Analysis Band 2: Ein Lernbuch

385 Pages·2007·4.389 MB·German

by  Prof. Dr. Ehrhard Behrends (auth.)

Ehrhard Behrends
Analysis
Band 2

Ehrhard Behrends
Analysis
Band 2
Ein Lernbuch
2., aktualisierte Auflage
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Ehrhard Behrends
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Arnimallee 2–6
14195 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage April 2004
2., aktualisierte Auflage April 2007
Alle Rechte vorbehalten
©Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007
Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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In diesem Buch sind eine Reihe von Bildern von Mathematikern enthalten. Autor und Verlag
gehen davon aus, dass die Rechte frei verfügbar sind.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0102-9

Vorwort zur ersten Auflage (2004)
In diesem zweiten Band der Analysis soll die Welt der Grenzwerte, Ablei-
tungenundIntegraleweiteruntersuchtwerden.ImUnterschiedzumerstenTeil
k¨onnen wir uns nun ganz auf die analytischen Konzepte und Tatsachen kon-
zentrieren, denn die allgemeinen mathematischen Fragen ( Wie schreibt man
”
einenBeweisauf?“, WasbedeutendielogischenSymbole?“,...)wurdenschon
”
behandelt.
Das Buch besteht aus weiteren vier Kapiteln. Am Ende sollten Sie alles
kennen gelernt haben, was heute nach allgemeiner U¨berzeugung zu den grund-
legenden Ideen der Analysis geh¨ort und in Vorlesungen h¨oherer Semester vor-
ausgesetztwird. In Kurzfassunggeht es um die folgenden Themen:
Funktionenr¨aume: Was bedeutet es, wenn eine Funktion eine andereappro-
ximiert? Welche Eigenschaftenbleiben bei Approximationenerhalten?
Integration: Wie kann das (den meisten aus der Schule bekannte) Integral
(cid:1)
bf(x)dx mathematisch streng definiert werden?
a
Ausgehend von der Frage, wie man krummlinig begrenzte Fl¨achen messen
kann,wirddieIntegrationstheorieinKapitel6systematischentwickelt.InKapi-
tel7wirddanngezeigt,dasssichdamitvieleinteressanteFolgerungenergeben.
Auch fu¨r Fragen, die mit Fl¨achenmessungnichts zu tun haben.
MehrereVer¨anderliche:WiemodelliertmanSituationen,indeneneineGr¨oße
von mehreren Eingangsgr¨oßen abh¨angt? Wie kann man wieder mit Erfolg im
”
Kleinen“ einfache lineare Approximationenverwenden?
Neben den Standardthemen werden auch Fragen behandelt, die man in an-
deren Analysisbu¨chern nicht findet. Warum ist es zum Beispiel auch fu¨r die
intelligentesten Mathematikernicht m¨oglich, gewisseIntegralegeschlossenaus-
zuwerten?
Das Konzept von Band 1 ist beibehalten worden: Neue Begriffe werden
ausfu¨hrlich motiviert, vor komplizierten Beweisen wird die Struktur erl¨autert,
und man findet im Text und nach jedem Kapitel zahlreiche Verst¨andnisfragen,
in denen auf die wichtigsten Punkte noch einmal eingegangenwird.
Auch gabes wiedereine produktiveZusammenarbeit mit einer Gruppe von
Studierenden, fu¨r die das erste Kennenlernen der Analysis noch nicht lange
zuru¨ckliegt. Durch das Einarbeiten ihrer Erfahrungen sollten alle Anf¨anger-
schwierigkeitenberu¨cksichtigt sein.
Vorwort zur zweiten Auflage
In derzweitenAuflage sindeinige Tippfehlerverbessertworden.Auchwird
dasHauptergebnisvonAbschnitt 6.6,dassex2 nichtgeschlossenintegriertwer-
den kann, nun etwasausfu¨hrlicher dargestellt.
EhrhardBehrends, Berlin (Fru¨hjahr 2007)
Einleitung
Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, welche grundlegenden Tatsachen
in fast allenTeilbereichen derMathematik eine Rollespielen, rund um unseren
GlobussinddieAnf¨angervorlesungendahersehr¨ahnlichstrukturiert.Insbeson-
dere gibt es Standards fu¨r die Analysis: Von allen Mathematikern dieser Welt
wird die Kenntnis der wichtigsten Ideen rund um Limites, Differentiation und
Integrationvorausgesetzt.AufdieThemen,dieinBand1nochnichtbesprochen
wurden, wird hier in vier Kapiteln eingegangen werden. Der Inhalt des vorlie-
genden zweiten Bandes der Analysis kann wie folgt zusammengefasst werden.
Zun¨achstbehandelnwirinKapitel 5 nocheinmalFunktionen.Diesmalgeht
esabernichtdarum,einzelneFunktionenzudefinierenoderzuuntersuchen.Es
soll vielmehr pr¨azisiert werden, was es bedeuten k¨onnte, dass eine Funktionen-
folge gegen eine Funktion konvergiert. Es gibt dafu¨r eine Reihe von sinnvollen
M¨oglichkeiten,wirku¨mmernunshaupts¨achlichumpunktweiseKonvergenz und
gleichm¨aßige Konvergenz. In den Anwendungen wird dabei h¨aufig die Frage
wichtig, welche analytischen Eigenschaften dabei erhalten bleiben. Wir werden
(unteranderem)beweisen,dassgleichm¨aßigeLimitesstetigerFunktionenwieder
stetig sind.
Gleichm¨aßigeKonvergenzkannalsKonvergenzineinemgeeignetennormier-
ten Raum interpretiert werden, dabei ergibt sich im Fall stetiger Funktionen
sogar ein vollst¨andiger Raum. Da die Tragweite von Kompaktheitsschlu¨ssen
schon in Band 1 hinreichend deutlich geworden sein sollte, ist die Frage nahe
liegend, wie man kompakte Teilmengen derartiger Funktionenr¨aume charakte-
risieren kann. Das ist auf u¨berraschend einfache Weise m¨oglich: Der Satz von
Arzela`-Ascolibesagt,dassdieCharakterisierungbeinahegenausoistwieim
endlich-dimensionalenFall.
Im letzten Abschnitt des Kapitels werden dann einige beru¨hmte Resultate
bewiesen,die sichauf vollst¨andigemetrischeR¨aume beziehen: Der Banachsche
Fixpunktsatz, der Cantorsche Durchschnittssatz und der Bairesche Kategorien-
satz. Diese Resultate in Kombination mit der Vollst¨andigkeit der wichtigsten
Funktionenr¨aumelassenu¨berraschendeundtiefliegendeFolgerungenzu,einige
werdendann auch in sp¨ateren Kapiteln bewiesen werden.
Kapitel 6 ist der Integration gewidmet, sie wird hier aus dem Problem der
Fl¨achenmessungentwickelt.Naivk¨onntemanmeinen,dassderBegriff Fl¨ache“
”
intuitiv klar ist. Das Problem ist jedoch komplizierter, wir werden auf die
Schwierigkeiten hinweisen und dann die Theorie des Riemann-Integrals syste-
matisch entwickeln.
Im ersten Anlauf wird das Problem zwar theoretisch gel¨ost werden, es ist
damit jedoch noch nicht m¨oglich, fu¨r konkret gegebene Funktionen das Inte-
gralauch wirklichauszurechnen.Diese Schwierigkeitwirddurch denHauptsatz
der Differential- undIntegralrechnung ausger¨aumt,danachistIntegrierensoet-
waswiedieUmkehrungdesDifferenzierens.Folglichk¨onnenalleErgebnissezur
Differentiation hier nutzbar gemacht werden.
viii
Einigefu¨hrenzusehrwirkungsvollenVerfahren,etwazur partiellen Integra-
tion und zur Integration durch Substitution.
Indenn¨achstenAbschnittenvonKapitel6wirdderIntegralbegrifferweitert,
auch werden Funktionen n¨aher untersucht, die durch Integrale definiert sind.
Das Kapitel schließt mit der Diskussion eines tief liegenden Ergebnisses, durch
dasdieGrenzenunserertheoretischenM¨oglichkeitenbeimIntegrierenaufgezeigt
werden. Es wird bewiesen werden, dass man fu¨r gewisse – sogar recht einfache
– Funktionen auchmit den ausgefeiltesten Methoden keine Stammfunktion ex-
plizit angeben kann. Ein beru¨hmtes Beispiel, das wir auch behandeln werden,
ist die Funktion ex2.
Integration war u¨ber das Problem eingefu¨hrt worden, gewisse Fl¨achen zu
messen. Tats¨achlich macht diese Frage nur einen Bruchteil der Bereiche aus,
in denen Integration eine wichtige Rolle spielt. Das soll in Kapitel 7 deutlich
werden.WirdiskutiereneineReihevonFragestellungenausverschiedenenTeil-
gebietender Mathematik,bei denen EigenschaftendesIntegralseine Schlu¨ssel-
rolle beim Auffinden der L¨osung spielen. Wir behandeln Approximationen von
beliebigen Funktionen durch solche mit speziellen Eigenschaften, eine weitere
Formelfu¨rdasRestglied in der Taylorformel sowiedasProblem,dieL¨ange von
Kurven zubestimmen.Insp¨aterenAbschnittengehtesumZahlentheorie (unter
anderem wird dort gezeigt, dass e transzendent und π irrational ist), um das
L¨osen von Differentialgleichungenmit Hilfe der Laplacetransformation und um
grundlegendeExistenzs¨atze f¨ur L¨osungen von Differentialgleichungen.
Im letzten Kapitel wird die Theorie der Funktionen in mehreren Ver¨ander-
lichen behandelt. Solche Funktionen spielen immer dann eine Rolle, wenn eine
Gr¨oße nicht nur von einem Parameter, sondern von mehreren Eingangsgr¨oßen
abh¨angt: Denken Sie etwa an die Wurfweite eines geworfenen Balles als Funk-
tion der Abwurfgeschwindigkeit und des Abwurfwinkels. Diese Theorie nutzt
ganz wesentlich Methoden der Linearen Algebra aus. Das, was man daru¨ber
wissen muss, wird im ersten Abschnitt zusammengestellt. Wir behandeln die
Haupts¨atze der Theorie, am Ende des Kapitels kann man Extremwertaufgaben
inmehrerenVer¨anderlichen l¨osen(auchmitNebenbedingungen),kannmitdem
Satz von der inversen Abbildung die Ableitung inverser Funktionen berechnen
und Funktionen untersuchen, die implizit definiert sind.
SoweitderInhaltinKurzfassung.UnterschiedezuanderenAnalysis-Bu¨chern
gibt es in den folgenden Punkten:
• Das Buch ist in enger Zusammenarbeit mit Studierenden entstanden, die
ihreAnalysisausbildungnochinlebhafterErinnerunghaben.Folglichwur-
debesondererWertdaraufgelegt,aufdieSchwierigkeiteneinzugehen,die
u¨blicherweisebeimerstenKennenlernenauftreten.Deswegengibtesauch
sehrausfu¨hrlicheMotivationen,undkompliziertereBeweisesindsoaufge-
schrieben, dassdie Struktur auchfu¨r Anf¨angerdurchschaubarsein sollte.
• Um das Verst¨andnis und das Lernen im Zusammenhang mit sp¨ateren
Pr¨ufungsvorbereitungen zu erleichtern, sind fu¨r jedes Kapitel wieder Ver-
ix
st¨andnisfragen aufgenommen worden: Was sollte man wissen, was sollte
man k¨onnen? Wer die meistert, kann Vordiplom- und Zwischenpru¨fung
gelassenentgegensehen.
Als Unterstu¨tzung des Verstehens beim Durcharbeiten sind auch wieder
eine Reihe von direkten Fragen an die Leser in den Text eingearbeitet.
Sie sind durch ein ?“ am Rand markiert, die Antworten sind am Ende ?
”
des Buches zusammengestellt.
EsgibtauchU¨bungsaufgaben:AllenistdringendansHerzgelegt,sichmit
ihnenauseinanderzusetzen.MitderMathematikistesn¨amlichwiebeim
Klavierspielen,Reiten und Skifahren: Man lernt es nicht durchdas Lesen
von Bu¨chern, sondern durch die selbstst¨andige Auseinandersetzung mit
den auftretenden Problemen.
• DieAntwortenaufdieVerst¨andnisfragenunddieL¨osungenzudenU¨bungs-
aufgaben findet man auf der Internetseite
http://www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis.
Dort k¨onnen Sie auch Fragen stellen (falls trotz aller Bemu¨hungen etwas
unklar geblieben sein sollte), Anregungen fu¨r die n¨achste Auflage geben
usw.
• Inhaltlich ist alles enthalten, was man von einem Analysisbuch erwar-
ten darf. Es gibt aber wesentlich mehr, Sie werden viele Informationen
finden,dieerstinsp¨aterenSemesternwichtigwerdenodereinfachnurin-
teressantsind: Feinheiten zur punktweisen Konvergenz,Existenzs¨atzefu¨r
vollst¨andigemetrischeR¨aume,Laplacetransformation,Ergebnisseausder
Zahlentheorie (u.a.: die Eulersche Zahl e ist transzendent), Englisch fu¨r
Mathematiker, ...
Um allen Lesern den Unterschied zwischen Pflicht“ und Ku¨r“ deutlich
” ”
zu machen,sind die Themen, derengenauesStudium man sichfu¨r sp¨ater
aufsparen kann, durch das Zeichen (cid:1)“ markiert. (cid:1)
”
An dieser Stelle m¨ochte ich allen herzlich danken, die mich beim Schreiben
der Analysis 1 und der Analysis 2 unterstu¨tzt haben. Ganz besonders gilt das
fu¨r J¨org Beyer, Martin G¨otze, Sonja Lange, Timm und Vivian Rometzki und
TinaScherer.SiehabendiejeweilsersteFassungmit denAugeneinesStudien-
anf¨angers gelesen. Dadurch konnten viele Erl¨auterungen und U¨bungsm¨oglich-
keiten zus¨atzlich aufgenommen werden, um die ersten Schritte zu erleichtern.
Mein Dank geht auch an Dirk Werner: Er war immer ein geduldiger und
kompetenterAnsprechpartner,ichdenkeauchgernandieZusammenarbeitbeim
Schreiben des Beitrags Englischfu¨r Mathematiker“ zuru¨ck.
”
EhrhardBehrends, Berlin (Fru¨hjahr 2004)