ANALYSIS AND NUMERICAL SIMULATION OF VISCOELASTIC FLOWS: Deterministic and ...

111 Pages·2006·16.88 MB·French

ANALYSIS AND NUMERICAL SIMULATION
OF VISCOELASTIC FLOWS:
Deterministic and Stochastic Models
THÈSE NO 3490 (2006)
PRÉSENTÉE LE 7 AVRIL 2006
À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE
Chaire d'analyse et simulation numériques
SECTION DE MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
Andrea BONITO
ingénieur mathématicien diplômé EPF
de nationalité suisse et originaire de Genthod (GE)
acceptée sur proposition du jury:
Prof. R. Dalang, président du jury
Dr M. Picasso, directeur de thèse
Prof. Ph. Clément, rapporteur
Prof. R. Glowinski, rapporteur
Prof. A. Quarteroni, rapporteur
Lausanne, EPFL
2006

A` mesparents.

Abstract
Mathematicalandnumericalaspectsofviscoelasticflowsareinvestigatedhere.
Two simplified mathematical models are considered. They are motivated by a splitting
algorithmforsolvingviscoelasticflowswithfreesurfaces. ThefirstmodelisasimplifiedOldroyd-
B model. Existence on a fixed time interval is proved in several Banach spaces provided the
dataaresmallenough. ShorttimeexistenceisalsoprovedforarbitrarilylargedatainH¨older
spacesforthetimevariable. Theseresultsarebasedonthemaximalregularitypropertyofthe
Stokesoperatorandontheanalycitybehaviorofthecorrespondingsemi-group. Afiniteelement
discretizationinspaceisthenproposed. Existenceofthenumericalsolutionisprovedforsmall
data,aswellasapriorierrorestimates,usinganimplicitfunctiontheoremframework. Then,
theextensionoftheseresultstoastochasticsimplifiedHookeandumbbellsmodelisdiscussed.
Because of the presence of the Brownian motion, existence in a fixed time interval, provided
thedataaresmallenough,isprovedonlyinsomeoftheBanachspacesconsideredpreviously.
Thedumbbells’elongationissplitintwoparts,onesatisfyingastandartstochasticdifferential
equation, theothersatisfyingapartialdifferentialequationwithastochasticsourceterm. A
finite element discretization in space is also proposed. Existence of the numerical solution is
provedforsmalldata,aswellasapriorierrorestimates.
Anumericalalgorithmforsolvingviscoelasticflowswithfreesurfacesisalsodescribed. This
algorithmisbasedonasplittingmethodintimeandtwodifferentmeshesareusedforthespace
discretization. Convergenceofthenumericalmodelischeckedforthepureextensionalflowand
thefillingofapipe. Then,numericalresultsarereportedforthestretchingofafilamentand
forjetbuckling.
Keywords: viscoelasticfluid,non-Newtonianfluid,Oldroyd-B,Hookkeandumbbells,finite
elements,freesurface,semi-group,Stokesproblem,timesplittingmethod.
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Version abr´eg´ee
Nous nous int´eressons `a quelques aspects math´ematiques et num´eriques li´es `a des´ecoule-
mentsdefluidesvisco´elastiques.
Dans la premi`ere partie de cette th`ese, nous traitons quelques probl`emes math´ematiques
simplifi´es issus d’un algorithme num´erique propos´e pour r´esoudre num´eriquement des´ecoule-
ments de fluides visco´elastiques avec surfaces libres. Le mod`ele d’Oldroyd-B est le premier
consid´er´e. L’existencedans un intervalle de temps fix´e est prouv´ee dans plusieurs espaces de
Banachensupposantquelesdonn´eessoientsuffisammentpetites. L’existencepourdesdonn´ees
arbitrairementgrandesestaussiprouv´eemaiscettefoisuniquementdansl’espacedefonctions
H¨olderiennes en temps et pour un intervalle de temps suffisamment petit. Ces r´esultats sont
bas´es sur la propri´et´e de r´egularit´e maximale du probl`eme de Stokes et sur le fait qu’il soit
g´en´erateur d’un semi-groupe analytique. Une m´ethode d’´el´ements finis est ensuite propos´ee.
L’existence de la solution num´erique ainsi que sa convergence est prouv´ee pour des donn´ees
suffisament petites en utilisant le cadre du th´eor`eme des fonctions implicites. Ces r´esultats
sont ensuite ´etendus a` un probl`eme stochastique, le mod`ele des“dumbbells”(halt`eres). La
pr´esencedumouvementBrowniennousconduita`consid´ererdesespacesdeBanachsp´ecifiques
dans lesquels l’existence est prouv´ee pour des donn´ees suffisamment petites. Pour cela, nous
d´ecouplonslapartiestochastiqueduresteduprobl`emeafind’invoquerdesr´esultatsclassiques
surles´equationsstochastiquesetdemettreenplaceuncadresimilairea`celuiutilis´epourle
probl`emed´eterministe. Commepourlemod`eled’Oldroyd-B,uneapproximationpar´el´ements
finis est propos´ee. L’existence de la solution num´erique ainsi que sa convergence est prouv´ee
pourdesdonn´eessuffisamentpetites.
Dansladeuxi`emepartiedelath`ese, nousd´ecrivonsl’algorithmenum´eriquepropos´epour
r´esoudre l’´ecoulement de fluides visco´elastiques avec surfaces libres. Cet algorithme est bas´e
surunem´ethodedepasfractionnairesentempsetdeuxmaillagesdiff´erentssontutilis´espour
l’approximation en espace. Nous v´erifions la convergence du mod`ele num´erique dans les cas
d’´elongationpuredefluidesetderemplissagedetubes. Pourfinir,dessimulationsnum´eriques
duflambaged’unjetvisco´elastiqueetd’´etirementd’unfilamentvisco´elastiquesontpr´esent´ees.
Mots cl´es: fluidevisco´elastique,fluidenonNewtonien,Oldroyd-B,Hookkeandumbbells,
´el´ementsfinis,surfacelibre,semi-groupe,probl`emedeStokes,m´ethodedepasfractionnaires.
v

Acknowledgments
IamdeeplyindebtedtoDrMarcoPicassoforhavingacceptedtobemythesisadvisor. He
guidedmethroughmyPhDwithanenormousgenerosityandavailability. Hispreciousadvice
andtheconfidencehehasalwaysdemonstratedinmehavebeenessentialformyscientificand
personalgrowthduringtheseyears.
I am most grateful to Professor Jacques Rappaz for accepting me in his group and for
counselling. Iparticularlyappreciatehisencouragementandtheconfidencehehasshowninme
sinceIwasastudent.
AspecialthankstoProfessorPhilippeCl´ementforhiskindnessandpatience. Heopenedthe
doorformetothetheoryofsemi-groupofoperatorsandhelpedmetodevelopthemathematical
analysispartofthispresentworkbyinvitingmeforashortstayatTUDelftandduringhis
severalvisitstotheEPFL.Itwasagreatopportunityandreallymotivatingworkingwithhim.
Igratefullyacknowledgeallthemembersofthejury,whohonouredmebybeingpartofmy
jury and by reading this work, especially Professors Roland Glowinski and Alfio Quarteroni.
ThanksalsotoProfessorRobertDalang,presidentofthejury.
I am also grateful to Dr Erik Burman and Dr Alexei Lozinski for the precious help they
gavemeandforthepermanentinteresttheyhaveshowninthisresearch. Iwouldliketothank
ProfessorClaudeLeBrisfortheinvitationtoashortstayatCERMICSandtotheconference
heorganizedinMontr´eal“Mod`elesrh´eologiquesmulti´echellespourlesfluides”. Iamindebted
to Dr Tony Leli`evre, who participatedin the interestingdiscussionswe had during these two
events. IamalsoindebtedtoFr´ed´ericDumasforansweringallmyquestionsaboutstochastic
processes.
IthanktheSwissNationalScienceFoundationforitsfinancialsupportandthecompagny
CalcomESISAforgraciouslyprovidingthenumericalsoftwareCalcosoft.
J’aimerais remercier tous les actuels et les pr´ec´edents membres de l’institut d’analyse et
decalculscientifique, sansoublierl’indispensableMmeMosetti. Merci, grazie, a`tousd’avoir
contribu´e `a rendre cette p´eriode des plus agr´eables. Merci `a MisterCab, JC, Vincent, Rons,
Sylvain,Roland,auMassereyeta`tousceuxquiontpartag´eavecmoitouscesrepasded´etente.
Merciaussi`atousmesautresamisdem’avoirsortidecetteviededoctorantparfois´eprou-
vante. Enparticulier,mercia`Stefanod’ˆetremonmeilleuramidepuistoujourset`aGabpour
tous ces mythiques moments pass´es ensemble `a Gen`eve comme `a Lausanne. Merci a` Ami-
ral,Gooni,B´en´edicte,KasiaetJohandem’avoirpermisd’oublierletravaild`esmonretoura`
Jean-Violette. Merci`aAnouchkapoursesencouragements.
Unmercitoutparticuliera`monincroyablepetitefamille:Brigitte,M´elanie,David,Carmela,
Alexandra,SebastianetCraiga`quijedoislacorrectiondemonanglais. AMamanetPapa,
mesfabuleuxparentsa`quijed´ediecetteth`ese. Finalement,merci`aMariepourtoutsonamour.
Mercid’ˆetretoi.
Lausanne,le13mars2006 AndreaBonito
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