Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Mathematik fOr Physiker
und Ingenieure
Herausgegeben von Helmut Neunzert
Mathematisch ist das einfacher: Wahlt man ein
kartesisches Koordinatensystem so, daB der
Ursprung gleich dem Projektionszentrum (dem
Nagel in der Wand) ist und die Zeichenebene (der
Diese Abbildung ist aus Albrecht Durers "Undet Rahmen, in dem die Leinwand schlieBlich befestigt
weysung der messung/ mit dem zirckel un richt· wird) durch die Gleichung x = c beschrieben wird,
scheyt/ in Linien ebnen unnd gantzen corporen,' so genugen schon die Kenntnisse aus Kapitel 15,
durch Albrecht DOrer zusamen getzoge/ und zu urn die dadurch vermittelte Abbildung 'P:
nutz aile kunstlieb habenden mit zu gehOrigen Anschauungsraum ~ Zeichenebene analytisch zu
figuren/ in truck gebracht/ im jar. M.D.XXI/." beschreiben. Prufen Sie nach, daB die Formel
unter der Abbildung korrekt ist, und uberlegen Sie,
1m Text dazu wird beschrieben, wie man die warum die Abbildung fUr x = 0 nicht definiert ist.
Zentralprojektion eines abzubildenden Gegenstan Vielleicht wollen Sie nach der Lektlire von Kapitel
des, hier einer Laute, technisch bewerkstelligt. 21 auch noch d'P berechnen?
H. Neunzert W. G. Eschmann
A. Blickensdorfer-Ehlers K. Schelkes
Mit einer Einfuhrung
in die Vektor- und Matrizenrechnung
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
Zweite, korrigierte Auflage
Mit 159 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Prof. Dr. Helmut Neunzert
Dr. Winfried G. Eschmann
Fachbereich Mathematik der Universitat Kaiserslautern
Postfach 3049
0-67653 Kaiserslautern, Deutschland
Dr. Arndt Blickensdorfer-Ehlers
BrucknerstraBe 64
0-63452 Hanau, Deutschland
Dipl.-Math. Klaus Schelkes
Bundesanstalt fOr Geowissenschaften und Rohstoffe
Stilleweg 2
0-30655 Hannover, Deutschland
Dieser Band erschien bisher in der Reihe Mathematik fUr Physiker
und Ingenieure
Mathematics Subject Classification (1991):
26-01, 30-01, 33-01, 34-01, 40-01, 42-01, 70-01, 78-01
ISBN-13: 978-3-540-56909-1 e-ISBN-13: 978-3-642-97840-1
001: 10.1007/978-3-642-97840-1
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Analysis: ein Lehr- und Arbeitsbuch 1 H. Neunzert ... -
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong; Barcelona; Budapest:
Springer.
(Springer-Lehrbuch)
NE: Neunzert, Helmut
2. Mit einer EinfOhrung in die Vektor- und Matrizenrechnung.
- 2., korrigierte Aufl. - 1993 ISBN-13: 978-3-540-56909-1
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbeson
dere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen
und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oderderVervielfaltigung auf anderen
Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur aus
zugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen
dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen
des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in
der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwider
handlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982, 1993
44/3140" 5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur zweiten Auflage VII Ein Beispiel aus der Elektrizitatslehre 51
Vorwort zur ersten Auflage VIII Ein Beispiel aus der Mechanik 52
Wie arbeiten Sie mit diesem Buch? X § 2 Das Spatprodukt 53
KAPITEL 15. DER VEKTORRAUM JRN § 3 Das Spatprodukt als Determinante 55
Einleitung § 4 Geometrische Anwendungen von Vektor-
§ 1 Der lRn und seine anschaulichen Deutun und Spatprodukt 58
gen im FaIle n=2 und n=3 Zusammenfassung 60
Anschauliche Deutungen des lR3 2
KAPITEL 18. MATRIZEN
§ 2 Lineare Funktionen und ihre Niveaumengen 6
Der Graph linearer Funktionen 7 Einleitung 61
Niveaumengen 8
§ 1 Definition einer Matrix 62
§ 3 Geraden und Ebenen 9 Die Koeffizientenmatrix eines Glei
Geraden als Durchschnitt zweier Ebenen 13 chungssystems 64
DurchstoBpunkt einer Geraden durch eihe Gleichungssystem als Matrizengleichung 65
Ebene 15
§ 2 Lineare Abbildungen 66
§ 4 Unterraume des lRn 16
§ 3 Matrizenmultiplikation 73
Der Unterraum No(f) 16
§ 4 Addition und S-Multiplikation fUr
Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit 20
Matrizen 76
Basis und Dimension 22
§ 5 Der Rang einer Matrix 78
Zusammenfassung 25
Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix 78
KAPITEL 16. DAS SKALARPRODUKT Elementare Spalten- und Zeilenumformungen 80
Einleitung 27 Zusammenfassung 83
§ 1 Definition und elementare Eigenschaften
. KAPITEL 19. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
des Skalarproduktes 27
Einleitung 85
§ 2 Die Lange von Vektoren 28
Kugeln und Spharen im lRn 29 § Begriffserklarungen 85
Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz 30 § 2 Ein Losungsverfahren 87
§ 3 Orthogonalitat von Vektoren des lRn 32 Elementare Zeilenumformungen 89
Orthonormalbasen 33 Die Zeilennormalform 90
Der GauB-Jordan-Algorithmus 91
§ 4 ,Normalenvektoren zu Hyperebenen des lRn 34
Die Methode der kleinsten Quadrate in § 3 Anwendung des GauB-Jordan-Algorithmus
der Ausgleichsrechnung 38 zur LBsung linearer Gleichungssysteme 94
Ein Losbarkeitskriterium 94
§ 5 Winkelmessung im lRn 41
Die Losungen 97
Projektionen 43
§ 4 Homogene und inhomogene Systeme 100
§ 6 Anhang: Skalarprodukt auf ~n 45
§ 5 Eine weitere Anwendung des GauB-Jordan
Zusammenfassung 46
Algorithmus 102
KAPITEL 17. DAS VEKTORPRODUKT Berechnung der inversen Matrix 102
Einleitung 48 § 6 Anhang: Fixpunkte linearer Abbildungen 105
§ 1 Definition und Eigenschaften des Zusammenfassung 106
Vektorproduktes 48
Inhaltsverzeichnis
VI
KAPITEL 20, DETERMINANTEN Extrema unter Nebenbedingungen 168
Einleitung 108 § 3 Nicht-lineare Gleichungssysteme 172
Eindeutige Auflosbarkeit 172
§ 1 Definition und Eigenschaften 108
Implizite Funktionen 174
Der Entwicklungssatz 109
Berechnung von Determinanten 111 Zusammenfassung 177
§ 2 Invertierbare Matrizen 114
KAPITEL 23, KURVENINTEGRAL UND POTENTIAL
Invertierbarkeits-Kriterium und
Produktsatz 114 Einleitung 179
Inversen-Berechnung 11 5
§ 1 Gerichtete Kurven 180
Die Cramersche Regel 116
Parameterwechsel 181
Zusammenfassung 117
§ 2 Das Kurvenintegral 183
Arbeit 183
KAPITEL 21. DIFFERENTIATION 1M IRN
Definition des Kurvenintegrals 184
Einleitung 11 9 Rechenregeln ftir Kurvenintegrale 186
§ 1 Funktionen im lRn 120 § 3 Wegunabhangigkeit von Kurvenintegralen
Beispiele 120 und Potential 188
Veranschaulichung 121 Der Hauptsatz flir Kurvenintegrale 188
Potentiale und ihre Konstruktion 192
§ 2 Partielle Differenzierbarkeit 123
Partielle Funktionen 123 § 4 Bogenlange und Kurvenintegrale tiber
Offene Mengen 124 Skalarfelder 198
Partielle Ableitungen 125 Definition der Bogenlange 198
Kurvenintegrale tiber Skalarfelder 200
§ 3 Stetigkeit 127
Folgen im lRn 127 Zusammenfassung 202
Stetige Funktionen lRn -> lR 129
Stetige Vektorfelder 130 KAPITEL 24, DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 4 Partielle Differenzierbarkeit und Ste Einleitung 203
tigkeit 132
§ 1 Definitionen und theoretische Grundlagen 203
Stetig partiell differenzierbare Funk
Richtungsfeld 204
tionen 132
Anfangswertproblem 205
Ein Spezialfall der Kettenregel 133
& 2 Existenz- und Eindeutiakeitsfraaen 207
.t'clLL.l.t::J.....L U.l.LLeLt::llz';.l.t::LlJctLe Ve.K.LULl.e.LUeL I J"::I:
Naherungsverfahren 207
Der Gradient 135
Der Satz von Picar-Lindelof 209
§ 5 Geometrie 136
§ 3 Spezielle Differentialgleichungen
Kurven und Tangenten 136
erster Ordnung 211
Richtungsableitungen 139
Separable Differentialgleichungen 211
Gradient und Niveaumengen 1 41
Einflihrung neuer Variablen 212
§ 6 Totale Differenzierbarkeit 144
Die lineare Differentialgleichung
Lineare Approximation stetig partiell
erster Ordnung 214
differenzierbarer Funktionen 144
Bernoulli'sche und Riccati'sche
Total differenzierbare Vektorfelder 148
Differentialgleichung 217
Die Kettenregel 149
Exakte Differentialgleichungen 219
zusammenfassung 152
Kurze Zusammenfassung 222
§ 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter
KAPITEL 22, ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 1M IRN
Ordnung mit konstanten Koeffizienten 223
Einleitung 154
Losung der inhomogenen Differential
§ 1 Hohere partielle Ableitungen 154 gleichung 225
Rotation, Divergenz, Laplace-Operator 156 Randwertprobleme 228
Die Taylor-Formel 160
Zusammenfassung 228
§ 2 Lokale Extrema 162
Notwendige Bedingung 162 Losungen der Aufgaben 231
Hinreichende Bedingung 164 Sachverzeichnis 313
Vorwort zur zweiten Auflage
Auch unsere Analysis 2 bekommt nun nach mehr ist die Auswertung dieser Modelle, das Lc;sen
als 12 Jahren eine Neuauflage. Wie bei Analy- der Gleichungen mit Milfe des Rechners, ist -
sis 1 wurden nur geringere Fehler des ursprung- um ein Schlagwort zu gebrauchen - "scientific
lichen 'Textes korrigiert - auch jetzt bedeutet computing".
dies nicht, daB wir heute nicht vieles anders Das Modellieren haben wir hier und da schon
machen wiirden, wenn wir denn zeit fur eine versucht, das "Computing" haben wir vernach
Neugestaltung fanden. Naturlich ist "keine Zeit lassigt. Ein direktes Einbeziehen des Compu
haben" immer nur eine Frage von Prioritaten - ting-Aspekts (und das meint mehr als nur ein
und wenn wir nun ein Buch schreiben wollten, so biBchen Interpolation und Approximation) war
hatten die alte, bisher nicht verwirklichte damals und ist vielleicht heute noch ein metho
Idee einer Analysis 3 und die neue, reali disch schwieriges Unterfangen, das auch andere
stischere Idee, ein Buch uber partielle Diffe Autoren noch scheitern laBt. So bleibt we iter
rentialgleichungen in dieser Reihe zu machen, hin nur der Ausweg, nach einer Analysis eine
doch den vorrang. algorithmisch orientierte Numerik zu lernen.
Was wir heute nicht andern wiirden, ist der Weil dies und vieles praktisch Wichtige (mehr
stil: Die Breite der Darstellung, der Versuch, dimensionale Integrale, Fourieranalysis, Dis
den Leser personlich anzusprechen, jener Mit tributionen, Eigenwerte, Kontrolltheorie, Sta
telweg zwischen mathematischer Strenge und An tistik diskreter Strukturen usw.) noch nach
wendernahe. Das Buch ist eben nicht fur Dozen kommen muB, ist Analysis 2 ein Buch fur das
ten, sondern fur Studenten geschrieben - und zweite Semester, wie Analysis 1 im ersten Se
die Reaktion der Studenten war uberwiegend mester abgearbeitet werden muB. Da bleibt, will
positiv (was nicht heiBt, daB wir unter Kolle man nicht wie ein erbarmungsloser sturmwind
genschelte gelitten haben). uber und durch die Kopfe der Studenten brausen,
Was wir heute andern wiirden, ist teilweise der nur noch Mut zur Lucke: Die ubliche Methode,
Inhalt: Die Anspruche von Ingenieuren und Phy schlicht nicht fertig zu werden, bedeutet nur,
sikern haben sich geandert, oder wir sehen daB Lucken eben am Ende bleiben. Ob die harm
diese Anspruche heute deutlicher und damit loser sind als Kurzungen vorne (z . B. bei der
anders. So ware es fur Physiker und Nach vollstandigen Induktion am Anfang) mag be
richteningenieure nutzlich, wenn man etwas uber zweifelt werden. Wir haben versucht, das Pro
Funktionenraume erfiihre; der Aufwand ist, ver blem zu lc;sen, indem wir mit den Buchern
zichtet man auf mathematische Strenge in einem arbeiteten: Unsere Vorlesungen sollten Kommen
AusmaB, das einem das Lebesgue-MaB erspart, tare zu den verschiedenen Abschnitten sein,
nicht uberwaltigend, der Gewinn ware fur einen wobei wir davon ausgingen, daB die Studente n
Einstieg in Quanten- oder Systemtheorie be diese schon vorher gelesen hatten. Skeptiker
trachtlich. Man konnte dafur bei der geometri behalten vermutlich meistens recht: Manche
schen Deutung linearer Gleichungssysteme sparen hatten, viele hatten nicht. Trotzdem: Diese
- letztere entstehen heute sowieso meist bei Bucher sind gedacht, daB man mi t ihnen
der Diskretisierung von Differentialgleichun arbeitet, und es ist nicht einzusehen, warum
gen, und dies sollte man mehr betonen. Vorlesungen diese Arbeit nicht anregen, fiihren
Das ist anders als vor 12 Jahren: Die Compu und erganzen sollten, anstatt zu reinen Mit
tersimulation hat das Realexperiment in Physik schreibeubungen zu verkommen. Wahrend der Vor
und Technik noch mehr zuruckgedrangt - und Com Ies ung zuhoren, die Inhalte vor- und nachlesen,
putersimulation ist, auch wenn mancher Inge Papier und Bleistift daneben: Mathematik lernt
nieur dies vergiBt, Mathematik. Computersimula man durch Tun, nicht durch Konsumieren.
tion ist das Aufstellen mathematischer Glei
chungen, die einen ProzeB oder das Verhalten Kaiserslautern im Sommer 1993
eines Systems beschreiben, ist also "mathema W. Eschmann, H. Neunzert
tische Modellbildung" • Und Computersimulation
Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende Buch ist die Fortsetzung des ben. Dabei wurde streng darauf geachtet, daB
Bandes Analysis 1 in derselben Reihe; wie die die Hinweise der Kollegen von der Elektrotech
ser ist es aus Studienbriefen fur Fernstudenten nik weiterhin berucksichtigt bleiben - nochmals
der Elektrotechnik entstanden und sollte daher gilt unser Dank den Professoren Heinlein und
ebenfalls zum Selbststudium geeignet sein. Ge Freise (Kaiserslautern) sowie Professor Bausch
meinsam mit Analysis 1 uberdeckt es inhaltlich und Diplom-Ingenieur Schneider (TU Hannover).
das, was normalerweise in 2 bis 3 Semestern der
Mathematikausbildung an technischen Hochschulen Aus ganz anderem AnlaB aber nicht weniger herz
und Universitaten behandelt wird. lich haben wir Frau I. Schaumloffel und Frau
C. Kranz zu danken: Nur ihr wirklich unermud
1m Vorwort von Analysis 1 haben wir versucht,
licher Einsatz beim Schreiben des Manuskripts
unseren Standort in einer "Mathematik fur Phy
erlaubte es uns, den Fertigstellungstermin we
siker und Ingenieure" zu beschreiben; wir woll
nigstens in etwa einzuhalten.
ten einen Kurs der Mitte zwischen logisch stre~ SchlieBlich gilt unser Dank Frau B. Gohring und
ger, aber wenig anwendungsbezogener Mathematik
Herrn Dr. R.P. Konigs vom Springer-Verlag; ih
auf der einen Seite und einer fur den Anwender
rem groBen personlichen Engagement ist es zu
vermeintlich angenehmen, aber unmathematischen,
danken, daB die Gestaltung der Bucher sogar
formelhaften Darstellung auf der anderen Seite
besser, ihr Preis nur wenig hoher war als es
steuern. All dies gilt auch fur diesen zweiten
der ursprunglichen Vorstellung der Verfasser
Band. Die Kritik, die uns zum ersten Buch (ne
entsprach.
ben etlichen recht positiven Stellungnahmen)
erreichte, kam immer von einer dieser Seiten:
Fur den einen enthielt es zu viel Mathematik, ZUM INHALT DES BUCHES
zu viele Definitionen und Satze, den anderen
storte der relativ groBe Aufwand an "unmathe
matischer" Motivation und wieder andere meinten, In Analysis 1 hat ten wir vorwiegend Funktionen
daB zuviel gerechnet und zu wenig cewiesen wer einer reellen oder komplexen Variablen betrach
de. Nach unserer Meinung sind wir auf diese tet. Solche Funktionen reichen naturlich zu ei
(vorhersehbaren) Kritikpunkte schon im Vorwort ner mathematischen Beschreibung aller physika
zum erst en Band eingegangen und wiederholen da lischen oder technischen Sachverhalte bei wei
her nur in aller Kurze: Unsere Bucher sind in tern nicht aus.
erster Linie fur Anwender der Mathematik ge 1m Mittelpunkt des vorliegenden Buches stehen
dacht. Dies bedeutet aber nach unserer Meinung daher Funktionen von mehreren Veranderlichen.
nicht, daB es sich urn eine "Sammlung von Koch Zu Beginn wird der Argumentbereich solcher Fun~
rezepten" handeln darf; die Auseinandersetzung tionen, der Vektorraum mn von n-Tupeln reeller
mit der logischen Strenge der Mathematik for Zahlen, betrachtet. Punkte und (physikalische)
dert, so glauben wir, das Wissenschaftsverstan~ Vektoren des Anschauungsraumes dienen der Ver
nis von Student en der Ingenieur- und Naturwis anschaulichung des m3 • Besondere Aufmerksamkeit
senschaften. verdienen dann die linearen Funktionen auf dem
mn - schlieBlich ist es ja das Ziel der Ana
Die Texte des vorliegenden Buches weichen star lysis, beliebige Funktionen durch solche ein
ker von den Studienbriefen des Projektes "Fern fachen, eben lineare Funktionen anzunahern.
studium im Medienverbund" ab als dies beim er Ebenen und Geraden dienen wiederum der Veran
sten Band der Fall war. Drei der vier Autoren schaulichung linearerFunktionen. Skalarprodukt
hielten eine grundliche Uberarbeitung fur not und Vektorprodukt sind Hilfsmittel um geome
wendig und sind heute, nach Fertigstellung des trische Vorstellungen fur die L6sung meist ana
endgultigen Manuskriptes uberzeugt, den ur lytischer Probleme nutzbar zu machen. Matrizen,
sprung lichen Text wesentlich verbessert zu ha- lineare Abbildungen und Determinanten werden
Vorwort zur ersten Auflage IX
soweit entwickelt, wie es zu einer befriedigen Vergnugen, sogar Freude im Umgang mit der
den Behandlung linearer Gleichungssysteme und Mathematik vermittelt zu haben.
fur die Anwendungen in der mehrdimensionalen
Analysis notig ist.
Kaiserslautern im September 1981
Soviel zum ersten Teil des Buches, den wir im
W.G. Eschmann, H. Neunzert, K. Schelkes
Untertitel als Einfuhrung in die Vektor- und
Matrizenrechnung bezeichnet haben. Obwohl etwas
altmodisch klingend, bezeichnet es den Inhalt
dieses Teiles doch zutreffender als der auch
fur Ingenieurvorlesungen ahnlichen Inhalts oft
Lineare Alge ubliche Titel "Lineare Algebra". Er deutet nach
bra unserer Meinung zu stark auf rein algebraische
Inhalte hin, wie sie ja auch in Vorlesungen
dieses Titels fur Mathematiker gebracht werden.
Fur den von uns ins Auge gefassten Leserkreis
sind sie aber nicht vordringlich. "Lineare Ana
lysis" ware treffend, ist aber zumindest unge
wohnt.
Differential Der zweite Teil behandelt die Differentialrech
rechnung nung von Funktionen mehrerer Veranderlichen,
Kurvenintegrale und einfache Differentialglei
chungen. Gerade im Bereich der Differential
rechnung haben wir uns bemuht, mathematisch
saubere Definitionen auch dem Ingenieur naher
zu bringen; so ist z.B. das totale Differential
kein "formaler Ausdruck", kein "Symbol", und es
hat auch nicht direkt etwas mit "kleinen Ver
schiebungen" zu tun. Kurvenintegrale und Poten
tiale spielen in den physikalischen Grundlagen
sicher eine groBe Rolle und nehmen daher einen
relativ breiten Raum ein. Dagegen haben wir die
theoretischen Grundlagen der gewohnlichen Dif
ferentialgleichungen nur kurz behandelt und die
praktischen Losungsmethoden ausfuhrlicher dar
gestellt.
Die Bande Analysis 1 und 2 beinhalten naturlich
bei wei tern nicht die ganze vom Ingenieur oder
gar Physiker benotigte Mathematik. Sicher fallt
sofort auf, daB Eigenwertprobleme ebenso fehlen
wie die mehrdimensionale Integration; deshalb
werden auch z.B. lineare Systeme gewohnlicher
Differentialgleichungen und die Integralsatze
nicht behandelt. Fur diese und andere Fragen
ist ein weiterer Band dieser Reihe "Mathematik
fur Physiker und Ingenieure" bereits in Ent
stehung. Auch nach Vorliegen dieses dritten
Bandes wird noch viel zu tun sein, und es gibt
bereits konkrete Plane.
Die Autoren von Analysis 1 und 2 hoffen, mit Die Gedichte auf den Seiten 83 und 152 sind aus
ihren Buchern den Grundstock fur eine sinnvolle der Sammlung "Carmina Mathematica" von Hubert
und gute Mathematikausbildung von Ingenieuren Cremer (5. Auflage, 1977). Wir danken dem Ver
und Physikern gelegt zu haben; und sie hoffen lag I.A. Mayer, Aachen fur die freundliche Ge
daruber hinaus, dem Leser hin und wieder auch nehmigung zum Abdruck.
Wle arbeiten Sie mit diesem Such?
Insbesondere Wahrend Ihres Studiums der Mathematik sollten nen des Stoffes ausmacht. Sie sollten deshalb
beim Selbst
Sie eine moglichst groBe Sicherheit im Umgang Ihnen schwer verstandliche Passagen noch einmal
studium zu
beachten mit mathematischen Methoden und Ergebnissen er selbstandig (eventuell ausfUhrlicher) Schritt
langen. Urn dieses Ziel auch fUr den in diesem fUr Schritt aufschreiben. Unterstreichen von
Buch vorliegenden Stoff zu erreichen, finden Textstellen ist kein Ersatz fUr dieses Nach
Sie im Text viele Aufgaben. Diese sind in der vollziehen. Manchmal ist es auch hilfreich,
Randspalte durch ein A gekennzeichnet. Halten sich an einer schwierigen Stelle nicht festzu
Sie also beim Lesen und Lernen stets Bleistift beiBen, sondern erst einmal weiterzulesen. Nach
und Papier bereit! Die Aufgaben sind mit dem dem Sie dann ein Beispiel nachvollzogen, eine
(bis zu der jeweiligen Aufgabe) gebrachten Stoff Aufgabe selbst gerechnet oder weitere Informa
zu losen. Die zu erstellenden Losungen sind zum tionen gelesen haben, nehmen Sie sich diese
Teil umfangreicher als Sie es vielleicht vom Stelle noch einmal vor. Und siehe da ...
erst en Band gewohnt sind. Solche Aha-Erlebnisse lassen gelegentlich auch
etwas langer auf sich warten.
Am Ende des Buches (ab Seite 231) finden Sie
die "Losungen der Aufgaben". Diese Losungen
Wenn Sie beim Lesen auf Begriffe oder Ergebnis
gliedern sich fUr die meisten Aufgaben in "1)
se stoBen, die Ihnen nicht ganz klar sind, 5011-
Hinweise" und "2) Losung". Sollte Ihnen bei ei
ten Sie sofort nachschlagen. Bei dieser Suche
ner Aufgabe nach einigen Anlaufen eine eigene
helfen Ihnen die im Text stehenden Zitate (z.B.
Losung nicht gelingen, so sollten Sie zunachst
bedeutet (23.41) ein Ergebnis aus Kapitel 23),
die "Hinweise" lesen und dann neue Losungsver
das Sachverzeichnis ab Seite 313 und die Margi
suche unternehmen. Wenn Ihnen auch die "Hinwei
nalien in den Randspalten. Wir haben die Nume
se" nicht weiterhelfen, (was durchaus mehrfach
rierung der Kapitel von ANALYSIS 1 in diesem
vorkomrnen kann), so ziehen Sie die komplette
Band fortgesetzt. Deshalb beginnt das Buch mit
Losung zu Rate und vergleichen diese mit Ihren
zuvor angestellten Uberlegungen. Sehen Sie sich
oft zur Verdeutlichung mit dem Zusatz "ANALY
jedoch die Losung auch dann an, wenn Ihnen die
SIS I" versehen.
Bearbeitung der Aufgabe gelingt. Zum einen er
KUM~V gedJtuclU:e TextpM,6ageVl enthalten keinen Lehr
kennen Sie vielleicht, welchen anderen (eventu
text sondern geben Ihnen Erlauterungen, Hinwei
ell kUrzeren) Losungsweg es noch gibt; zum an
se oder Beschreibungen.
deren schleichen sich beim Erlernen der Mathe
Klein gedruckte Textpassagen konnen Sie beim ersten
matik sehr leicht Denkfehler ein, die Sie beim
Lesen Uberschlagen.
tiberprUfen entdecken konnen.
Wir wUnschen Ihnen viel Erfolg!
Sie werden bald merken, daB das bloRe Durchle
sen des Lehrtextes noch kein Verstehen oder Ler-
