Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen

238 Pages·2013·1.389 MB·German

by  Otto Forster (auth.)

Grundkurs Mathematik
Otto Forster
Analysis 2
n
Diff erentialrechnung im ,
R
gewöhnliche
Diff erentialgleichungen
. Aufl age
Grundkurs Mathematik
Berater
Prof. Dr. Martin Aigner,
Prof. Dr. Peter Gritzmann,
Prof. Dr. Volker Mehrmann,
Prof. Dr. Gisbert Wüstholz
Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe im
handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen
Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind
didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Bei-
spiele und Übungsaufgaben.
In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der
Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Ma-
thematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissen-
schaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der
Sekundarstufe II.
Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto
Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktuali-
sierter Neuauflage.
Otto Forster
Analysis 2
n
Differentialrechnung im ,
(cid:0)
gewöhnliche Differentialgleichungen
10., verbesserte Auflage
Prof. Dr. Otto Forster
Ludwig-Maximilians-Universität
München, Deutschland
[email protected]
ISBN 978-3-658-02356-0 ISBN 978-3-658-02357-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-02357-7
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V
Vorwort zur ersten Au(cid:384)age
Der vorliegendeBand stelltden zweiten Teil eines Analysis-Kursesfu¨r Stu-
dentenderMathematikundPhysikdar.
Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen
mehrererreellerVera¨nderlichen.NacheinerEinfu¨hrungindietopologischen
Grundbegriffewerden Kurven im Rn, partielleAbleitungen, totale Differen-
zierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen
undparameterabha¨ngigeIntegralebehandelt.
Das zweiteKapitelgibteinekurze Einfu¨hrungindieTheorieder gewo¨hnli-
chenDifferentialgleichungen.NachdemBeweisdesExistenz-undEindeutig-
keitssatzesundderBesprechungderMethodederTrennungderVariablenwird
besondersaufdieTheoriederlinearenDifferentialgleichungeneingegangen.
WieimerstenBandwurdeversucht,allzugroßeAbstraktionenzuvermeiden
unddieallgemeineTheoriedurchvielekonkreteBeispielezuerla¨utern,insbe-
sonderesolche,diefu¨rdiePhysikrelevantsind.
BeiderBemessungdesStoffumfangswurdeberu¨cksichtigt,daßdieAnalysis
2meistimSommersemestergelesenwird,indemwenigerZeitzurVerfu¨gung
stehtalsineinemWintersemester.WegenderKu¨rzedesSommersemestersist
nachmeinerMeinungeinebefriedigendeBehandlungdermehrdimensionalen
Integrationim2.Semesternichtmo¨glich,diebesserdem3.Semestervorbe-
haltenbleibt.
Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im
Sommersemester1971anderUniversita¨tRegensburggehaltenhabe.Dieda-
maligeVorlesungs-AusarbeitungwurdevonHerrnR.Schimplangefertigt,dem
ichhierfu¨rmeinenDanksage.
Mu¨nster,Januar1977 O.Forster
VI
Vorwort zur 6. Au(cid:384)age
NachdemderersteBandderAnalysisvoreinigenJahreneinegru¨ndlicheU¨ber-
arbeitungerfahrenhat,wurdenunauchderzweiteBandeinerNeubearbeitung
unterzogen. Einerseits erhielt der Text durch TEX-Satz eine scho¨nere a¨uße-
reForm,wasauchku¨nftigeA¨nderungenerleichtert.Zumanderenwurdedas
Buch auch inhaltlich u¨berarbeitet. Neben kleineren Vera¨nderungen im Text
wurdeimerstenTeilderParagraphu¨berimpliziteFunktionendurcheinenPa-
ragraphenu¨berdifferenzierbareUntermannigfaltigkeitendesRn erga¨nzt.Der
zweiteTeilu¨bergewo¨hnlicheDifferentialgleichungenbeginntnunnichtmehr
mitdemallgemeinenExistenz-undEindeutigkeitssatz,sonderneswerdenzu-
erst zur Motivation verschiedene elementar lo¨sbare Differentialgleichungen
behandelt. Vor die allgemeine Lo¨sungstheorie linearer Differentialgleichun-
genmitkonstantenKoef(cid:383)zientenwurdeeineigenerParagraphmiteinfachen
(linearen und nicht-linearen) Differentialgleichungen 2. Ordnung eingefu¨gt,
diefu¨rdiePhysikrelevantsind.
Mu¨nchen,Ma¨rz2005 OttoForster
Vorwort zur 10. Au(cid:384)age
Fu¨rdievorliegende10.Au(cid:384)agewurdenin§16einigeinstruktiveBilderu¨ber
dieLo¨sungskurvenvonlinearenDifferentialgleichenmitkonstantenKoef(cid:383)zi-
enten im R2 hinzugefu¨gt. Außerdem wurden Druckfehler korrigiert, die mir
dankenswerterweisevonvielenaufmerksamenLeserngemeldetwordensind.
IchbinauchweiterhinallenLeserinnenundLeserndankbar,diezurAktuali-
sierungderErrata-Listebeitragen(sieheSeiteVIII).
Mu¨nchen,Ma¨rz2013 OttoForster
VII
Inhaltsverzeichnis
I. DifferentialrechnungimRn 1
1 TopologiemetrischerRa¨ume 1
2 Grenzwerte.Stetigkeit 15
3 Kompaktheit 28
4 KurvenimRn 40
5 PartielleAbleitungen 51
6 TotaleDifferenzierbarkeit 66
7 Taylor-Formel.LokaleExtrema 77
8 ImpliziteFunktionen 90
9 Untermannigfaltigkeiten 104
10 Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen 118
II. Gewo¨hnlicheDifferentialgleichungen 135
11 ElementareLo¨sungsmethoden 135
12 Existenz-undEindeutigkeitssatz 149
13 LineareDifferentialgleichungen 165
14 Differentialgleichungen2.Ordnung 179
15 LineareDifferentialgleichungenmitkonstantenKoef(cid:383)zienten 199
16 SystemelinearerDiff’gleichungenmitkonstantenKoef(cid:383)zienten 213
Literaturhinweise 225
Namens-undSachverzeichnis 226
Symbolverzeichnis 226
VIII
Webseite
Fu¨rdieAnalysis2gibteseineWebseite,dieu¨berdieHomepagedesVerfassers
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster
erreichbar ist. Dort ist jeweils eine aktuelle Liste der bekannt gewordenden
Errataabgelegt.
IchbinallenLeserinnenundLeserndankbar,diemirperEmailan
[email protected]
FehlermeldungenodersonstigeKommentarezusenden.
OttoForster
1
Kapitel I
Differentialrechnung im Rn
§ 1 Topologie metrischer Ra¨ume
Fu¨runserespa¨terenUntersuchungenvonFunktionenmehrererVera¨nderlichenbrau-
chenwiru.a.einigetopologischeGrundbegriffeimRnwieUmgebung,offeneMen-
ge, abgeschlossene Menge, Rand. Diese Begriffe ko¨nnen alle auf den Begriff des
Abstandszuru¨ckgefu¨hrt werden.Wirbetrachten dahergleichallgemeiner metrische
Ra¨ume,dassindMengen,aufdeneneingewissenAxiomengenu¨genderAbstandsbe-
griffgegebenist.
De(cid:383)nition. Sei X eine Menge. Unter einer Metrikauf X versteht man eine
Abbildung
d:X×X−→R, (x,y)(cid:3)→d(x,y)
mitfolgendenEigenschaften:
i) d(x,y)=0genaudann,wennx=y.
ii) Symmetrie:Fu¨rallex,y∈X gilt
d(x,y)=d(y,x).
iii) Dreiecksungleichung(Bild1.1):Fu¨rallex,y,z∈X gilt
d(x,z)(cid:2)d(x,y)+d(y,z).
O. Forster, Analysis 2, Grundkurs Mathematik,
DOI 10.1007/978-3-658-02357-7_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013