Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Stefan Hildebrandt
Analysis 2
Mit Abbildungen
122
i
Springer
Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt
Universitiit Bonn
Mathematisches Institut
BeringstraBe 1
53115 Bonn, Deutschland
Mathematics Subject Classification (2000): 26-01 sowie 34-01, 42-01
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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Der Holzschnitt auf dem Umschlag stellt das Sternbild LEO dar und wurde dem astronomischen Lehrgedicht
Mythographus, Poeticon Astronomicon des romischen Schriftstellers Hyginus entnommen, das 1482 von
Erhard Ratdolt in Venedig gedruckt wurde.
ISBN 978-3-540-43970-7 ISBN 978-3-642-18972-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-18972-2
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003
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Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer TJlX-Makropakets
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Gedruckt auf săurefreiem Papier 44/3142Ck -5 4 3 2 1 o
Vorwort
De!"vorhcgendeBandschliebt cine EiufuhruugindieGrundlegen dcrDifferential
lind Intcgralrechnung aboSic ist so angclegt, daBcinerseits die ncnere Auffes
sting der Analysis durchscheint. unci anderersetts moghchst viele der Hilfsmit
tel entwickelt werden, die man schon fruhaeitig beniitigt, urn den Voriesungen
der angewandten Naturwissenschaften wie etwa dec Physik folgen zu konnen.
Dies Iiefi sich nur durch einige Beschraukungen erreichen. Bcisplelswelse wird
statt des mehrdimensionalen Lebesgucschen Integralsdas Riemannsche Integral
behaudelt, das sich in aller KOr7R einftihren laBt., weil dee N6tigste schon im
eindlmeusionalen Fall gesagt ist,
Die hier hehandelten Dinge umfassenden Stoff der Vorlesung AnalysisII,,...iesie
ublichcrweiso au deutschcn Hochschulcn gelehrt wlrd, lind dariiber hinaus Teile
der Analysis III sowteder Funktioncntheorie.Esschelnt mir ntltzfich und fl{iti~,
den Leser schon fruh mit den Idcen und Res ultaten der komplexen Analysis ver
treut worden zu lassen. Ubcrdil:'S bietet derResiduenkalkilldie Mogllchkelt,unei
gentlichcIntcgraleelegautuudin natiirlichcr\Vcisezu berechnen:schlieBlichsind
Euler und Cauchy durch das Problem der Integralberochnung zur Funkt.ionen
thconc gelangt. Hicr schlie6t sichdie Behandlung der Fouriertransformation an,
die cines der wichtigsten Hilfsmittel dcr Xlathcmatik lind Ausgangspunkt dcr
harmonisehcn Analysis ist.
Zur Vorbereitungwird friihzeitig der I3egriffdes Kurvenintegralsentwickelt,was
auch den Vorteil bictet, beizeiten Potentiale von Vektorfeldern befriedigeud be
handeln zu konnen. Es folgt ein AbriB der Diffcrentialgeometrie von Kurven,die
in cinfiihrenden Vorlesungen viclfach nlcht oder nur sttefmnttcrllch dargestellt
wird, obwohl gerade die Kurventheorie faszinierenden Stoff fur den Matherne
tlkuuterrirht im Gymnasium bidet lind uberdtes fur das Verstandnls der 1\1e
chanikvorlesung uncntbehrlich ist. Aus letzterem Orunde findet slch auch elne
Daratellungdcr Ek-mentedec Variationsrechnungmitsamt Erhaltungseatzen von
Emmy Noether, holoucmen Xebenbcdingungen und zahlreichcn Belspiclcn, un
tcr Einschluf mehrdimensionaler vartanouslntegralc.Demgleichen Zwcck dient
die Behandlung der Legendretransformation,VOIl Variationsprinzipien wieetwa
dem Prinzip der klelnstcn Wlrkung, der Dtfforenttalglek-hungen auf Mannigfal
tlgkeiten und des Liouviilescheu Satzes, dec zeigt, daf Hamiltonsche Systeme
VI Vorwort
maBtreueFlusse erzeugen. Alldieserfordert die in Absehnitt 2.3 untersuehtedif
ferenzierbare Abhangigkeit der Losungen von Anfangswertproblemen bezliglieh
Parametern;erst so wird gesiehert, daf Phasenflusse Diffeomorphismen generie
ren.
Eingesehlossen ist aueh eine eingehende Behandlung konvexer Mengen und kon
vexer Funktionen;diese wiehtigen Begriffe ersehienen im ersten Band nur in den
Aufgaben.
DifferenzierbareMannigfaltigkeiten werdenin Gestalt gleiehungsdefinierterMan
nigfaltigkeiten untersueht. Damit lassen sieh viele wesentliehe Ideen und Resul
tate der globalen Analysis ohne weitergehende Begriffeder mengentheoretisehen
Topologie erlautern. Hinzu kommt ein Absehnitt uber Flachenverdickung und
Abstandsfunktion.Diessind grundlegendegeometrisehe Hilfsmittel,die aueh zur
globalen Definition desFlacheninhalts und allgemeiner von Flachenintegralen so
wiezu einem geometrisehen Beweisdes GauBsehen Integralsatzesfuhren, Zudem
enthalt die Abstandsfunktion viele geometrisehe Eigensehaften einer Mannig
faltigkeit und ist unentbehrlieh bei der Untersuehung von Randwertaufgaben
niehtlinearer partieller Differentialgleiehungen.
Aueh dieser zweite Band umfaBt mehr, als im ublichen Vorlesungsturnus gelehrt
werden kann. Daher ist alles hier Gebraehtesoausftihrlich dargestellt,dafessieh
im Selbststudium oder in einem Proseminar bewaltigen laBt. Ieh hoffe, dureh
die beiden vorliegenden Bande den Leser ausreiehend auf die weiterftihrenden
Vorlesungen vorbereitet zu haben.
In dem geplanten dritten Band wird das Lebesguesehe Integral unter versehie
denen Aspekten betraehtet. Daneben werden der Kalkul der alternierenden Dif
ferentialformen und das allgemeine Konzept der Analysis auf differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten behandelt. Hinzu kommt eine Einfuhrung in die Funktional
analysis, insbesonderein dieTheorieder metrisehen Raume,und eine Erganzung
zur komplexen Analysis, wobei insbesondere konstruktive Verfahren untersucht
werden.
Allen Kollegen und Studenten, die sich an der kritischen Durchsicht des Textes
und am Korrekturlesen beteiligt haben, danke ich wiederum sehr herzlich, ins
besondere den Herren Daniel Habeck,Ruben Jakob,Michail Lewintan, Andreas
Ratz,BerndSchmidt und DanielWienholtz.Letzteremwie auch HerrnLewintan
verdanke ich zahlreiche Abbildungen. Die Herren Carl-Friedrich Bodigheimer,
Mariano Giaquinta, Joachim Naumann und Arnold Staude haben mir mehrere
Korrekturen und Anderungsvorschlage zukommen lassen, wofur ich ihnen be
stens danke,ebenso wie Frau Beate Leutloffund Frau Anke Thiedemann fur die
geduldige und sorgfaltige TEX-Erfassung meines Manuskriptes.
Bonn, November 2002
Stefan Hildebrandt
Inhaltsverzeichnis
1 Differentialrechnung fUr Funktionen mehrerer Variabler 1
1 Partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variabler 2
2 Differenzierbarkeit. Differential. Tangentialebene . . . . . 16
3 Parameterabhangige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Differenzierbarkeit parameterabhangiger uneigentlicher Integrale 31
5 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Taylorformel fur Funktionen mehrerer Variabler . 52
7 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen 66
9 Invertierbare Abbildungen 77
10 Legendretransformation . 84
11 Satz von Heine-Borel. Lipschitzstetigkeit. Nullmengen 94
2 Kurven und Kurvenintegrale 103
1 Bogenlange. Kurven- und Wegintegrale . 104
2 Kriimmung und Windung. Frenetsche Fonneln 134
3 Das Anfangswertproblem III . 154
4 Eindimensionale Variationsrechnung 162
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Holomorphe Funktionen, Residuen, Fouriertransformation 193
1 Holomorphe Funktionen 194
2 Cauchys Integralformel . 208
3 Potenzreihen und holomorphe Funktionen 224
4 Gebietstreue, Maximumprinzip, Schwarzsches Lemma 237
5 Nullstellen holomorpher Funktionen.Satzevon Hurwitz und Rouche242
6 Abelscher Grenzwertsatz.Satz von Tauber . . . . . . . . . . . . . 247
7 Isolierte Singularitaten, Laurentreihen. Meromorphe Funktionen 250
8 Berechnung uneigentlicher Integrale mit dem Residuensatz . 261
9 Das Fouriersche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10 Die Fouriertransformation auf dem Schwartzschen Raume S 285
4 Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten 295
1 Satz ilber implizite Funktionen. Mannigfaltigkeiten im lRn 296
2 Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit 306
3 Extrema mit Nebenbedingungen. Lagrangesche Multiplikatoren 310
4 Enveloppen . . . . . . . .... . . .. . . .. . 323
5 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten . 340
6 Abstandsfunktion und Eikonalgleichung 346
5 Integralrechnung im lRn 359
1 Quadrierbare Mengen, Inhalt und Integral im lRn 359
2 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . 391
3 Pararneterabhangige Integrale. Eulersche Differentialgleichung . 408
4 Uneigentliche Integrale im lR". Newtonsches Potential . . . .. 420
6 FHichenintegrale und Integralsatze 433
1 Flacheninhalt .. 433
2 Flachenintegrale 455
Inhaltsverzeichnis IX
3 Die Integralsatze von Cauf undGreen 470
4 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . 490
Kapitel 1
Differentialrechnung fur
Funktionen mehrerer
Variabler
In diesem Kapitel behandeln wir die Differentialrechnung fur Funktionen meh
rerer Variabler. Des besseren Verstandnisses wegen entwiekeln wir alle Begriffe
im JRn, also mittels kartesischer Koordinaten.
Wir beginnen in Abschnitt 1.1 damit, die Begriffe partielle Differenzierbarkeit,
partielle Ableitung, Richtungsableitung, Gradient, Divergenz und Rotation ein
zuftihren und erste Eigenschaften partiell differenzierbarer Funktionen herzu
leiten. In Abschnitt 1.2 wird der Begriff der (totalen) Differenzierbarkeit defi
niert und untersucht,inwieweit er mit der partiellen Differenzierbarkeit uberein
stimmt; es zeigt sich, daf beide Begriffe auf der Klasse C1(0,JRN) der stetigen
Funktionen f : 0 JRN mit stetigen ersten partiellen Ableitungen uberein
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stimmen. Im Anschluf daran wird die Tangentialebene eines differenzierbaren
Graphen definiert, und es werden die Begriffe totales Differential, Differential
form ersten Grades (l-Form) und Kovektorfeld eingefuhrt. SchlieBlich wird die
allgemeine Form der Kettenregel angegeben.
In Abschnitt 1.3 wird die Differenzierbarkeit bestimmter Integrale nach einem
Parameter untersucht. Das so gewonnene Ergebnis fiihrt zu dem wichtigen Satz
von B.A. Schwarz ilber die Vertauschbarkeit zweier partieller Ableitungen. Par
tielle Ableitungen hoherer Ordnung werden in 1.5 studiert, und anschlieBend
werden der Begriffdes Potentiales eines Vektorfeldes definiert und notwendige
sowie hinreichende Bedingungen fur die Existenz eines Potentiales aufgestellt.
In 1.6wird die Taylorsche Formel fur Funktionen mehrererVariabler hcrgeleitet.
S. Hildebrandt, Analysis 2
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
