Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles

115 Pages·2016·1.79 MB·French

Analyse variationnelle
des équations aux
dérivées partielles
Polycopié du cours
MAP 431
DépartementdeMathématiquesAppliquées
Grégoire ALLAIRE - François ALOUGES
ÉcolePolytechnique,année2015-2016
11
22
SSoommmmaaiirree
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Préface
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 LAMÉTHODEDESÉLÉMENTSFINIS
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II ÉlémentsfinisP endimension1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1
III ÉlémentsfinisP endimension1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2
IV ÉlémentsfinisendimensionN ≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Pourallerplusloin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
V.1 Élémentsfinisrectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
V.2 Noteshistoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V.3 Maillageuniformeounonuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercices
2 FORMULATIONVARIATIONNELLEDESPROBLÈMESELLIPTIQUES . . . . . 20
I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Approchevariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.1 FormulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2 Formulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
III ThéoriedeLax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.1Cadreabstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.2ApplicationauLaplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IV Pourallerplusloin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
IV.1Régularitédesouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
IV.2Noteshistoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 ESPACESDESOBOLEV
I Introductionetavertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II Fonctionsdecarrésommableetdérivationfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.1 Quelquesrappelsd’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.2 Dérivationfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III Définitionetprincipalespropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.1EspaceH1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.2EspaceH1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
0
III.3TracesetformulesdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.4Unrésultatdecompacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III.5EspacesHm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV Pourallerplusloin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercices
4 ÉTUDEMATHÉMATIQUEDESPROBLÈMESELLIPTIQUES . . . . . . . . . . . 47
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II ÉtudeduLaplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.1 ConditionsauxlimitesdeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2 ConditionsdeDirichletnonhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.3 ConditionsauxlimitesdeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III Pourallerplusloin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.1Principedumaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.2Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.3Exempledesingularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . 63
5 ANALYSEDELAMÉTHODEDESÉLÉMENTSFINIS
I Approximationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.2 Approximationinternegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.3 Convergenceetestimationd’erreurendimension1 . . . . . . . . . . . . . . . 65
I.4 ÉlémentsfinisP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
I.5 Propriétésqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
I.6 Convergenceetestimationd’erreurendimensionN ≥2 . . . . . . . . . . . . . 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercices
6 APPLICATIONENMECANIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II Coefficientsvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III Systèmedel’élasticitélinéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV ÉquationsdeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 PROBLÈMESAUXVALEURSPROPRES
I Motivationetexemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
I.2 Résolutiondesproblèmesinstationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II Valeurspropresd’unproblèmeelliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.1 Problèmevariationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.2 ValeurspropresduLaplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
II.3 Autresmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III Méthodesnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.1Discrétisationparélémentsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV Calculdevaleursetvecteurspropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.1Méthodedelapuissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.2MéthodedeGivens-Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercices
iiii
. . . . . . . . 100
8 RAPPELSETCOMPLEMENTSSURLESESPACESDEHILBERT
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
II LesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
II.1 ThéorèmedeRiesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
II.2 Convergencefaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
III ApplicationdanslesespacesdeSobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
III.1Théorèmesdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
III.2Laméthodedirecteducalculdesvariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV Pourallerplusloin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Index
ii
Préface
L’objectifdececoursestd’introduirelelecteuraumondedelamodélisationmathématiqueetdela
simulationnumérique qui ont pris une importance considérable ces dernières décennies dans tous
lesdomainesdelascienceetdesapplicationsindustrielles(ousciencesdel’ingénieur).Lamodélisa-
tion mathématique est l’art (ou la science, selon le point de vue) de représenter (ou de transformer)
une réalité physique en des modèles abstraits accessibles à l’analyse et au calcul. La simulation nu-
mériqueest,biensûr,leprocessusquipermetdecalculersurordinateurlessolutionsdecesmodèles,
etdoncdesimulerlaréalitéphysique.
Plus que pour tout autre discipline l’ordinateur a été une révolution pour les mathématiques : il en
a fait une science expérimentale! On fait des “expériences numériques” comme d’autres font des
expériences physiques, et la conception ainsi que l’analyse des méthodes de calcul sur ordinateur
sontdevenuesunenouvellebranchedesmathématiques:c’estlasimulationnumérique.Cesprogrès
ont aussi permis aux mathématiques de s’attaquer à des problèmes beaucoup plus complexes et
concrets, issus de motivations immédiates industrielles ou scientifiques, auxquels on peut apporter
des réponses à la fois qualitatives mais aussi quantitatives : c’est la modélisation mathématique.
L’analyse numérique est donc la discipline qui conçoit et analyse les méthodes ou algorithmes de
calculnumérique.C’estdoncunoutilessentielpourlamodélisation.
Les objectifs de ce cours sont multiples. Il s’agit tout d’abord de comprendre comment le point de
vue variationnel permet d’aborder certains problèmes d’équations aux dérivées partielles sous un
abord inhabituel. Ce point de vue s’avère riche et puissant. Il permet notamment d’introduire les
éléments théoriques qui conduiront à la résolution du problème (démontrer l’existence et l’unicité
delasolutiondansuncadreadéquat)puisdeconstruirelaméthodedesélémentsfinis,quis’appuie
surlesconsidérationsthéoriquesdefaçonàfournirnaturellementunmoyend’approcherlasolution
(qui,biensouvent,n’estpascalculableexplicitementautrement).
L’ambition de ce cours est de donner les bases qui permettront aux futurs ingénieurs de bureau
d’études ou de recherche et développement de créer de nouveaux modèles et de nouveaux algo-
rithmesnumériques pour des problèmes plus compliqués non discutés ici. Cependant, même ceux
quinesedestinentpasàunetellecarrièreontintérêtàbiencomprendrelesenjeuxdelasimulation
numérique.Eneffet,denombreusesdécisionsindustriellesoupolitiquesseprennentdésormaissur
la foi de calculs ou de simulations numériques. Il importe donc que les décideurs aient la capacité
de juger de la qualité et de la fiabilité des calculs qui leur sont présentés. Ce cours leur permet-
tra de connaître les premiers critères qui garantissent la validité et la pertinence des simulations
numériques.
Cecoursestd’unniveauintroductifetn’exigeaucunautreprérequisqueleniveaudeconnaissances
acquisenclassespréparatoiresouenpremiercycleuniversitaire.Lepolycopiéaétéécritàpartirde
la classe mathbook de Stéphane Pasquet1 qui fournit un résultat très agréable à lire. Les auteurs le
remercientainsiquetousceuxquivoudrontbiensignalerd’éventuelleserreursouimperfectionsde
cetteédition,parexempleparcourrierélectroniqueàl’[email protected].
G.Allaire,F.Alouges
Palaiseau,Janvier2016
1. Voirwww.mathweb.fr.
iiii
Chapitre 1
LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS
FINIS
II Introduction
La méthode des éléments finis est à la base de ce cours. Bien qu’elle ait été introduite en dimension
1 lors du cours MAP411, nous allons en reprendre les concepts de base et en étendre largement
leschampsd’application.Nousverronsenparticuliercommentproposerdesméthodesnumériques
permettantderésoudredesproblèmesauxlimitesendimensionsupérieureetcommentlaméthode
débouche naturellement sur des concepts mathématiques puissants qui permettent de résoudre les
mêmes problèmes en dimension infinie. Enfin, nous ferons le lien avec le point de vue variationnel
quipermetégalementdemieuxcernerlesprincipesmathématiquesfondamentauxsous-jacents.
Nousconsidéronspourdébuterl’expositionleproblèmemodèlesuivant
(cid:40) −u(cid:48)(cid:48) =f dans]0,1[
(1.1)
u(0)=u(1)=0.
Remarquons d’emblée qu’il s’agit d’une équation différentielle ordinaire du second ordre que l’on
doit résoudre sur ]0,1[. L’originalité par rapport aux problèmes dits “de Cauchy” dans lesquelles
la variable x est habituellement le temps et deux conditions intiales (le problème est du deuxième
ordre) sont données, est qu’ici nous donnons une seule condition mais au bord de l’intervalle, c’est-
à-direàgauche,en0,etàdroiteen1.
Larésolutionexplicitedecetteéquationdifférentielleestimmédiatepuisquel’onad’abord
(cid:90) s
u(cid:48)(s)=− f(t)dt+C ,
1
0
oùC estuneconstanteàdéterminer.Onpeutalorsréintégreren
1
(cid:90) x (cid:90) x(cid:32)(cid:90) s (cid:33)
u(x)= u(cid:48)(s)ds=− f(t)dt ds+C x+C
1 2
0 0 0
où C est une nouvelle constante à déterminer. Les deux conditions au bord (u(0) = u(1) = 0) per-
2
(cid:82)1(cid:16)(cid:82)s (cid:17)
mettent alors de déterminer C et C et l’on obtient C = 0 puis C = f(t)dt ds. On a alors
1 2 2 1 0 0
(cid:90) x(cid:32)(cid:90) s (cid:33) (cid:90) 1(cid:32)(cid:90) s (cid:33)
u(x)=− f(t)dt ds+x f(t)dt ds. (1.2)
0 0 0 0
Notonsenfin,quelecalculprécédentaunsensdèsquef ∈L1(0,1).
Le but de la méthode des éléments finis est de produire une méthode numérique qui permettra
de calculer une approximation de la solution précédente sur un ordinateur. Dans le cas présent, la
solutionestconnueexplicitementetilseraitfacilededétermineruneapproximationde(1.2).Néan-
moins, nous allons voir que la méthode permettra de calculer une approximation même dans le cas
oùlasolutionn’estpasconnueexplicitement.Ceseraenparticulierlasituationgénéraleendimension
plusgrandeque1.
11
Leprincipedebasedelaméthodedesélémentsfinisconsisteàconsidérerunmatillagedudomaine
Ω=]0,1[.Endimension1unmaillageestsimplementconstituéd’unecollectiondepoints(xj)0≤j≤n+1
(commepourlaméthodedesdifférencesfinies)telsque
x =0<x <...<x <x =1.
0 1 n n+1
Lemaillageseradituniformesilespointsx sontéquidistants,c’est-à-direque
j
1
x =jh avec h= , 0≤j ≤n+1,
j
n+1
mais ce n’est pas nécessaire. Les points x sont aussi appelés les sommets (ou noeuds) du maillage.
j
DanstoutcequisuitonnoteraP l’ensembledespolynômesàcoefficientsréelsd’unevariableréelle
k
dedegréinférieurouégalàk.
IIII Éléments finis P en dimension 1
1
LaméthodedesélémentsfinisP reposesurl’espacediscretdesfonctionsglobalementcontinueset
1
affinessurchaquemaille
(cid:26) (cid:12) (cid:27)
V = v∈C([0,1])telquev(cid:12)(cid:12) ∈P ,∀0≤j ≤netv(0)=v(1)=0 , (1.3)
h (cid:12)[x,x ] 1
j j+1
Figure1.1–MaillagedeΩ=]0,1[etfonctiondebaseenélémentsfinisP .
1
On peut représenter les fonctions de V , affines par morceaux, à l’aide de fonctions de base très
h
simplesappelées“fonctionschapeau”définiespourj =1,···,npar
φj(x)= 0xxxjx−−−xx−xjj−j−x11 sssiiixxx(cid:60)∈∈[[[xxxjjj−−,x11j,,+xx1jj+]]1,.], (1.4)
j+1 j
Lorsquelemaillageestuniforme,lesfonctionsdebasesedéfinissentàpartird’uneuniquefonction
φpar
(cid:18)x−x (cid:19)
j
φ (x)=φ . (1.5)
j
h
où
(cid:40)
1−|x| si|x|≤1,
φ(x)=
0 si|x|>1.
22
Lemme1.1.
LL’’eessppaacceeVV ,,ddééfifinniippaarr((11..33)),,eessttuunnssoouuss--eessppaacceeddeeCC00((00,,11))ddeeddiimmeennssiioonnnn,,eettttoouutteeffoonnccttiioonnvv ∈∈VV
hh hh hh
eessttddééfifinniieeddeemmaanniièèrreeuunniiqquueeppaarrsseessvvaalleeuurrssaauuxxssoommmmeettss((xxjj))11≤≤jj≤≤nn
(cid:88)(cid:88)nn
vv ((xx))== vv ((xx ))φφ ((xx)) ∀∀xx∈∈[[00,,11]]..
hh hh jj jj
jj==11
Démonstration.C’est immédiat en remarquant que φ (x )=δ , où δ est le symbole de Kronecker
j i ij ij
quivaut1sii =j et0sinon(voirlaFigure1.1). (cid:3)
Remarque1.2.
LLaabbaassee((φφ )),,ddééfifinniieeppaarr((11..44)),,ppeerrmmeettddeeccaarraaccttéérriisseerruunneeffoonnccttiioonnddeeVV ppaarrsseessvvaalleeuurrssaauuxxnnooeeuuddss
jj hh
dduu mmaaiillllaaggee.. DDaannss ccee ccaass oonn ppaarrllee dd’’éélléémmeennttss fifinniiss ddee LLaaggrraannggee.. PPaarr aaiilllleeuurrss,, ccoommmmee lleess ffoonnccttiioonnss
ssoonnttllooccaalleemmeennttPP ,,oonnddiittqquueell’’eessppaacceeVV ,,ddééfifinniippaarr((11..33)),,eessttll’’eessppaacceeddeesséélléémmeennttssfifinniissddeeLLaaggrraannggee
11 hh
dd’’oorrddrree11..
CCeett eexxeemmppllee ddeess éélléémmeennttss fifinniiss PP ppaarraaîîtt ttrrèèss nnaattuurreell.. EEnn eeffffeett llaa ssoolluuttiioonn dduu pprroobbllèèmmee iinniittiiaall eesstt
11
ddee ccllaassssee CC11 eett uunnee aapppprrooxxiimmaattiioonn aaffiffinnee ppaarr mmoorrcceeaauuxx sseemmbbllee aaddééqquuaattee.. TToouutteeffooiiss,, nnoouuss aattttiirroonnss
ll’’aatttteennttiioonnssuurrlleeppaarraaddooxxeessuuiivvaanntt..LLeessffoonnccttiioonnssddeeVV nneessoonnttppaassddeeuuxxffooiissddéérriivvaabblleessssuurrlleesseeggmmeenntt
hh
[[00,,11]] eett cceellaa nn’’aa,, aa pprriioorrii,, ppaass ddee sseennss ddee rrééssoouuddrree,, mmêêmmee ddee mmaanniièèrree aapppprroocchhééee,, ll’’ééqquuaattiioonn ((11..11))
((eenn ffaaiitt llaa ddéérriivvééee sseeccoonnddee dd’’uunnee ffoonnccttiioonn ddee VV eesstt uunnee ssoommmmee ddee mmaasssseess ddee DDiirraacc aauuxx nnooeeuuddss dduu
hh
mmaaiillllaaggee!!))..
Décrivons la résolution pratique du problème de Dirichlet (1.1) par la méthode des éléments finis
P . On commence par écrire le problème à résoudre sous une forme dite faible ou variationnelle.
1
Celle-ci s’obtient en multipliant l’équation initiale (1.1) par une fonction v qui s’annule également
sur le bord du domaine, à intégrer sur tout le domaine, et à faire une intégration par parties. On
obtientsuccessivement
(cid:90) 1 (cid:90) 1
− u(cid:48)(cid:48)(x)v(x)dx= f(x)v(x)dx,
0 0
puis,comme−(cid:82)1u(cid:48)(cid:48)(x)v(x)dx=(cid:82)1u(cid:48)(x)v(cid:48)(x)dx(letermetoutintégrédisparaîtcarv(0)=v(1)=0,on
0 0
arriveà
(cid:90) 1 (cid:90) 1
(cid:48) (cid:48)
u (x)v (x)dx= f(x)v(x)dx (1.6)
0 0
pourtoutefonctionv suffisammentdérivable1 pourquelecalculaitunsens.
Cette formulation variationnelle peut s’appliquer dans le cas de l’espace de fonction V , c’est-à-dire
h
quel’onpeutchercheràrésoudreleproblèmesuivant
(cid:90) 1 (cid:90) 1
Trouveru ∈V telque u(cid:48)(x)v(cid:48)(x)dx= f(x)v (x)dx∀v ∈V . (1.7)
h h h h h h h
0 0
Ondécomposealorsuh surlabasedes(φj)1≤j≤n etonprendvh=φi cequidonne
(cid:88)n (cid:90) 1 (cid:90) 1
(cid:48) (cid:48)
u (x ) φ (x)φ (x)dx= f(x)φ (x)dx.
h j j i i
0 0
j=1
1. Letermesuffisammentdérivableestvolontairementfloupourl’instant.Ilfaudraplustardluidonnerunsensbeau-
coupplusrigoureux.
33
(cid:16) (cid:17) (cid:18)(cid:82)1 (cid:19)
EnnotantU = u (x ) ,b = f(x)φ (x)dx ,etenintroduisantlamatricederigidité
h h j 1≤j≤n h 0 i 1≤i≤n
(cid:32)(cid:90) 1 (cid:33)
K = φ(cid:48)(x)φ(cid:48)(x)dx ,
h j i
0 1≤i,j≤n
laformulationvariationnelledansV revientàrésoudredansRn lesystèmelinéaire
h
K U =b .
h h h
Enrésolvantcesytèmelinéaire,onobtientlevecteurU dontlescomposantessontlesvaleursdeu
h h
auxsommets(xi)1≤i≤n dumaillage.
Notons également que comme les fonctions de base φ ont un “petit” support, l’intersection des
j
supportsdeφ etφ estsouventvideetlaplupartdescoefficientsdeK sontnuls.Uncalculsimple
j i h
montreque

1
(cid:90)01φj(cid:48)(x)φi(cid:48)(x)dx= −0−xjxx−jj+1−x11jx−−j1−x1j+ xj+11−xj ssssiiiinjjjo===niii−+11
et,danslecasdumaillageuniforme,ona
(cid:90) 1 (cid:48) (cid:48)  −2hh−−11 ssiijj ==ii−1
0 φj(x)φi(x)dx= −0h−1 ssiinjo=n.i+1
LamatriceK esttridiagonaleets’écritdanslecasdumaillageuniforme
h
 2 −1 0 
Kh=h−1 −01 .2.. −−..11. −.2.1. −21 . (1.8)
Pourobtenirlesecondmembreb ilfautcalculerlesintégrales
h
(cid:90) x
i+1
(b ) = f(x)φ (x)dx pourtout1≤i ≤n.
h i i
xi−1
L’évaluationexactedusecondmembreb peutêtredifficileouimpossiblesilafonctionf estcompli-
h
quée.Enpratiqueonarecoursàdesformulesdequadrature(ouformulesd’intégrationnumérique)
quidonnentuneapproximationdesintégralesdéfinissantb .Parexemple,onpeututiliserlaformule
h
du“pointmilieu”
1 (cid:90) xi+1 (cid:18)x +x (cid:19)
ψ(x)dx≈ψ i+1 i ,
x −x 2
i+1 i x
i
oulaformuledes“trapèzes”
1 (cid:90) xi+1 1
ψ(x)dx≈ (ψ(x )+ψ(x )).
x −x 2 i+1 i
i+1 i x
i
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