Analyse sur les groupes de Lie et théorie des représentations

183 Pages·2001·1.4 MB·French

by  Jacques Faraut

PREFACE
En1999s’esttenue`aK´enitraune´ecoled’´et´esurleth`emeAnalysesurlesgoupesde
Lie et th´eorie des repr´esentations. Chacun des cours qui y ´etait donn´e pr´esentait un
d´eveloppementr´ecentdanscedomaine.Parall`elementuns´eminaireapermisauxpar-
ticipantsdepr´esenterleurstravaux.Cevolumerassemblelesnotesde troisdescours,
r´edig´es dans le souci de rendre accessibles de nouvelles directions `a des chercheursen
analyse harmonique :
Mich`ele Vergne : Cohomologie ´equivariante et th´eor`eme de Stokes
Franc¸ois Rouvi`ere : Espaces de Damek Ricci, g´eom´etrie et analyse
Jacques Faraut : Espaces hilbertiens invariants de fonctions holomorphes
Lacohomologie´equivariante,introduiteparN.Berline etM.Vergne,permetd’´eta-
blir une formule de la phase stationnaire exacte. Dans ce cours on pr´esente la coho-
mologie ´equivariante dans le cas de l’action du cercle sur une vari´et´e, et son calcul
explicite lorsque la vari´et´e est un espace vectoriel.En utilisant un th´eor`eme de parti-
tiondel’unit´eencohomologie´equivariantedue`aP.Paradan,on´etablituneformulede
localisationquipermetd’exprimerl’int´egraled’uneforme´equivarianteferm´eecomme
une somme sur l’ensemble des points fixes lorsqu’ilssont isol´es.L’exemple de l’action
du cercle sur un espace projectif est ´etudi´e en d´etail. Une application en est donn´ee
au calcul de l’int´egrale de l’exponentielle sur un poly`edre convexe. On montre enfin
comment la formule de localisation permet d’obtenir le th´eor`eme de Duistermaat-
Heckman.
Une vari´et´e riemannienne est dite harmonique si le laplacien d’une fonction ra-
diale est aussi radiale. Les espaces riemanniens sym´etriques de rang un sont harmo-
niques. La question de savoir si ce sont les seules vari´et´es harmoniques, soulev´ee par
A.Lichn´erowicz, est rest´ee ouverte jusqu’`a ce que E.Damek et F.Ricci construisent
une large famille de vari´et´es harmoniques qui ne sont pas sym´etriques en g´en´eral.
Ces vari´et´es sont appel´ees depuis espaces de Damek-Ricci. La plus petite dimension
xii PREFACE
d’un espace de Damek-Ricci non sym´etrique est ´egale a` 7. Ce cours pr´esente cette
contruction.Elle utiliseles alg`ebresde Lienilpotentes de type Heisenbergquiavaient
´et´e introduites par A.Kaplan, et qui sont en relation avec les repr´esentations des al-
g`ebres de Clifford. On y d´eveloppe ensuite l’analyse de Fourier d’un tel espace qui
ressemble `a celle d’un espace sym´etrique de rang un de type non compact. Mais les
d´emonstrationssontplusd´elicatescareng´en´eralunespacede Damek-Riccin’estpas
doublement transitif.
L’ensemble des sous-espaces hilbertiens invariants de fonctions holomorphes sur
une vari´et´e complexe qui sont invariantpar un groupe d’automorphisme poss`ede une
structuredecˆoneconvexe.Lath´eoriedeChoquetpermetdelesanalyser,etdedonner
unerepr´esentationint´egraledeleursnoyauxreproduisants.Uneconditiong´eom´etrique
simple,propos´eeparJ.FarautetE.Thomas,enassurel’unicit´e.On´etudieenparticu-
lierle casou` lavari´et´ecomplexeestundomainedansla complexificationd’unespace
riemanniensym´etriquecompact,etonyexposelestravauxdeM.Lassalesurless´eries
de Laurent. Une application en est donn´ee `a la transformationde Bargmann-Segal.
Cette ´ecole d’´et´e, organis´ee et financ´ee conjointement par le Centre International
deMath´ematiquesPuresetAppliqu´ees(CIMPA)etplusieursuniversit´esmarocaines,
s’est d´eroul´ee `a K´enitra du 19 juillet au 4 aouˆt 1999. Nous tenons a` exprimer notre
reconnaissance a` ces organismes pour leur invitation, et tout particuli`erement aux
Professeurs Mohamed Akkouchi et Allal Bakali pour la qualit´e de l’organisation et
leur accueil `a l’universit´e Ibn Tofail de K´enitra.
SE´MINAIRES & CONGRE`S7

S´eminaires & Congr`es
7,2003,p.1–43
COHOMOLOGIE E´QUIVARIANTE
ET THE´ORE`ME DE STOKES
par
Mich`ele Vergne
(r´edig´e par Sylvie Paycha)
Résumé. — Nousdonnonsuneintroduction`alacohomologie´equivarianted’uneva-
ri´et´e.Danslecasdel’actiond’uncercleavecpointsfixesisol´es,nousd´ecrivons,apr`es
localisation, la cohomologie ´equivariante d’une vari´et´e en fonction des points fixes
grˆace `a la formule de Paradan. Comme cons´equence, nous red´emontrons la formule
delocalisationd’Atiyah-Bott-Berline-Vergne.
Abstract(EquivariantcohomologyandStokesTheorem). — In this text, we give an in-
troduction to equivariant cohomology of a manifold. In the case of an S1-action
with isolated fixed points, we describe, after localization, the equivariant cohomol-
ogy of a manifold in terms of fixed points with the help of Paradan’s formula. As
a consequence, we give a simple proof of the localization formula of Atiyah-Bott-
Berline-Vergne.
1. Introduction
Commen¸cons par l’exemple de l’action du cercle sur une sph`ere de rayon r. Soit
S (r)={(x,y,z)∈R3 |x2+y2+z2 =r2}.
2
Consid´erons la rotation autour de l’axe des z. La fonction hauteur correspondant a`
la coordonn´ee z reste invariante par cette action.
Soit u un nombre r´eel. Le changement de variable
(cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
ϕ,r,z)(cid:5)−→(x= r2−z2 cosϕ, y = r2−z2 sinϕ, z
permet de calculer (cid:4) (cid:5) (cid:6)
eur−e−ur
euzdσ =(2πr)
u
S2(r)
ou` dσ est la mesure de surface qui s’´ecrit dσ =rdϕdz.
Classificationmathématiqueparsujets(2000). — 53D50,55N91,19L10.
Motsclefs. — Cohomologie,´equivariant,pointsfixes,classed’Euler.
(cid:1)c S´eminairesetCongr`es7,SMF2003
2 M. VERGNE
z
maximum
minimum
Figure 1
(cid:7)
On remarque que limu→0 S2(r)euzdσ = 4πr2 ce qui correspond `a l’aire de S2(r).
De plus e±ur correspondent aux extrema sur S (r) de la fonction euz.
2
Cet exemple simple de calcul d’une int´egrale illustre dans un cas tr`es particulier
la formule de la phase stationnaire exacte d´emontr´ee par Duistermaat et Heckman
[DH]. Simultan´ement, Berline et Vergne [BV], Witten [W1] et Atiyah et Bott [AB]
au d´ebut des ann´ees 80 ontexpliqu´e cette formule de phase stationnaireexacte graˆce
`a la cohomologie´equivariante d’une vari´et´e.
Le calcul de Duistermaat-Heckmans’applique au cas de l’action du cercle sur une
vari´et´e symplectique M compacte de dimension n = 2(cid:16), l’action ´etant suppos´ee ha-
miltonienne, c’est a` dire la forme symplectique est invariante par l’action du cercle
et il existe une primitive f de la 1-forme ω d´efinie par ω(·):= Ω(J,·) si Ω d´esigne la
forme symplectique, −J le champ de vecteurs engendr´e par les rotations du cercle.
On a alors, dans le cas ou` les points critiques de f sont isol´es,
(cid:4)
(cid:8)
euf(p)
(1) eufdβ =(−2π)(cid:7) ,
u(cid:7)det(Hess f)1/2
M {p,pointscritiquesdef} p
ou` dβ :=Ω(cid:7)/(cid:16)!est la mesure de Liouville. Onexplicitera le calcul d’une racine carr´ee
particuli`ere de det(Hess f) utilisant l’orientationcanonique de T M.
p p
Le volume symplectique de M (souvent difficile a` calculer)s’obtient comme limite
quand u tend vers 0 de cette int´egrale.
Remarques
(1) Un autre cas important de la formule de la phase stationnaire exacte est le
calcul de gaussiennes du type :
(cid:4)
2π
e−u(x21+x22)/2dx1dx2 = .
u
R2
SE´MINAIRES & CONGRE`S7
COHOMOLOGIE E´QUIVARIANTE ET THE´ORE`ME DE STOKES 3
(2) Leterme«exact» danslenomdecetteformuleprovientdel’absen(cid:7)cedeterme
«d’erreur» auquel on pourrait «a priori » s’attendre dans le calcul de eufΩ(cid:7)/(cid:16)!
M
lorsque u:=it et t tend vers l’infini.
L’outil de la cohomologie ´equivariante introduit par N.Berline et M.Vergne et,
ind´ependamment, par Witten, Atiyah et Bott s’est av´er´e tr`es utile pour ´etablir la
formule de la phase stationnaire exacte et d’autres formules plus g´en´erales du mˆeme
type. On peut d´ej`a trouver l’id´ee de base de la cohomologie ´equivariante sous une
forme alg´ebrique dans des travaux de H.Cartan [C].
Lacohomologie´equivarianteestune g´en´eralisationdelacohomologiedede Rham.
Sil’onconsid`erecommepr´ec´edemmentl’actiond’uncerclesurlavari´et´eM,l’alg`ebre
A(M) des formes diff´erentielles sur M de la cohomologie de de Rham est remplac´ee
parleproduittensorielC[u]⊗A(M)J del’alg`ebreC[u]despolynoˆmesenlavariableu
et de l’alg`ebre A(M)J des formes invariantes par l’action du cercle engendr´ee par le
champ de vecteurs −J, qui s’´ecrit aussi
A(M)J :={α∈A(M)|L(J)α=0}
ou` L(J) est la d´eriv´ee de Lie dans la direction de J.
L’op´erateur de diff´erentiation d :A(M)→A(M) de la cohomologie de de Rham
est remplac´e par l’op´erateur D := d−ui(J) : C[u]⊗A(M)J → C[u]⊗A(M)J ou`
i(J) d´esigne l’op´erateur de contractionavec le champ de vecteurs J.
De mˆeme que la relation d2 =0 permet de d´efinir la cohomologie de de Rham, la
relationD2 =0 permet de d´efinir une cohomologieappel´ee cohomologie´equivariante
de M (associ´ee `a l’action de S1).
Si u = 0, on retrouve bien suˆr la cohomologie de de Rham car le complexe des
formesinvariantesparlegroupecompactS1 amˆemecohomologieque lecomplexede
de Rham.
Lecoursquisuitpr´esenterauncalculexplicitedelacohomologie´equivariantedans
le cas de l’action du cercle sur lui-mˆeme, puis du cercle sur R2 et enfin du cercle sur
un espace vectoriel de dimension finie quelconque. Puis on d´emontrera la formule de
localisationen cohomologie´equivariantedans le cas de points fixes isol´es,ainsique le
th´eor`eme de localisation de Borel.
On trouvera une introduction a` la cohomologie´equivariante dans [BGV, chap.7],
[AB], [MQ].
Le th´eor`eme de localisation (voir th.7.11 dans [BGV]) permet d’exprimer l’int´e-
graled’uneforme´equivarianteferm´eeα(u)∈C[u]⊗A(M)J surunevari´et´ecompacte
orient´eecommesomme(finie)surl’ensembledesz´erosduchampJ (pourvuqueceux-
ci soient isol´es) ou plus g´en´eralement(voir th.7.13 dans [BGV]) comme int´egrale de
larestrictionde α(u)a`lavari´et´edesz´erosduchampJ.Onconsid`eredoncuneforme
(cid:9)
diff´erentielle α(u) := α[k](u) inhomog`ene, d´ependant polynomialement de u et
k
SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2003
4 M. VERGNE
v´erifiant l’´equation
dα(u)=ui(J)α(u).
Le terme α[0](u) est une fonction sur M (d´ependant polynomialement de u), tandis
que le terme α[n](u) est une n-forme (d´ependant polynomialement de u).
Dans le cas de z´eros isol´es, on a :
(cid:4)
(cid:8) i∗α(u)
α(u)=(−2π)n/2 p
M {p∈M|Jp=0}un/2det1/2(L(J)p)
ou` n estladimensiondeM,i∗α(u):=α[0](u)(p)estl’´evaluationdela composantede
p (cid:7)
degr´e z´ero de α(u) en p, l’int´egrale α(u) devantˆetre comprise comme int´egrale de
M
la partie de degr´e ext´erieur maximal α[n](u) de α(u). L’action donn´ee par le crochet
deLieL(J)ξ :=[J,ξ]surleschampsdevecteursinduitunetransformationL(J) de
p
T M enchaquepointp∈M ou`J s’annule.Lepointp´etantisol´e,cettetransformation
p
est inversible.La transformationL(J) ,´etant la d´eriv´ee de Lie d’une rotation,a des
p
valeurs propres imaginaires. Ainsi la dimension de M est-elle paire et on l’´ecrira
n=2(cid:16). On peut repr´esenter L(J) dans une base orient´ee de T M par la matrice
p p
(cid:13) (cid:14) 
0 −a (p)
 1 
 a (p) 0 
 1 
 ... 
 (cid:13) (cid:14)
 0 −a (p) 
(cid:7)
a (p) 0
(cid:7)
etd´efinirlaracinedesond´eterminantdet1/2(L(J)) :=a (p)···a (p)sansambigu¨ıt´e
p 1 (cid:7)
sur le signe de la racine,compte-tenude l’orientationde la vari´et´e.Les nombres r´eels
a (p) sont tous non nuls. La formule de localisation s’´ecrit alors
i
(cid:4) (cid:5)−2π(cid:6)(cid:7) (cid:8) α[0](u)(p)
α(u)= .
u a (p)···a (p)
M {p∈M|Jp=0} 1 (cid:7)
On peut naturellement appliquer la formule de localisation a` des formes α(u) ∈
C[[u]]⊗A(M)J car l’anneau de cohomologie ´equivariante est Z-gradu´e en posant
degu=2.
On retrouve la formule de Duistermaat-Heckman en appliquant le th´eor`eme de
localisation `a la forme
(cid:8)∞
(uf +Ω)k
α(u):=e(uf+Ω) =
k!
k=0
ou` Ω est la forme symplectique sur la vari´et´e et f la fonction hamiltonienne associ´ee
auchampdevecteursJ d´efiniepardf =i(J)Ω.Dufaitquelaformesymplectiqueest
ferm´ee et que i(J)f = 0, on d´eduit que (d−ui(J))(uf +Ω) = 0, puis par passage a`
l’exponentielle Dα(u)=(d−ui(J))α(u)=0.
SE´MINAIRES & CONGRE`S7
COHOMOLOGIE E´QUIVARIANTE ET THE´ORE`ME DE STOKES 5
(cid:5) (cid:6)
La composante de degr´e ext´erieur maximal de α(u) = euf 1+Ω+···+ Ω(cid:2) est
(cid:5) (cid:6) (cid:7)!
eufΩ(cid:2) ,tandisquelacomposanteα[0](u)dedegr´eext´erieur0deα(u)estlafonction
(cid:7)!
euf. La formule de localisation s’´ecrit :
(cid:4)
(cid:8)
Ω(cid:7) euf(p)
euf =(−2π)(cid:7) .
(cid:16)! u(cid:7)a (p)···a (p)
M {p∈M|Jp=0} 1 (cid:7)
On remarque que les points critiques de f correspondent aux z´eros de J. En effet
on a df(p) = 0 ⇐⇒ (i(J)Ω)(p) = 0 ⇐⇒ Ω (J,.) = 0 ⇐⇒ J = 0 puisque Ω est non
p p
d´eg´en´er´ee.
On retrouve donc la formule de Duistermaat-Heckman (1)
(cid:4)
(cid:8)
Ω(cid:7) euf(p)
euf =(−2π)(cid:7)
M (cid:16)! {p,pointscritiquesdef}u(cid:7) det1/2(Hesspf)
car il existe un syst`eme de coordonn´ees locales au voisinage de p ou` le champ J est
lin´earis´e :
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)
∂ ∂ ∂ ∂
J =a1(p) x2 −x1 +···+a(cid:7)(p) x2(cid:7) −x2(cid:7)−1 ,
∂x1 ∂x2 ∂x2(cid:7)−1 ∂x2(cid:7)
1
f = (a (p)(x2+x2)+···+a (p)(x2 +x2 )),
2 1 1 2 (cid:7) 2(cid:7)−1 2(cid:7)
Ω=dx1∧dx2+···+dx2(cid:7)−1∧dx2(cid:7).
Ces donn´ees v´erifient effectivement la relation df =i(J)Ω et on a
(cid:13) (cid:14) 
a (p) 0
 1 
 0 a (p) 
 1 
Hesspf = ... (cid:13) (cid:14).
 a (p) 0 
(cid:7)
0 a (p)
(cid:7)
Comme nous l’avons vu au d´ebut de cette introduction, une application de la for-
mule de Duistermaat-Heckman est le calcul du volume d’une vari´et´e symplectique
munie d’une action hamiltonienne d’un groupe compact. Paradoxalement, cette for-
mulepeutaussiˆetreutile pourcalculerdesvolumesdevari´et´esquotientpourl’action
d’un groupe (sur lesquelles il n’y a donc plus d’action de groupe) comme dans le cas
del’espacedesmodulesdeconnexionsdeYang-Millsobtenuesenquotientantl’espace
des connexions de Yang-Mills par l’action du groupe de jauge. Ceci fait intervenir
des int´egrales sur l’espace des connexions qui est de dimension infinie et utilise une
extensionformelledelaformuledelocalisationaucadredeladimensioninfinie[W2].
Graˆce `a l’outil des r´eductions symplectiques, on peut replacer le calcul dans le cadre
de la dimension finie [JK].
SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2003
6 M. VERGNE
2. Rappels sur la cohomologie de de Rham
(cid:18)
Soit M une vari´et´e de classe C∞. Soit A(M) = Ai(M) l’alg`ebre Z-gradu´ee
i
des formes diff´erentielles sur M (a` coefficients complexes).Partonsde la cohomologie
de de Rham d´efinie a` partir de la diff´erentiation ext´erieure d:A•(M)→A•+1(M).
La diff´erentielle d est un op´erateur v´erifiant les conditions suivantes :
(1) d2 =0.
(2) d(α∧β)=dα∧β+(−1)degαα∧dβ (relationdeLeibniz)avec(α,β)homog`enes
dans A(M). Autrement dit, d est une d´erivation impaire de l’alg`ebre A(M).
(3) (df)(ξ)=ξf ou` f ∈A0(M)=C∞(M),ξ ´etant un champ de vecteurs sur M.
On a l’´egalit´e :
(cid:8)k
dα(ξ ,...,ξ )= (−1)iξ (α(ξ ,...,ξ(cid:19),...,ξ ))
0 k i 0 i k
(cid:8)
i=0
+ (−1)i+jα([ξ ,ξ ],ξ ,...,ξ(cid:19),...,ξ(cid:19),...,ξ )
i j 0 i j k
0(cid:1)i<j(cid:1)k
ou` le «chapeau» signifie que l’on omet la variable.
La relation d2 =0 permet de d´efinir une cohomologie
Kerd
H∗(M,C):= ,
Imd
soit, pour chaque i,Hi(M,C):=Ker(d|Ai(M))/d(Ai−1(M)) appel´ee cohomologie de
de Rham.
Soit ξ un champ de vecteurs sur M. La d´eriv´ee de Lie L(ξ) agit sur A(M) en
pr´eservant le degr´e. Elle agit sur une fonction f par L(ξ)f := ξf et son action sur
une k-forme ω est d´efinie par :
(cid:8)k
(L(ξ)ω) (ξ ,...,ξ ):=ξ·ω(ξ ,...,ξ )− ω(ξ ,...,[ξ,ξ ],...,ξ ).
1 k 1 k 1 j k
j=1
C’est une d´erivation paire de l’alg`ebreA(M) :
L(ξ)(α∧β)=L(ξ)α∧β+α∧L(ξ)β.
On peut v´erifier que L(ξ)d = dL(ξ) ce qui traduit le fait que la diff´erentielle ext´e-
rieure commute avec les actions de diff´eomorphismes.
La contractionpar le champ ξ not´ee i(ξ):Ak(M)→Ak−1(M) est d´efinie par :
i(ξ)α:=α(ξ) si α∈A1(M) est une 1-forme,
i(ξ)(α∧β):=(i(ξ)α)∧β+(−1)deg(α)α∧(i(ξ)β) si α et β sont des formes
homog`enes de A(M).
La contraction i(ξ) est donc une d´erivation impaire de l’alg`ebre A(M).
On a la relation
i(ξ)◦i(ξ)=0.
SE´MINAIRES & CONGRE`S7
COHOMOLOGIE E´QUIVARIANTE ET THE´ORE`ME DE STOKES 7
Pour deux champs de vecteurs ξ ,ξ , on a donc
1 2
i(ξ )◦i(ξ )+i(ξ )◦i(ξ )=0.
1 2 2 1
On v´erifie aussi la relation
[L(ξ ),i(ξ )]=i([ξ ,ξ ]).
1 2 1 2
La formule suivante est fondamentale.
Proposition1. — La d´erivation de Lie et la contraction sont li´ees par la relation de
Cartan :
L(ξ)=d◦i(ξ)+i(ξ)◦d.
Cette proposition se v´erifie facilement pour une fonction ϕ
L(ξ)ϕ=dϕ(ξ)=ξ·ϕ,
et pour une 1-forme α :
(L(ξ)α)(ξ )=ξ(α(ξ ))−α([ξ,ξ ])=ξ α(ξ)+dα(ξ,ξ )=d(i(ξ)α)(ξ )+(i(ξ)dα)(ξ ).
1 1 1 1 1 1 1
Comme d et i(ξ) sont des d´erivations impaires de l’alg`ebre A(M), on v´erifie que
d◦i(ξ)+i(ξ)◦d est une d´erivation (paire) de l’alg`ebre A(M). L’alg`ebre A(M) est
engendr´eeparlesfonctionsetles1-formes.LesdeuxmembresdelarelationdeCartan
sontdesd´erivationsdel’alg`ebreA(M).Ellessontdonc´egales,puisqu’ellessont´egales
sur un syst`eme de g´en´erateurs.
On note 1 ∈ A0(M) = C∞(M) la fonction constante identiquement ´egale a` 1
M
sur M.
Ond´efinitaussila cohomologiede de Rham`a supportcompact.On note A (M)
cpt
l’alg`ebredesformesdiff´erentielles`asupportcompactsurM.Onnoted larestriction
cpt
de l’op´erateur d `a A (M) et la cohomologie `a support compact est d´efinie par
cpt
Kerd
H∗ (M):= cpt.
cpt Imd
cpt
RappelonsleslemmesdePoincar´equenousred´emontreronsdanscetextesousleur
forme ´equivariante.
Soit V un espace vectoriel r´eel de dimension n. Alors
– Toute forme diff´erentielle ferm´ee sur V de degr´e k >0 est exacte.
– Toute forme diff´erentielle ferm´ee `a support compact sur V de degr´e k < n est
la diff´erentielle d’une forme `a support compact. Si k = n, une forme ω `a support
compact de degr´e maximum est la diff´erentielle d’une forme `a support compact si et
(cid:7)
seulement ω = 0. Par cons´equent, si T est une forme `a support compact sur V
V
d’int´egrale non nulle, toute autre forme a` support compact lui est proportionnelle en
cohomologie.
SOCIE´TE´MATHE´MATIQUEDEFRANCE2003