Analysis einer Veränderlichen: Analytische Funktionen, Differenziation und Integration

372 Pages·2018·5.09 MB·German

by  Uwe Storch

Springer-Lehrbuch
(cid:2)
Uwe Storch Hartmut Wiebe
Analysis einer
Veränderlichen
Analytische Funktionen, Differenziation
und Integration
UweStorch HartmutWiebe
Ruhr-UniversitätBochum Ruhr-UniversitätBochum
Bochum,Deutschland Bochum,Deutschland
ISSN0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN978-3-662-56572-8 ISBN978-3-662-56573-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56573-5
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Einleitung
MitdiesemBandsetzenwirunsereLehrbuchreihezurMathematikfort,diesichinBd.1
mitdenGrundkonzeptenvonMengenlehre,AlgebraundTopologiebeschäftigteundau-
ßerdem eine Einführung in die reellen und komplexen Zahlen beinhaltete. Hier wenden
wir uns nun der Differenzial-und Integralrechnung von Funktionen einer reellen oder
komplexenVeränderlichenzu.DabeidürfendieWertederFunktionenoftauchkomplexe
Zahlen sein oder sogar in einem Banach-Raumliegen. Aus Bd. 1, vgl. [14], werden die
GrundtatsachenüberFolgenundReihenundüberstetige Funktionenvorausgesetzt.Der
InhaltdesBandesfußtaufdenentsprechendenTeilenvon[10],gehtanvielenStellenaber
auchdarüberhinaus.
In Kap. 1 werden Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen wie gleichmäßige und
kompakteKonvergenzbehandelt.WirleitendieProduktdarstellungenvonSinusundKo-
sinusherundgebenverschiedeneBeweisefürdenWeierstraßschenApproximationssatz.
Als wichtige Beispiele von Funktionenreihen behandeln wir das Rechnen mit Potenz-
reihen und beweisen unter anderem den Abelschen Grenzwertsatz. Potenzreihen bilden
dann die Grundlage für ein einführendes Studium reell-analytischer und holomorpher
Funktionen. Für Letztere beweisen wir u.a. das Maximumprinzip und die Holomorphie
der Grenzfunktion bei kompakter Konvergenz. Schließlich betrachten wir die Exponen-
tialfunktion sowie Kreis- und Hyperbelfunktionen als wichtigste Beispiele analytischer
Funktionen. Bereits dabei wird (cid:2) über den Kern der komplexen Exponentialfunktion
C !C(cid:2)eingeführt.
Im Zentrum von Kap. 2 stehen differenzierbare Funktionen einer reellen Veränderli-
chen,wobeidieWerteebenfallsoftinCodersogarineinemBanach-Raumliegendürfen.
GlobaleAussagenüberdifferenzierbareFunktionenwerdendurchMittelwertsätze gelie-
fert.WirbeweisendasLemmavonHahn-Banach,umMittelwertsätzeaufFunktionenmit
Werten in Banach-Räumen verallgemeinern zu können. Weitere Themen sind trigono-
metrischeFunktionenundihreUmkehrfunktionen,MethodenzurNullstellenbestimmung
wiedasNewton-VerfahrenundKurvendiskussion.DieSätzeüberdasDifferenzierenvon
Funktionenfolgenwerdendargestelltundu.a.an denWeierstraßschen }-Funktionende-
monstriert. Außerdem studieren wir Dirichlet-Reihenund beweisen als Anwendungden
DirichletschenPrimzahlsatz.AmEndedesKapitelsbehandelnwirdieTaylor-Formelund
ihreVerallgemeinerungensowiedieeinschlägigenAlgorithmenzurInterpolation.
V
VI Einleitung
InKap.3werdenIntegralevonFunktioneneinerreellenoderauchkomplexenVaria-
blenmitHilfevonStammfunktioneneingeführt.WirleitendiezugehörigenRechenregeln
her und zeigen, dass stetige Funktionen stets Stammfunktionen besitzen. Der Hauptsatz
der Differenzial- und Integralrechnung schafft die Verbindung zum Flächenbegiff und
ermöglicht es, Flächeninhalte und auch einfache Volumina sowie Kurvenlängen zu be-
rechnen.DerZusammenhangmitRiemannschenSummenundRiemann-Integrierbarkeit
wird kurzerläutert, der wichtigere Begriffder Lebesgue-Integrierbarkeitbleibt aber Bd.
6 über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Breiten Raum nehmen uneigentliche
Integrale ein, insbesondere die Gamma-Funktion und damit verwandte Integrale sowie
die elliptischen Integrale. Außerdem behandeln wir die Eulersche Summenformel und
wenden sie auf Methoden zur numerischen Integration wie das Romberg-Verfahren an.
WeitereThemendesKapitelssinddieRiemannscheZeta-Funktion,Doppelintegraleund
Windungszahlen.
DieeinzelnenAbschnittewerdendurchzahlreicheAufgabenergänzt,derenErgebnis-
se gelegentlich im Text benutzt werden. Zu den etwas schwierigeren Aufgaben werden
Hinweise gegebenen. Außerdem findet man zu einigen Aufgaben Lösungen in unserem
Arbeitsbuch [12]. Die Beispiele dienen nicht nur zur Illustration der Theorie, sondern
führensieoftauchweiter. Wirhoffen,dass sie dieDarstellungstärker strukturierenund
die Übersicht erhöhen. Das Endeeines Beispiels oder einer Bemerkungwird mit } ge-
kennzeichnetunddasEndeeinesBeweiseswieüblichdurch(cid:2).
WieschonderersteBandgibtauchdiesesBuchnichtdenInhalteinereinzelnenVor-
lesung wieder und muss daher nicht Seite für Seite gelesen werden. Vielmehr kann der
Leser einzelne Themen herausgreifen und das Buch als Nachschlagewerk nutzen. Der
dritteundvierteBandderReihebeschäftigensich mitLinearerAlgebra,erstim fünften
BandkommenwiraufAnalysis,nämlichaufFunktionenmehrererVeränderlicherzurück.
HerrnDr.AndreasRüdinger,FrauIrisRuhmannundFrauAgnesHerrmannvomVer-
lag Springer Spektrum danken wir wieder herzlich für die Betreuung bei der Arbeit am
vorliegendenBand.
Der Erstgenannte der Autoren ist kurz nach Abfassung des Manuskripts unerwartet
verstorben.DieseLehrbuchreihesollinseinemSinnefortgesetztwerden.
Bochum,Dezember2017 HartmutWiebe
Inhaltsverzeichnis
1 AnalytischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 KonvergenzvonFunktionenfolgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 AnalytischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Exponentialfunktion–Kreis-undHyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . 68
2 Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.1 DifferenzierbareFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3 DerMittelwertsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4 KreisfunktionenundihreUmkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.5 KonvexeundkonkaveFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.6 DasNewton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.7 DifferenzierenvonFunktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.8 DieTaylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.9 Hermite-Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2 BestimmteIntegrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.3 HauptsatzderDifferenzial-undIntegralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 263
3.4 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.5 Die(cid:3)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3.6 ElliptischeIntegraleundFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.7 Integralrestglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
3.8 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
3.9 NumerischeIntegration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
VII
Analytische Funktionen 1
1.1 KonvergenzvonFunktionenfolgen
WichtigeFunktionenderAnalysissind nurdurchGrenzprozessezugewinnen.Dieswar
schon bei der Einführung der reellen Exponential- und Logarithmusfunktionen in Ab-
schnitt 3.10 des ersten Bandes[14] der Fall. Selbst für die Existenz der reellen Wurzel-
funktionen,diedabeibenutztwurden,kommtmanohneLimesbildungennichtaus.Dieses
KapitelbeschäftigtsichhauptsächlichmitanalytischenFunktioneneinerVeränderlichen,
deren Werte durch Potenzreihen in einer Unbestimmten gegeben werden und die lange
ZeitdieFunktionenschlechthinwaren.DabeibeziehtsichdieAngabevoneinerVeränder-
lichenwieauchimTiteldiesesBandesstetsaufdenDefinitionsbereich.DerWertebereich
kanndurchaushöherdimensionalsein,obwohlzuBeginnhäufigdenFallvorliegenwird,
dassderBildbereichebenfallseindimensionalist.AuchindieserallgemeinerenSituation
werdenwiroftvonFunktionenstattvonAbbildungensprechen.
Wir setzen das Rechnen in den (topologischen) Körpern R und C der reellen bzw.
komplexenZahlenvoraus,fürdiewirwiederdiegemeinsameBezeichnung
K
benutzen. Dazu verweisen wir auf Kapitel 3 von [14]. Wir verwenden auch die ein-
schlägigentopologischenBegriffe.Insbesondereseidaranerinnert,dasseintopologischer
Raum X kompakt ist, wenn er hausdorffsch ist und jede offene Überdeckung von X
eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Ein Hausdorff-Raum heißt lokal kompakt, wenn
jederseinerPunkteeinekompakteUmgebungbesitzt.DannbesitztjederPunktsogareine
Umgebungsbasis aus kompakten Mengen, vgl. die Bemerkung in [14] im Anschluss an
Definition4.4.21.IneinemendlichdimensionalenK-VektorraummitdernatürlichenTo-
pologieisteineTeilmengenachdemSatzvonHeine-Borel,vgl.[14],Satz4.4.11,genau
dannkompakt,wennsieabgeschlossenundbeschränktist.JedeTeilmengevonKwirdals
eigenständiger topologischer Raum (mit der von der Standardtopologievon K induzier-
ten Topologie) aufgefasst. Wir beginnen damit, die wichtigsten Konvergenzbegriffefür
Funktionenfolgenzuwiederholen.
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U.Storch,H.Wiebe,AnalysiseinerVeränderlichen,Springer-Lehrbuch,
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2 1 AnalytischeFunktionen
Abb.1.1 GleichmäßigeKon-
vergenzvon.f /gegenf
n
Definition1.1.1 SeienX einHausdorff-Raum,Y D.Y;d/einmetrischerRaumundf ,
n
n2N,eineFolgevonAbbildungenf WX !Y.
n
(1) Die Folge .f / heißt punktweise konvergent (auf X), wenn es eine Abbildung
n
fWX !Y mitlimf .x/Df.x/fürallex 2X gibt,d.h.wenneszujedemx 2X
n
undjedem">0ein(vonxund"abhängendes)n 2Ngibtmitd.f .x/;f.x//(cid:3)"
0 n
fürallen(cid:4)n .
0
(2) Die Folge .f / heißt gleichmäßig konvergent (auf X), wenn es eine Abbildung
n
fWX ! Y gibt derart, dass zu jedem " > 0 ein (nur von ", aber nicht von x ab-
hängendes)n 2N existiertmitd.f .x/;f.x//(cid:3)"fürallex 2X undallen(cid:4)n ,
0 n 0
vgl.Abb.1.1.
(3) Die Folge .f / heißtlokal gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem Punkt x 2 X
n
eineUmgebungU vonx existiertderart,dassdieFolgef ,n 2 N,gleichmäßigauf
n
U (d.h.dieFolgef jU,n2N gleichmäßig)konvergiert.
n
(4) DieFolge.f /heißtkompaktkonvergent,wennfürjedekompakteTeilmengeK (cid:5)
n
X dieFolgef ,n2N,gleichmäßigaufK konvergiert.
n
DieKonvergenzeiner Folgef WX ! Y,n 2 N,gemäß(1),(2)und(4)ist dieKon-
n
vergenzbzgl.speziellerTopologienaufdemRaum
YX DAbb.X;Y/
aller Abbildungenvon X in Y. Beider punktweisen Konvergenzist dies die Produktto-
pologieaufYX, diedeshalbauchdieTopologieder punktweisenKonvergenzheißt. Bei
der gleichmäßigen Konvergenz handelt es sich um die Konvergenz bzgl. der durch die
Tschebyschew-oderSupremumsmetrikd Dd Dd aufYX mit
X X;1
(cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:3)
d .f;g/DSup d f.x/;g.x/ ; x 2X 2R DR ]f1g; f;g 2YX;
X C C
definierten Topologie, die deshalb auch die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz
heißt. Bei der kompakten Konvergenz handelt es sich um die Urbildtopologie bzgl. der
kanonischen Projektionen YX ! YK, f 7! fjK, wobei K die Mengeder kompakten
TeilmengenvonX durchläuft.undYK jeweilsdieTopologiedergleichmäßigenKonver-
genzträgt.OffenbaristdieTopologiedergleichmäßigenKonvergenzdiefeinsteunddie
1.1 KonvergenzvonFunktionenfolgen 3
Topologiederpunktweisen Konvergenzdiegröbsteunter dendreiangegebenenTopolo-
gien, und die Topologieder kompakten Konvergenzliegt dazwischen. Es gilt also: Jede
gleichmäßig konvergente Folge ist kompakt konvergent, und jede kompakt konvergente
Folge ist punktweise konvergent. Natürlich ist auch jede gleichmäßig konvergente Folge
lokal gleichmäßig konvergent und jede lokal gleichmäßig konvergente Folge punktweise
konvergent. Ist X (cid:4)-kompakt (d.h. ist X lokal kompakt und Vereinigung von abzähl-
bar vielen kompakten Teilmengen), so ist die Topologie der kompakten Konvergenz auf
C.X;Y/metrisierbar, vgl.dieBemerkungenin[14]imAnschlussanSatz4.5.28.–Die
lokalgleichmäßigeKonvergenzlässtsichimAllgemeinennichtmiteinereinzigenTopo-
logie auf YX beschreiben. Es gilt jedoch die wichtige, bereits in [14] im Anschluss an
Satz4.5.25erwähnteAussage:
Proposition 1.1.2 Sei X ein lokal kompakter Raum und Y ein metrischer Raum. Dann
ist eine Folge f WX ! Y, n 2 N, genau dann lokal gleichmäßig konvergent, wenn sie
n
kompaktkonvergentist.
Beweis Sei f , n 2 N, lokal gleichmäßig konvergentund K (cid:5) X kompakt. Zu jedem
n
x 2 K gibt es dann eine Umgebung U von x derart, dass .f jU / gleichmäßig auf
x n x
U konvergiert.DaK kompaktist,überdeckenendlichvieleU ;:::;U dieMengeK.
x x1 xn
Dannkonvergiert.f /gleichmäßigaufU [(cid:6)(cid:6)(cid:6)[U unddamitaufK.–Sei.f /um-
n x1 xn n
gekehrtkompaktkonvergent.DavoraussetzungsgemäßjederPunktvonX einekompakte
Umgebungbesitzt,konvergiert.f /auchlokalgleichmäßig. (cid:2)
n
IstY ein vollständigermetrischer Raum,d.h.ist jedeCauchy-FolgeinY konvergent
inY,soistoffenbarauch.YX;d /vollständig.Diesistäquivalentmitdemfolgenden
X;1
Cauchy-Kriterium:
Proposition 1.1.3 (Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) f WX ! Y,
n
n 2 N, sei eine Folge von Abbildungen des Hausdorff-Raums X in den vollständigen
metrischenRaumY.Genaudannkonvergiert.f /gleichmäßigaufX,wenneszujedem
n
">0einn 2N gibtmitd .f ;f /(cid:3)"fürallen;m(cid:4)n .
0 X n m 0
Sei weiterhin X ein Hausdorff-Raum und Y ein metrischer Raum. Die Menge der
stetigenAbbildungenX !Y vonYX wirdmit
C.X;Y/
bezeichnet,beiY D KauchmitCK.X/.SieisteinabgeschlossenerUnterraumvonYX
bzgl.derTopologiedergleichmäßigenKonvergenz(vgl.[14],Satz4.5.21)undinsbeson-
derewie YX vollständig bzgl. derTschebyschew-Metrikd , wennY vollständigist. Es
X
giltalso: