Analysis 1, Second Edition (Springer-Lehrbuch)

503 Pages·2002·3.794 MB·German

by  Stefan Hildebrandt

Springer-Lehrbuch
Stefan Hildebrandt
Analysis 1
Zweite,korrigierteAuflage
Mit76Abbildungen
123
Prof.Dr.Dr.h.c.mult.StefanHildebrandt
UniversitätBonn
MathematischesInstitut
Beringstraße1
53115Bonn,Deutschland
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DatensindimInternetüberhttp://dnb.ddb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2000):26-01sowie34-01,42-01
ISBN-10 3-540-25368-8 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-25368-6 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN3-540-42838-0 1.Aufl. Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort zur zweiten Auflage
Neben einigen kleinen A¨nderungen habe ich haupts¨achlich Korrekturen ange-
bracht,dieichvornehmlichdenHerrenBemelmans,DierkesundJakobverdanke.
Ferner sind einige historische Abbildungen hinzugekommen.
Bonn, Februar 2005 Stefan Hildebrandt
Vorwort
DasvorliegendeBuchumfaßtdenStoffderVorlesungAnalysisI,wiesiegew¨ohn-
lich an deutschen Hochschulen gelehrt wird, und daru¨ber hinaus einiges mehr,
das u¨blicherweise erst im zweiten oder dritten Semester gebracht wird. Dazu
geh¨oren beispielsweise eine Einfu¨hrung in die Theorie der gew¨ohnlichen Diffe-
rentialgleichungen und der Fourierreihen sowie ein Ausblick auf die Theorie des
Hilbertraums.InsbesonderedurchziehendieDifferentialgleichungendiesesLehr-
buch wie ein roter Faden, und alle wesentlichen Begriffe und Resultate werden
fru¨hzeitig an ihnen erprobt. Dies hat den Vorteil, daß der Leser beizeiten mit
denHilfsmittelnvertrautwird,dieindenangewandtenWissenschaftenwieetwa
der Physik sogleich benutzt werden. Außerdem entspricht es auch der histori-
schen Entwicklung: Es waren Probleme der Geometrie, Astronomie und Physik,
an denen die fu¨hrenden Wissenschaftler der Neuzeit ihre F¨ahigkeiten erprobten
und die zur Entstehung der Analysis fu¨hrten.
Um aber Differentialgleichungen angemessen zu erfassen und geometrisch sach-
gem¨aß deuten zu k¨onnen, ist es erforderlich, von Anfang an den Begriff des
n-dimensionalen euklidischen Raumes zu benutzen. Zwar ist dies nicht die u¨bli-
che Einteilung der Analysis (die eindimensionale Infinitesimalrechnung im er-
sten Semester, sp¨ater die mehrdimensionale), man kann aber ohne weiteres im
vorliegenden Lehrbuch alles H¨oherdimensionale weglassen. Das Verbleibende ist
zusammenh¨angendundrichtiggeordnetundbieteteinevollst¨andigeDarstellung
des herk¨ommlichen Stoffs, so daß der an einer konventionellen Analysis I-Vor-
lesung Interessierte nichts entbehren wird.
Dieses Buch umfaßt mehr, als in einer vierstu¨ndigen Vorlesung gelehrt werden
kann. Ich habe daher in meinen Bonner Vorlesungen die Theorie der Reihen
VI
amAnfang knappgehalten und erstimKontext der Funktionentheorie ausfu¨hr-
licher besprochen. Es genu¨gt zun¨achst, die Exponentialreihe gut zu verstehen.
Dies gelingt ohne den etwas mu¨hseligen Apparat der Potenzreihen, indem man
die wesentlichen Eigenschaften der Exponentialfunktion aus ihrer Differential-
gleichung erschließt, und diese l¨aßt sich herleiten, ohne die Funktionalgleichung
E(x)E(y)=E(x+y) zur Verfu¨gung zu haben. A¨hnlich werden die Eigenschaf-
ten der trigonometrischen Funktionen aus ihren definierenden Differentialglei-
chungen gewonnen, indem man eit = cost+isint als gleichf¨ormige Bewegung
der Geschwindigkeit Eins auf dem Einheitskreis deutet. Die Abschnitte 1.19–
1.21 k¨onnen also ohne weiteres u¨bersprungen werden, und vieles aus 1.14, 1.17
und 1.12 geh¨ort ohnehin in die Lineare Algebra und darf als bekannt vorausge-
setzt werden, sofern diese Vorlesung in geeigneter Weise aufgebaut wird. Der so
gew¨ahlteZugangzurAnalysisbietetdenVorteil,sehrschnellzudenFunktionen
und ihren wesentlichen Eigenschaften zu gelangen, womit sich ohne weiteres der
ganze Stoff der Kapitel 2 und 3 und einiges von Kapitel 4 in einem Semester
darlegen l¨aßt. Alles ist so ausfu¨hrlich dargestellt, daß das Verbleibende gut in
einem Proseminar oder im Selbststudium bew¨altigt werden kann.
NichtjedermageingenaueresStudiumderReihenamAnfangentbehren,zumal
dort der Grenzwertbegriff gru¨ndlich und gut an Hand vieler Beispiele eingeu¨bt
wird. Um die Analysis mit Reihen aufbauen zu k¨onnen, sind die Abschnitte
1.19–1.21 eingefu¨gt.
Ich habe der Versuchung widerstanden, den Begriff des metrischen Raumes an
den Anfang zu stellen. Es schien mir besser, erst allm¨ahlich und an Hand vieler
BeispieledieNu¨tzlichkeit funktionalanalytischer Begriffsbildungdarzulegen.Ich
hoffe, daß so ein Lehrbuch entstanden ist, das sowohl als begleitender Text zu
einer Vorlesung wie auch zum Selbststudium geeignet ist.
Allen Kollegen und Studenten, die sich an der kritischen Durchsicht des Textes
undamKorrekturlesenbeteiligthaben,dankeichsehrherzlich,insbesondereden
Herren Daniel Habeck, Ruben Jakob, Michail Lewintan, Andreas R¨atz, Bernd
Schmidt und Daniel Wienholtz. Letzterer hat auch die Abbildungen gezeichnet.
Frau Beate Leutloff und Frau Anke Thiedemann danke ich fu¨r die sorgf¨altige
TEX-Erfassung meines Manuskriptes.
Bonn, Dezember 2001 Stefan Hildebrandt
VII
Erste Seite von Archimedes’ Arbeit u¨ber die Kreismessung, publiziert in Com-
mandinosU¨bersetzungvon1558.InPropositionIIIdieserAbhandlungwirdfest-
gestellt,daßdasVerh¨altnisvonKreisumfangzuKreisdurchmesser(=π)zwischen
1 10
3 und3 liegt.
7 71
VIII
Im ersten Band der Acta Eruditorum (1682) erschien Leibniz’ Formel fu¨r den
Fl¨acheninhaltdesindasEinheitsquadrateinbeschriebenenKreises:
π 1 1 1 1 1
=1− + − + − +... .
4 3 5 7 9 11
IX
Der Marquis de l’Hospital publizierte 1696 das erste Lehrbuch der Analysis; es
beruhtaufManuskripten,dieervonJohannBernoullierhielt.
X
Im Jahre 1711 publizierte William Jones einige Abhandlungen Newtons u¨ber
Infinitesimalrechnung,dieseitlangemalsManuskriptevorgelegenhatten.Einige
Resultatewarenbereits1704alsAnhangzuNewtons Opticks“gedrucktworden.
”