Analysis I - IV

538 Pages·2005·3.061 MB·German

by  Hilgert J.

Analysis I-IV
Joachim Hilgert
DervorliegendeTextisteinevorl¨aufigeAusarbeitungmeinerVorlesungenAnalysis I-IV(Wintersemester
2004/2005 – Sommersemester 2006) an der Universit¨at Paderborn.
Diese Ausarbeitung ist nicht korrekturgelesen und nur zum internen Gebrauch gedacht!
Fu¨r Kommentare und Korrekturen bin ich dankbar. Vorschl¨age fu¨r Erg¨anzungen im Index werden jeder-
zeit eingearbeitet.
Paderborn, den 18.7.2005 J. Hilgert
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkung 1
0 Vorbemerkung 1
0.1 Vom Wesen der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 U¨ber die Abstraktion in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Analysis I 17
1 Axiomatik der reellen Zahlen 17
1.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Positivit¨at und Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Stetige Funktionen 31
2.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Stetige Funktionen auf Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Differenzierbare Funktionen 57
3.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Rechenregeln fu¨r Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Der Mittelwertsatz und seine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Konvergenz von Folgen und Reihen 71
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Folgen von Funktionen 93
5.1 Konvergenz von Funktionenfolgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Beispiele von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Analysis II 131
6 Stammfunktionen 131
6.1 Integrationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Spezielle Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Integrierbare Funktionen 137
7.1 Das Integral einer Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Folgen von Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
i
ii INHALTSVERZEICHNIS
8 Konvergenzs¨atze 153
8.1 Folgen und Reihen integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2 Nullmengen und fast u¨berall“ Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
”
8.3 Norm-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4 Die fundamentalen Konvergenzs¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9 Verbindung zwischen Integral- und Differentialrechnung 175
9.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 Die Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.4 Einige spezielle Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10 Topologische R¨aume 193
10.1 Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2 Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.3 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11 Differenzierbarkeit 213
11.1 Differenzierbarkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.2 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12 Implizite Funktionen 239
12.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2 Der Satz u¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Analysis III 253
13 Elementare L¨osungsmethoden fu¨r Differentialgleichungen 257
13.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
13.2 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.3 Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.4 Gleichungen vom Typ y(cid:48)(cid:48) =f(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14 Lokale Theorie gew¨ohnlicher Differentialgleichungen 269
14.1 Der Satz von Picard–Lindel¨of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2 Differentialgleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
14.3 Differenzierbare Abh¨angigkeit von den Anfangswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
15 Lineare gew¨ohnliche Differentialgleichungen 285
15.1 Homogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
15.2 Inhomogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
16 Konstante Koeffizienten 297
16.1 Die Exponentialfunktion fu¨r Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
16.2 Differentialgleichungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
16.3 Anwendungen auf nichtkonstante Inhomogenit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17 Meßbare Mengen und Funktionen 319
17.1 Meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
17.2 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
INHALTSVERZEICHNIS iii
18 Maß und Integral 329
18.1 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
18.2 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
18.3 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
18.4 Nullmengen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Analysis IV 355
19 Spezielle Eigenschaften des Lebesgue-Maßes 355
19.1 Regularit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
19.2 Charakterisierung des Lebesgue-Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
19.3 Affine Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
19.4 Die Transformationsformel fu¨r Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
20 Immersionen und Untermannigfaltigkeiten 373
20.1 Immersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
20.2 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
20.3 Nullstellenmengen differenzierbarer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
20.4 Tangential- und Normalenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
21 Oberfl¨achenmaße von Untermannigfaltigkeiten 387
21.1 Kurvenintegrale in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
21.2 Der Maßtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
21.3 Das Oberfl¨achenmaß einer Untermannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
22 Der Gaußsche Integralsatz 401
22.1 Ein Spezialfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
22.2 Kompakta mit glattem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
22.3 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
22.4 Die Greensche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
23 Pfaffsche Formen 419
23.1 Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
23.2 Stammfunktionen von Pfaffschen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
23.3 Geschlossene Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
24 Die Integrals¨atze von Green und Stokes 431
24.1 Der Greensche Integralsatz in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
24.2 Der Satz von Stokes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
25 Kru¨mmung von Untermannigfaltigkeiten des Euklidischen Raumes 437
25.1 Kru¨mmung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
25.2 Kru¨mmung von Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Anhang 449
A Die natu¨rlichen Zahlen 449
A.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
A.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
B Konstruktion der reellen und komplexen Zahlen 459
B.1 Von den natu¨rlichen zu den ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
B.2 Von den ganzen zu den rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
B.3 Von den rationalen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
B.4 Von den reellen zu den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
iv INHALTSVERZEICHNIS
C Naive Mengenlehre 477
C.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
D Hintergrundmaterial zur Linearen Algebra 487
D.1 Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
D.2 Vektorr¨aume von Zahlentupeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
D.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
D.4 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
D.5 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
Index 522
Literaturverzeichnis 533
Kapitel 0
Vorbemerkung
0.1 Vom Wesen der Mathematik
Man kann Mathematik als eine Verfeinerung der Alltagssprache auffassen. Sie dient dazu, beobacht-
bare Vorg¨ange so pr¨azise zu beschreiben, daß es m¨oglich wird, Gesetzm¨aßigkeiten zu erkennen. Die Ent-
deckung der Newtonschen Gesetze der Mechanik, die die Planetenbewegungen ebenso bestimmen wie
die Flugbahn eines Satelliten, ist ohne eine mathematische Formulierung kaum denkbar. Mathematische
Beschreibungen sollten nicht als Abbilder, sondern als Modelle betrachtet werden und sind daher nicht
durchdieSituationfestgelegt.ManbrauchtetwasMathematik,umeinWahlergebnisstatistischsoaufzu-
bereiten, daß man es auf einer Zeitungsseite wiedergeben kann; die pr¨azisen Hochrechnungen aus relativ
wenigenausgez¨ahltenWahlkreisenzuerhalten,erfordertjedochsehrvielmehrmathematischenAufwand.
AndenobigenBeispielenkannmanzweiFunktionenderMathematikablesen:ModellierungundProg-
nose. Die Newtonsche Mechanik ist das mathematische Modell fu¨r die Bewegung massiver Gegenst¨ande
und es ist Aufgabe der Mathematik, Flugbahnen vorherzuberechnen.
Die Modellierung ist eine Aufgabe, die nicht von der Mathematik oder dem Mathematiker allein
geleistetwerdenkann.EsistFachwissenindenDisziplinenn¨otig,inderenZust¨andigkeitdaszubeschrei-
bende System f¨allt. Daher kommen Modellierungsprobleme in Mathematikbu¨chern meist nur am Rande
vor.
In der Regel beinhaltet ein mathematisches Modell gesetzm¨aßige Zusammenh¨ange zwischen verschie-
denen Eigenschaften des Systems. So sind zum Beispiel Spannung und Stromst¨arke in einem Stromkreis
u¨ber eine Materialeigenschaft, den Widerstand, gekoppelt. Kennt man zwei dieser Gr¨oßen, kann man
die dritte berechnen. Fu¨r den Mathematiker bedeutet Prognose“ sehr oft das Herausrechnen einer un-
”
bekannten Gr¨oße aus einer Reihe von bekannten Gr¨oßen. Die zentrale Problemstellung der Mathematik
wird daher gern als das L¨osen von Gleichungen“ beschrieben.
”
Das L¨osen von Gleichungen ist keineswegs ein Automatismus. Die meisten Gleichungen lassen sich
nichtexplizitl¨osen,undaucheinfachenGleichungenistnormalerweisenichtanzusehen,obsieu¨berhaupt
eine L¨osung haben. Man pru¨ft z.B. leicht nach, daß die Gleichung
x2+y2 =z2
in den Unbekannten x,y,z von x = 3, y = 4, z = 5 gel¨ost wird. Eine solche ganzzahlige L¨osung die-
ser Gleichung heißt ein pythagor¨aisches Zahlentripel. Mit etwas elementarer Geometrie kann man ein
Konstruktionsverfahren angeben, wie man alle pythagor¨aischen Zahlentripel findet. Fu¨r die Fermatsche
Gleichung
xn+yn =zn
in den Unbekannten x,y,z mit einer vorgegebenen natu¨rlichen Zahl n > 2 dagegen gibt es keine posi-
tiven ganzzahligen L¨osungen. Das war von P. Fermat (1601–1665) behauptet worden, aber es bedurfte
dreihundert Jahre intensiver mathematischer Forschung, dies 1996 zu beweisen.
MathematikistalsomehralsnureinesprachlicheLupe.Losgel¨ostvonderModellierungbeobachteter
Ph¨anomene schafft sie sich eine eigene Begriffswelt und Werkzeuge, mit denen man diese Begriffswelt
1
2 KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
untersuchen kann. Der Versuch Gleichungen zu l¨osen hat viele neue mathematische Entwicklungen in
Gang gesetzt, aber den Begriffen und Techniken, die heute zum Repertoir des Mathematikers geh¨oren,
ist diese Abstammung oft nicht mehr anzusehen.
Beispiel 0.1.1 (Die Entwicklung des Zahlbegriffs):
In den natu¨rlichen Zahlen N: 1,2,3,... findet man keine L¨osung der Gleichung
x+1=1.
Nimmt man die Null hinzu, so findet man zwar hierfu¨r eine L¨osung, nicht aber fu¨r die Gleichung
x+1=0.
Dafu¨r braucht man die ganzen Zahlen Z: ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,..., die wiederum nicht ausreichen,
um die Gleichung
2x+1=0
zu l¨osen. Zu desem Zweck fu¨hrt man die rationalen Zahlen Q: m mit m∈Z und 0(cid:54)=n∈Z ein. Schon
n
die alten Griechen wußten, in den rationalen Zahlen die Gleichung
x2 =2
nichtl¨osbarist.Manfu¨hrtdiereellenZahlenRals Grenzwerte“ vonrationalenZahlen(z.B.unendliche
”
Dezimalbru¨che) ein und st¨oßt wieder an eine Grenze: Die Gleichung
x2 =−1
istnichtl¨osbarinR.Wennmanschließlichdiekomplexen Zahlen CalsPaare(a,b)reellerZahlenmit
(a,b)+(a(cid:48),b(cid:48))=(a+a(cid:48),b+b(cid:48)) und (a,b)(a(cid:48),b(cid:48))=(aa(cid:48)−bb(cid:48),ab(cid:48)+ba(cid:48))
als Addition und Multiplikation einfu¨hrt, so l¨aßt sich der Fundamentalsatz der Algebra beweisen:
Satz: U¨ber C sind alle Polynomgleichungen, d.h. Gleichungen der Form
a xk+a xk−1+...+a x+a =0,
k k−1 1 0
l¨osbar.
Analysiert man die Vorgehensweise, so findet man folgende Prinzipien, die auch in anderen Situationen
zum Einsatz kommen:
• Man schafft den richtigen Rahmen fu¨r ein Problem (hier das L¨osen von Polynomgleichungen).
• Der L¨osungsbegriff wird verallgemeinert (L¨osung in welchem Zahlbereich?).
• Sp¨ater kann man dann immer noch die Frage stellen, ob es eine L¨osung in einem kleineren Zahlbe-
reich gegeben hat, wie z.B: im Fermatschen Problem:
xn+yn =zn fu¨r ganzzahlige x,y,z.
0.2. U¨BER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK 3
0.2 U¨ber die Abstraktion in der Mathematik
DergrundlegendeAnsatzdermodernenMathematikistes,Dingeu¨berihreEigenschaftenzubeschrei-
ben und sich dabei m¨oglichst auf diejenigen Eigenschaften zu beschr¨anken, die fu¨r die zu behandelnde
Frage wirklich relevant sind. Wenn man die Umlaufbahn eines Raumgleiters beschreiben will, dann be-
trachtet man ihn als einen bewegten Punkt (den Schwerpunkt). Will man ihn von einer Umlaufbahn ihn
eine andere steuern, muß man ihn als dreidimensionales Objekt auffassen mit ausgezeichneten Richtun-
gen,indiedieSteuerraketenSchubausu¨ben.BeimAndockenaneineRaumstationspieltdiegenaueForm
des Gleiters eine Rolle, und beim Eintauchen in die Atmosph¨are auch noch die Hitzebest¨andigkeit des
Materials.DieseAbstraktionvomRaumgleiteraufeinObjektmiteinigenklarfestgelegtenEigenschaften
erleichtertes,A¨hnlichkeitenmitinanderenZusammenh¨angengefundenenBeschreibungenundL¨osungen
zu erkennen und zu benu¨tzen. Bewegte Massepunkte modellieren auch Wurfgeschosse oder Planeten, in
der Aerodynamik von Tragfl¨achen verfu¨gt man u¨ber eine lange Erfahrung, und die Hitzebest¨andigkeit
von Kacheln betrachtet man auch nicht erst seit dem Eintritt ins Raumfahrtzeitalter.
Da der hohe Abstraktionsgrad fu¨r viele die h¨ochste Hu¨rde im Studium der Mathematik ist, soll die
Bedeutung der Abstraktion fu¨r die Mathematik hier an einer Reihe von Beispielen noch n¨aher erl¨autert
werden. Zuerst geht es um den U¨bergang von konkreten Modellen zu abstrakten Methoden:
Beispiel 0.2.1 (Stromkreise): Betrachte einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle U und drei
Widerst¨anden R ,R ,R :
1 2 3
I
3
(cid:63)
R
3
I
2
(cid:63)
R
2
U
I
1
(cid:63)
R
1
Der Zusammenhang zwischen der Spannung U, den Widerst¨anden R ,R ,R und den resultierenden
1 2 3
Stromst¨arken I ,I ,I ist durch die Kirchhoffschen Gesetze gegeben, die hier folgende Gleichungen
1 2 3
erzwingen:
I = I +I
1 2 3
U = R I +R I
1 1 2 2
R I = R I
2 2 3 3
Dabei sind Spannung und Widerst¨ande bekannt und die Stromst¨arken zu berechnen.
Man kann das machen, indem man eine Gleichung nach einer der gesuchten Gr¨oßen aufl¨ost, das
Ergebnis in die anderen Gleichungen einsetzt und so die Zahl der Gleichungen und der Unbekannten
um Eins reduziert hat. Dieses Verfahren wiederholt man und l¨ost die letzte Gleichung nach der einzig
verbliebenen Unbekannten auf. Dann setzt man das Ergebnis wieder in die anderen Gleichungen ein und
findet so sukzessive auch die anderen Unbekannten.
4 KAPITEL 0. VORBEMERKUNG
Im physikalisch gesehen realistischen Fall R ,R ,R >0 findet man so
1 2 3
R
I = 3I
2 R 3
2
R R
I = I +I =( 3 +1)I =(1+ 2)I
1 2 3 R 3 R 2
2 3
R R +R R +R R
U = 1 2 1 3 3 2I
R 3
2
R U
I = 2
3 R R +R R +R R
1 2 2 3 1 3
R U
I = 3
2 R R +R R +R R
1 2 2 3 1 3
(R +R )U
I = 2 3
1 R R +R R +R R
1 2 2 3 1 3
Wir k¨onnen also feststellen:
• Wir haben die Gleichung gel¨ost.
• Die L¨osung war nicht wirklich algorithmisch, d.h. automatisierbar, weil wir nicht vorgeschrieben
haben, welche Gleichung nach welcher Unbekannten aufgel¨ost werden soll.
• Fu¨r jeden Schaltkreis mu¨ßten wir uns neu entscheiden, wie wir die Gleichungen l¨osen wollen.
Beispiel 0.2.2 (Produktionsmodell): Betrachten wir ein Produktionssystem bestehend aus drei
ProduzentenmitjeeinemProdukt,dasnachaußen(andenMarkt)unduntereinander(zurErm¨oglichung
der Produktion) geliefert wird. Mit x ,x ,x werden die produzierten Mengen (einheitlich gemessen z.B.
1 2 3
in Geldwert) bezeichnet. Annahme: Die von i an j gelieferte Menge ist proportional zu der von j
produziertenMenge:a x .Seiy dieNachfragedesMarktesnachdemProduktvoni.Zielistdann(nach
ij j i
Leontief) die Herstellung des folgenden Gleichgewichts von Produktion und Nachfrage.
y
1
x
(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) 1 (cid:2)(cid:3)
(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3)
a x(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) a x
13(cid:0)(cid:1)3 (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) 12 2
(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3)
(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:5) (cid:8)(cid:9) (cid:8)(cid:9) (cid:6) (cid:6)
(cid:10)(cid:11) (cid:10)(cid:11) (cid:4) (cid:4)x x (cid:7) (cid:7)
3 2
(cid:10) (cid:10)
y
y 2
3
Es ergeben sich folgende Gleichungen
y = x −a x −a x
1 1 12 2 13 3
y = x −a x −a x
2 2 21 1 23 3
y = x −a x −a x
3 3 31 1 32 2
0.2. U¨BER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK 5
Wir vergleichen die Gleichungen der beiden Beispiele und formen sie etwas um, damit die Analogien
deutlicher werden:
I = I +I y = x −a x −a x
1 2 3 1 1 12 2 13 3
U = R I +R I y = x −a x −a x
1 1 2 2 2 2 21 1 23 3
R I = R I y = x −a x −a x
2 2 3 3 3 3 31 1 32 2
↓ ↓
I +(−1)I +(−1)I = 0 x +(−a )x +(−a )x = y
1 2 3 1 12 2 13 3 1
R I +R I +0I = U (−a )x +x +(−a )x = y
1 1 2 2 3 21 1 2 23 3 2
0+R I +(−1)R I = 0 (−a )x +(−a )x +x = y
2 2 3 3 31 1 32 2 3 3
↓ ↓
1 −1 −1 0 1 −a −a y
12 13 1
R R 0 U −a 1 −a y
1 2 21 23 2
0 R −R 0 −a −a 1 y
2 3 31 32 3
Die resultierenden Zahlenschemata nennt man Matrizen und durch eine systematisierte Variante
des sukzessiven Variableneliminierens von oben (dem Gauß-Algorithmus) kann man daraus die Un-
bekannten bestimmen. Wir stellen fest:
• MitdemU¨bergangvondenGleichungenzudenMatrizenhatmannurredundanteInformationaus
den Gleichungen entfernt und gleichzeitig die U¨bersichtlichkeit erh¨oht.
• Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten ist fu¨r das Vorgehen hier v¨ollig unerheblich und
in den Anwendungen kommen durchaus Gleichungssysteme mit mehr als 10000 Variablen vor.
• An dieser Stelle ist nichts daru¨ber gesagt worden, welche Rolle die resultierende mathematische
Struktur bei der Auswahl der mathematischen Modelle gespielt hat (in der Physik gibt es da
natu¨rlich weniger Optionen als in der O¨konomie).
Als n¨achstes betrachten wir einige Beispiel dafu¨r, wie man aus konkreten Problemen in natu¨rlicher
Weise auf abstrakte (algebraische) Strukturen gefu¨hrt wird:
Beispiel 0.2.3 (Teilbarkeitsregeln): WirbeginnenmitderFrage:GibteseineTeilbarkeitsregelfu¨r
7?
EineZahlistdurch7teilbar,wennsiebeiTeilungdurch7denRest0liefert.Esliegtalsonahe,vonjeder
Zahl z den Rest r zu betrachten, der sich ergibt, wenn man durch 7 teilt. Man schreibt dann
z ≡r mod 7
undsprichtvomTeilenmitRestmodulo7.WirschreibenunsereZahlenimZehnersystemundandieser
Darstellung wollen wir die Teilbarkeit durch 7 ablesen. Es ist also nicht abwegig, zun¨achst die Reste
modulo 7 der Zehnerpotenzen zu berechnen:
1 = 1≡1 mod 7 1 = 0+1
10 = 10×1≡3×1 mod 7≡3 mod 7 10 = 7+3
100 = 10×10≡3×3 mod 7≡2 mod 7 100 = 98+2
1000 = 10×100≡3×2 mod 7≡6 mod 7 1000 = 994+6
10000 = 10×1000=3×6 mod 7≡4 mod 7 10000 = 9996+4
100000 = 10×10000≡3×4 mod 7≡5 mod 7 100000 = 99995+5
1000000 = 10×100000≡3×5 mod 7≡1 mod 7 1000000 = 999999+1