Table Of ContentAnalysis I
Eine praxisorientierte Einführung für
Mathernatiker und Physiker mit
über 900 gerechneten Beispielen
Thomas C. T. Michaels
Korrekturen
Beatrix Mühlmann
© 2015 - Alle Rechte vorbehalten
Herausgeber: Editres S.a.g.L Lugano
Umschlaggestaltung: Photoshop-\Vidmung@ von Giuseppe Petroncini
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt . .Jede Verwertung in anderen als
den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung
des Verlages.
ISBN 978-88-909039-0-8
Vorwort zur zweiten Auflage
Es ist eine Freude für mich, die neue Auflage des Buches nach knapp einem Jahr nach der
ersten Auflage vorzustellen. Dank freundlichen Hinweisen meiner Leser konnte ich einige
Verbesserungen machen und einige Druckfehler korrigieren. Die Übungsaufgaben habe ich
revidiert und vermehrt und jetzt befinden sich im Buch mehr als 900 gerechnete Beispiele.
Insbesondere habe ich eine neue Aufgabenliste (mit Lösungen) zum Thema Integralrech-
nung hinzugefügt. Ich habe auch den Rat einiger Studenten des ersten Jahres befolgt und
in dieser Auflage ein ganzes Kapitel den Fourierreihen gewidmet. Ich hoffe, dass die Leser
diese Veränderungen und Ergänzungen nützlich finden werden.
Ich möchte mich besonders bei Nicole Keller bedanken für ihre Hilfe mit der Druck-
fehlersuche und für viele Hinweise. Herzlichen Dank auch Herrn Giuseppe Petroncini und
Elsa Cesana für den Umschlagentwurf.
Allen Lesern einen freundlichen Gruss!
Cambridge, im März 2015 Thomas Michaels
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Vorwort zur ersten Auflage
Jedes Buch muss einen Beginn haben und dieses Buch will ich mit einigen einführenden
Worten beginnen.
Wie viele andere Studenten der Mathematik und Physik, die sich im ersten Jahr zum
ersten Mal mit der Analysis-Vorlesung konfrontiert sehen, hatte ich immer nach einem
Buch gesucht, das den Mathematik-Stoff einfach und mit vielen Beispielen erklärt. Das ist
natürlich leichter gesagt als getan. Auf der einen Seite findet man sogenannte Ingenieur-
bücher, welche praktisch sind, viele Beispiele enthalten, aber der Inhalt ist oft zu einfach
im Vergleich zum Stoff, der in einer typischen Analysis-Vorlesung für Mathematiker und
Physiker vorkommt. In diesen Ingenieurbüchern findet man also viele Beispiele zur Inte-
gralrechnung, aber keine Beispiele über Untermannigfaltigkeiten oder Topologie. Auf der
anderen Seite behandeln die typischen Lehrbücher für Mathematiker den Stoff auf dem
richtigen Niveau, aber diese sind für einen Studenten im ersten Jahr oft zu abstrakt. Also
Satz, Beweis, Lemma, Beweis, Satz, Beweis etc. und die (wenigen) Beispiele sind oft neue
Theoreme mit Beweisen, die den Studenten nicht helfen, die Konzepte zu verstehen. Aber
wo ist der Mittelweg? Betrübt kein geeignetes Buch gefunden zu haben, entschloss ich mich
dazu, mir selbst Aufgaben zu stellen. Hier und dort habe ich Aufgaben gesucht und gesam-
melt und ausführliche Lösungswege für mich geschrieben. So hatte ich schlussendlich auf
ein Blatt 60 Beispiele zu Reihen geschrieben, von denen man die Konvergenz bestimmen
sollte. Ich habe auch eine Liste von 30 Mengen erstellt, bei denen ich entscheiden sollte,
ob sie offen, abgeschlossen, kompakt oder zusammenhängend waren. Dieses Material habe
ich dann in den späteren Jahren wieder gebraucht, als ich Hilfsassistent in Analysis im
Mathematik-Departement der ETH Zürich war. In meinen Übungsstunden habe ich immer
eine Zusammenfassung der Vorlesung gegeben und die wichtigsten Punkte anhan<l von vie-
len Beispielen erklärt. Anstatt Tipps zu den einzelnen Aufgaben der Serie zu geben, habe
ich mir immer neue, älmliche Beispiele ausgedacht, wie die in der Serie vorkommenden,
und diese vor den Studenten gelöst. So konnte ich Schritt für Schritt alles erklären, was
die Studierenden wissen sollten, um die Aufgaben zu lösen: Wie wendet man dieses Theo-
rem in konkreten Situationen an? Wozu dient dieser Satz? usw. Oft ist es genau das, was
die Studenten wissen wollen. Dieses Prinzip hat sich bewährt. Am Anfang waren nur 13
Studierende in meiner Übungsstunde da, und ich hatte Grenzwerte wiederholt. Die Übung
dauerte nur eine Stunde, aber die Leute fanden es so gut, dass ich am Ende der Stunde
einen Applaus bekommen habe. In der nächsten Übungsstunde waren dann 20 Leute in der
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Übungsgruppe, dann 40, dann 50 usw. Später sind noch rnehr Leute gekommen ... am Ende
des Semesters waren es 150. Das war ein riesiger Erfolg für mich, den ich mir nie erwartet
hätte. In meinem letzten Jahr an der ETH bin ich, zusammen mit Beatrix Mühlmann,
auf die Idee gekommen, das ganze Material allen zukünftigen Studenten in der Form eines
Buches zur Verfügung zu stellen. Am Ende sind, mit der Hilfe von Beatrix, zwei Bücher
entstanden: Analysis I und Analysis II.
Was kann man sich also von den Büchernerwarten? In dieser Reihe von zwei Büchern
befinden sich insgesamt mehr als 1200 Beispiele, alle ausführlich gelöst. Alle Schritte wer-
den durchgerechnet und es gibt kein "trivial" oder "man sieht leicht". Dieses Buch eignet
sich perfekt, um zu verstehen, was konkret hinter den abstrakten Definitionen und Sätzen
der Analysis steckt und ist damit das ideale Begleitbuch für jeden Studenten. Ich denke,
dass ein formal orientierter Schreibstil häufig die Studenten abschreckt. Im Buch habe ich
also die klassische Struktur von Definition, Satz und Beweis aufgegeben und diese mit einer
neuen Struktur ersetzt: Die fundamentale Theorie, also wichtige Definitionen und Sätze,
werden kurz und einfach zusammengefasst und diese Theorie ist anhand von ausführlich
gerechneten :tvlusterbeispielen erklärt. Ich denke, dass Analysis so viele Anwendungen hat
und so viele Tricks kennt, dass der einzige Weg, den Stoff effektiv zu lernen, viele Bei-
spiele sind. Das Buch kommt dieser Aufgabe bestens nach. Ein Buch kann aber nicht alle
Bedürfnisse gleichzeitig erfüllen: Es wird somit nicht auf Exaktheit und Beweisvollstän-
digkeit verzichtet. Ich habe überall dort, wo es mir inhaltlich richtig erschien, Beweise in
Form von Beispielen vollständig präsentiert, aber für technische Beweise, ·welche nur lange
Schreibarbeit erfordern, aber keinen grossen Beitrag zum Verständnis beitragen, verweise
ich auf die entsprechende Literatur. Die Bücher behandeln ungefähr den Teil der Analysis,
den ein Student in der Mathematik und Physik im ersten .Jahr beherrschen sollte. Mit
diesen Büchern wird der Student langsam (Beispiel nach Beispiel) von den ganz elemen-
taren Konzepten bis zu einer Stufe gebracht, wo er auch mit komplizierten Aufgaben der
mehrdimensionalen Differenzial- und Integralrechnung zurechtkommt.
Ich will das Buch jetzt nicht weiter beschreiben: Sie haben es ja vor sich. Also viel
Vergnügen beim Lesen und hoffentlich nehmen diese Bücher allen Lesern den Schrecken,
den sie vor Analysis haben.
Cambridge und Zürich, im Jahr 2013 Thomas lVlichaels
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Inhaltsverzeichnis
I Grundlagen 15
1 Relationen 17
1.1 Äquivalenzrelationen 17
1.1.1 Definition .. 17
1.1. 2 Äquivalenzklassen 19
1.2 Ordnungsrelationen . . . . 24
1.2.1 Partielle Ordnung 24
1.2.2 Totale Ordnung .. 26
2 Beweis durch vollständige Induktion 29
2.1 Prinzip der vollständigen Induktion . 29
2.2 Beispiele ........ . 30
3 Supremum und Infimum 37
3.1 Definition und erste Beispiele 37
3.2 Rechnen mit sup und inf . 41
3.3 Aufgaben . . . . . . . . . 44
4 Metrische und normierte Räume 45
4.1 Metrische Räume . 45
4.2 Normierte Räume . 50
4.3 Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung 55
II Folgen und Reihen 59
5 Folgen 61
5.1 :Folgen 61
5.2 Konvergenz und Divergenz einer Folge 62
5.2.1 Konvergenz .... 62
5.2.2 Divergenz . . . . . 67
5.3 Rechnen mit Grenzwerten 69
5.3.1 Rechenregeln ... 69
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INHALTSVERZEICHNIS
5.3.2 Das Sandwich-Theorem 71
5.4 Monotonie und Konvergenz .. 74
5.4.1 Monotonie und Beschränktheit 74
5.4.2 Monotone Konvergenz . . . . . 75
5.5 Teilfolgen ............... . 81
5.5.1 Der Satz von Bolzano-Weierstrass . 82
5.6 Limes snperior und Limes inferior . 82
5.7 Cauchy-Folgen ...... . 87
6 Grenzwerte von Funktionen 93
6.1 Der Grenzwert einer F\mktion 93
7 Rechnen mit Grenzwerten 99
7.1 Prinzip .......... . 99
7.2 (Un)-entscheiclbare Situationen 100
7.3 Das Sandwich-Theorem 103
7.4 Die Dominanz ..... . 104
7.5 Der Wurzeltrick .... . 107
7.6 Der Fundamentallimes lim (1 + = e 109
7 .7 D er F und amentt alllinnes 1·i m -si-n: ;x; = 1 . . . 111
7.8 Der Satz von Bernoulli-de l'Hôpital ..... 113
7.8.1 Der Satz von Bernoulli-de l'Hopital für und 113
7.8.2 Der Satz von Bernoulli-de l'Hopital für die Fälle "0 · - oo" 117
7.9 Der e^log(x)-Trick .. 119
7.10 Taylor, der Retter 121
7.10.1 Die Substitution 125
7.11 Aufgaben 127
8 Reihen 129
8.1 Definition 129
8.2 Konvergenzkriterien 130
8.3 Konvergenzkriterium 1: mittels der Definition 130
8.4 Konvergenzkriterium 2: lim a_n= 0" ... 134
8.5 Einschub: Die Summe von zwei Reihen . . . . 135
8.6 Konvergenzkriterium 3: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium . 138
8.7 Konvergenzkriterium 4: Das Vergleichskriterium . 142
8.8 Konvergenzkriterium 5: Das Quotientenkriterium 143
8.9 Konvergenzkriterium 6: Das vVurzelkriterium 146
8.10 Quotientenkriterium vs. Wurzelkriterium ... 148
8.11 Konvergenzkriterium 7: Das Integralkriteriurn 150
8.12 Konvergenzkriteriurn 8: Das Leibnitz-Kriterium 153
8.13 Konvergenzkriterium 9: Absolute Konvergenz 154
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