonalmatrizen A =diag((cid:21)1;:::;(cid:21)n), die Folge konver-
j
giert genau dann, wenn die Folgen ((cid:21)(cid:23))j2IN konvergieren,d.h. wenn j(cid:21)(cid:23)j<1 oder (cid:21)j =1
ist. Der Grenzwert ist eine Projektionsmatrixvom Typ diag(1;:::;1;0;:::;0).
Fall 2: A ist diagonalisierbar(generischer Fall!).
(cid:0)1
Dann ist A = TDT mit einer Diagonalmatrix D und T 2 GLn(C), und es wird
j j (cid:0)1 j
A = TD T . Die Konvergenz von A ist damit auf den Fall 1 zuru(cid:127)ckgefu(cid:127)hrt: Genau
dann konvergiertdie Folge der Potenzenvon A, wenn die von 1verschiedenenEigenwerte
vom Betrag <1 sind.
Fall 3: A habe die Gestalt
0 1
1 1 0 0 0 ::: 0 0
B0 1 1 0 0 ::: 0 0C
B C
B0 0 1 1 0 ::: 0 0C
BBB... ... ... ... ...CCC
A=(cid:21)(cid:1)BB... ... ... ... ...CC =(cid:21)(E+N)
B C
BB0 0 0 0 0 ... 1 0CC
@ A
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 ::: 0 1
n
mit nilpotenter Matrix N (nur Einsen in der Nebendiagonale) mit N =O. Dann ist
0 (cid:0)j(cid:1) (cid:0)j(cid:1) 1
1 j ::: :::
2 (cid:0)3(cid:1)
j
B0 1 j ::: :::C
B 2 C
(cid:21)(cid:0)jAj =(E+N)j =E+n(cid:23)X=(cid:0)11(cid:18)(cid:23)j(cid:19)N(cid:23) =BBBBB0... 0... 10 1j :::::: ::::::CCCCC
B@... ... ... ... CA
0 0 ::: ::: 0 1
j
Fu(cid:127)r j(cid:21)j<1 ist dann (A ) eine Nullfolge wegen
(cid:18) (cid:19)
j j
lim (cid:21) =0 fu(cid:127)r j(cid:21)j<1;
j!1 (cid:23)
sonst immer divergent au(cid:25)er im Fall (cid:21)=n=1.
Fazit: Der Satz von der Jordanschen Normalform sagt, da(cid:25)die vorstehendenF(cid:127)alle alle Matrizen
j
erfassen. Die Antwort auf die Frage, wann die Matrixfolge (A )j2IN konvergiert, lautet:
Genau dann, wenn als Eigenwert vom Betrag (cid:21) 1 nur der Wert 1 auftritt, und fu(cid:127)r ihn
geometrische und algebraische Vielfachheit u(cid:127)bereinstimmen.
1) Ist A dieU(cid:127)bergangsmatrixeinesMarko(cid:11)-Prozesses, sobedeutetdieKonvergenzderFolge Aj dieKonvergenzdes
Prozesses in eine stabile Gleichgewichtslage.
6
1.4. O(cid:11)ene und abgeschlossene Mengen
n
Definition 3: Sei A eine Teilmenge des IR .
a) A hei(cid:25)t o(cid:11)en, wenn A mit jedem Punkt a2A auch eine Umgebung von a enth(cid:127)alt:
a2A =) 9r >0: Ur(a)(cid:18)A :
n
b) A hei(cid:25)t abgeschlossen, wenn das Komplement IR nA o(cid:11)en ist.
n
Satz 4: Wir betrachten Teilmengen des IR .
a) Jeder Durchschnitt zweier o(cid:11)ener Teilmengen ist o(cid:11)en.
a)' Jede Vereinigung zweier abgeschlossenerTeilmengen ist abgeschlossen.
b) Jede Vereinigung o(cid:11)ener Teilmengen ist o(cid:11)en.
b)' Jeder Durchschnitt abgeschlossenerTeilmengen ist abgeschlossen.
c) Die o(cid:11)enen Mengen sind genau die Vereinigungen von o(cid:11)enen Kugeln.
Beweis: Folgt direkt aus der De(cid:12)nition 3.
n
Folgerung: Zu jeder Teilmenge A(cid:26)IR gibt es eine kleinste A enthaltende abgeschlosseneTeilmenge
T
n
A:= fB (cid:18)IR ; A(cid:18)B; B abgeschlosseng
Man nennt A die abgeschlossene Hu(cid:127)lle von A.
Beispiele:
n
7. Die leere Menge ? und der ganze Raum IR sind o(cid:11)en und abgeschlossen.
8. Jede o(cid:11)ene Kugel Ur(a) ist o(cid:11)en.
1 n
9. Jeder o(cid:11)ene Wu(cid:127)rfel Ur(a )(cid:2):::(cid:2)Ur(a ) ist o(cid:11)en.
10. Jede abgeschlosseneKugel Kr(a) ist abgeschlossen.
11. Jede Sph(cid:127)are Sr(a) ist abgeschlossen.
12. Jede einpunktige Menge fag ist abgeschlossen, also auch jede endliche Menge.
13. Das Intervall [0;1[ =fx2IR; 0(cid:20)x<1g ist weder o(cid:11)en noch abgeschlossen, aber Durchschnitt
(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
1 1
der o(cid:11)enen Intervalle (cid:0) ;i und Vereinigung der abgeschlossenen Intervalle 0;1(cid:0) , jeweils
i i
fu(cid:127)r i2IN.
14. Die Menge aller Dezimalbru(cid:127)che im Intervall I = [0;1], die man mit den Zi(cid:11)ern 0, 1, 2, 3, 4, 5
bilden kann, ist abgeschlossen, ebenso die Cantorsche Staubmenge
nX1 o
(cid:0)n
C = in3 ; in 2f0;2g fu(cid:127)r alle n2IN :
n=1
1 2
Man erh(cid:127)alt sie, indem man aus I das o(cid:11)ene mittlere Drittel ] ; [, d.h. die 3-alen Zahlen mit
3 3
1
Zi(cid:11)er 1 an der ersten Nachkommastelle, entfernt, von den verbleibenden zwei Intervallen [0; ]
3
2
und [ ;1] wiederum das o(cid:11)ene mittlere Drittel (die 3-alen Zahlen mit Zi(cid:11)er 1 an der zweiten
3
1 2 1 2 7 8
Nachkommastelle) entfernt, von den verbleibenden vier Intervallen [0; ], [ ; ], [ ; ] und [ ;1]
9 9 3 3 9 9
7
wiederumdasmittlereDrittel entfernt(3-aleZahlenmit 1anderdrittenNachkommastelle),usw.
Die ersten fu(cid:127)nf Iterationen dieses Prozesseshaben die folgende Gestalt:
0 1
Die Menge C kann man also als Wegnahme der abz(cid:127)ahlbar vielen o(cid:11)enen disjunkten Intervalle
(cid:21)Xn Xn (cid:20)
(cid:0)(cid:23) (cid:0)n(cid:0)1 (cid:0)(cid:23) (cid:0)n(cid:0)1
Ii1:::in = i(cid:23)3 +3 ; i(cid:23)3 +2(cid:1)3 mit i(cid:23) 2f0;2g; n2IN
(cid:23)=1 (cid:23)=1
aus I ansehen, deren Gesamtl(cid:127)ange
1
1 1 2 1 3
+2(cid:1) +2 (cid:1) +:::= =1
3 32 33 1(cid:0) 2
3
betr(cid:127)agt. DieMengeC hat,wiemanausihrerDe(cid:12)nitionabliest,gleichvielPunktewieIR (M(cid:127)achtig-
keit des Kontinuums), enth(cid:127)alt aber kein Intervall. Sie besteht sozusagen nur aus Staub. Dabei
liegen in jeder Umgebung jedes x2C kontinuierlich viele Punkte aus C. Schlie(cid:25)lich hat C eine
2)
fraktale Struktur: Die a(cid:14)nen Abbildungen ( Selbst(cid:127)ahnlichkeiten\)
"
x x+2
x7! und x7!
3 3
n X o
(cid:0)n
bilden C = 2 3 ; M (cid:18)IN in sich ab.
n2M
15. EinzweidimensionalesAnalogonzuCantorsStaubmengeist Sierpin(cid:19)skisTeppichT: Manverbanne
aus dem Einheitsquadrat alle Punkte (x;y), deren Koordinaten an einer 3-adischen Stelle beide
die Zi(cid:11)er 1 haben.
GeometrischteiltmandazudasEinheitsqua-
drat in neun kongruente kleinere Quadrate
und entfernt das (o(cid:11)ene) mittlere Quadrat.
Mit den verbleibenden acht Quadraten f(cid:127)ahrt
man so fort. Man erh(cid:127)alt eine nirgends dich-
te abgeschlossene Menge, die eigentlich nur
aus L(cid:127)ochern besteht (die Gesamt(cid:13)(cid:127)ache der
herausgenommenen Quadrate ist wieder 1,
die Fl(cid:127)ache des ganzen Quadrates.). Im Ge-
gensatz zu CantorsStaubmenge h(cid:127)angt dieser
Teppich aber noch an F(cid:127)aden zusammen.
n
Satz 5: Eine Teilmenge A(cid:18)IR ist genau dann abgeschlossen, wenn gilt:
n
Konvergierteine in A liegende Folge (ai) gegen a2IR , so ist a2A.
n
Beweis: Sei A abgeschlossen, sei (ai) eine Folge in A mit limai = a, und sei a 2= A. Da IR nA o(cid:11)en
i!1
ist, gibt es eine Umgebung Ur(a) mit A\Ur(a)=?. Dann liegt kein ai in Ur(a), die Folge kann nicht
gegen a konvergieren!
n n
Ist A nicht abgeschlossen, so gibt es a 2 IR nA mit U1=i(a) 6(cid:18) IR nA fu(cid:127)r alle i 2 IN. W(cid:127)ahle ai 2
A\U1=i(a). Dann ist (ai) eine Folge in A, die gegen a konvergierttrotz a2= A.
2) n n
sowie ihre Produkte x7!(x+2a)=3 , wobei a eine Summeverschiedener 3-Potenzen <3 ist.
8