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“faraut” — 2006/9/18 — 11:05 — page 112 — #120
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ANALYSE STATISTIQUE
DES DONNEES EXPERIMENTALES
Grenoble Sciences
Grenoble Sciences poursuit un triple objectif :
• realiser des ouvrages correspondant a un projet clairement defini, sans contrainte
de mode ou de programme,
• garantir les qualites scientifique et pedagogique des ouvrages retenus,
• proposer des ouvrages a un prix accessible au public le plus large possible.
Chaque projet est selectionne au niveau de Grenoble Sciences avec le concours de
referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une annee (en moyenne)
avec les membres d'un comite de lecture interactif, dont les noms apparaissent au
debut de 1'ouvrage. Celui-ci est ensuite publie chez 1'editeur le plus adapte.
(Contact: Tel.: (33)4 76 51 46 95 - E-mail: [email protected])
Deux collections existent chez EDP Sciences :
• la Collection Grenoble Sciences, connue pour son originalite de projets et sa qualite
• Grenoble Sciences - Rencontres Scientificjues, collection presentant des themes de
recherche d'actualite, traites par des scientifiques de premier plan issus de
disciplines differentes.
Directeur scientifique de Grenoble Sciences
Jean BORNAREL, Professeur a 1'Universite Joseph Fourier, Grenoble 1
Comite de lecture pour
"Analyse statistique des donnees experimentales"
J.P. BERTRANDIAS, Professeur a 1'Universite Joseph Fourier, Grenoble 1
C. FURGET, Maitre de conferences a 1'Universite Joseph Fourier, Grenoble 1
B. HOUCHMANDZADEH, Directeur de recherches au CNRS, Grenoble
M. LESIEUR, Professeur a 1'Institut National Polytechnique, Grenoble
C. MlSBAH, Directeur de recherches au CNRS, Grenoble
J.L. PORTESEIL, Professeur a 1'Universite Joseph Fourier, Grenoble 1
P. VlLLEMAIN, Maitre de conferences a I'Universite Joseph Fourier, Grenoble 1
Grenoble Sciences rec.oit le soutien
du Ministere de 1'Education nationals, du Ministere de la Recherche,
de la Region Rhone-Alpes, du Conseil general de 1'Isere
et de la Ville de Grenoble.
ISBN 2-86883-456-6
ISBN 2-86883-590-2
© EDP Sciences, 2002
ANALYSE STATISTIQUE DES
DONNEES EXPERIMENT ALES
Konstantin PROTASSOV
SCIENCES
17, avenue du Hoggar
Pare d'Activite de Courtabceuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France
Ouvrages Grenoble Sciences edites par EDP Sciences
Collection Grenoble Sciences
Chimie. Le minimum vital a savoir (/. Le Coarer) - Electrochimie des solides
(C. Deportes et al.) - Thermodynamique chimique CM. Oturan & M. Robert) - Chimie
organometallique CD. Astruc)
Introduction a la mecanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki) - Mecanique
statistique. Exercices et problemes corriges (E. Belorizky & W. Gorecki) - La symetrie
en mathematiques, physique et chimie (J. Sivardiere) - La cavitation. Mecanismes
physiques et aspects industriels (J.P. Franc et al.) - La turbulence (M. Lesieur) -
Magnetisme : I Fondements, II Materiaux et applications (sous la direction d'E. du
Tremolet de Lacheisserie) - Du Soleil a la Terre. Aeronomie et meteorologie de 1'espace
(J. Lilensten & P.L. Blelly) - Sous les feux du Soleil. Vers une meteorologie de 1'espace
(J. Lilensten & J. Bornarel) - Mecanique. De la formulation lagrangienne au chaos
hamiltonien (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) - La mecanique quantique. Problemes
resolus, Tomes 1 et 2 (V.M. Galitsky, B.M. Karnakov & V.I. Kogan)
Exercices corriges d'analyse, Tomes 1 et 2 CD. Alibert) - Introduction aux varietes
differentielles (J. Lafontaine) - Analyse numerique et equations differentielles
(J.P. Demailly) - Mathematiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la
sante (F. & J.P. Bertrandias) - Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes,
fractales (M. Atteia & J. Caches) - Mathematiques pour 1'etudiant scientifique,
Tomes 1 et 2 (Ph.]. Haug)
Bacteries et environnement. Adaptations physiologiques (/. Pelmont) - Enzymes.
Catalyseurs du monde vivant (J. Pelmont) - La plongee sous-marine a 1'air.
L'adaptation de 1'organisme et ses limites (Ph. Foster) - L'ergomotricite. Le corps, le
travail et la sante (M. Gendrier) - Endocrinologie et communications cellulaires
(S. Idelman & J. Verdetti)
L'Asie, source de sciences et de techniques (M. Soutif) - La biologie, des origines a
nos jours (P. Vignais) - Naissance de la physique. De la Sicile a la Chine CM. Soutif)
Minimum Competence in Scientific English (J. Upjohn, S. Blattes & V. Jans) -
Listening Comprehension for Scientific English (J. Upjohn) - Speaking Skills in
Scientific English (J. Upjohn, M.H. Fries & D. Amadis)
Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques
Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques (sous
la direction de M. Comet & M. Vidal) - Turbulence et determinisme (sous la direction
de M. Lesieur) - Methodes et techniques de la chimie organique (sous la direction de
D. Astruc)
PREFACE
Le but de ce petit ouvrage est de repondre aux questions les plus frequentes que
se pose un experimentateur et de permettre a un etudiant d'analyser, d'une fagon
autonome, ses resultats et leurs precisions. C'est cet esprit assez "utilitaire" qui a
determine le style de presentation.
Dans 1'analyse des donnees experiment ales, il existe plusieurs niveaux qui sont condi-
tionnes par notre desir d'obtenir une information plus ou moins riche, mais aussi par le
temps que nous sommes prets a y consacrer. Frequemment, nous voulons juste obtenir
la valeur d'une grandeur physique sans nous preoccuper de verifier les hypotheses a
la base de notre demarche. Parfois, cependant, les resultats obtenus nous paraissent
etre en contradiction avec nos estimations preliminaries et ainsi nous sommes obliges
d'effectuer un travail plus scrupuleux. Ce livre est ecrit pour permettre au lecteur de
choisir le niveau d'analyse necessaire.
La partie "indispensable" du texte correspondant au premier niveau est composee
avec une police de caracteres normale. Les questions qui correspondent a une analyse
plus approfondie et qui necessitent un appareil mathematique plus complexe sont
composees avec une police de caracteres speciale. Cette partie du livre peut etre sautee
lors d'une premiere lecture.
A la base de toute analyse des donnees experimentales, on trouve une approche
statistique qui exige des considerations mathematiques rigoureuses et parfois com-
plexes. Neanmoins, Pexperimentateur n'a pas toujours besoin de connaitre les details
et les subtilites mathematiques. De plus, rares sont les situations ou les conditions
experimentales correspondent exactement aux conditions d'application de tel ou tel
theoreme. C'est pourquoi 1'accent est mis non pas sur la demonstration des resultats
mathematiques mais sur leur signification et leur interpretation physique. Parfois,
pour alleger la presentation, la rigueur mathematique est volontairement sacrifice et
remplacee par une argumentation "physiquement evidente".
Le plan du livre est simple. Dans 1'introduction, on presente les causes d'erreurs et
on definit le langage utilise. Le premier chapitre rappelle les principaux resultats
de statistique essentiels a 1'analyse des donnees. Le deuxieme chapitre presente des
notions plus complexes de statistique, il est consacre aux fonctions de varables alea-
toires. Dans le troisieme chapitre qui est la partie la plus importante, on s'efforce de
repondre aux questions les plus frequentes qui se posent dans 1'analyse des donnees
experimentales. Le dernier chapitre est consacre aux methodes les plus frequemment
utilisees pour 1'ajustement de parametres.
6 ANALYSE STATISTIQUE DBS DONNEES EXPERIMENTALES
Bien que ce livre soit particulierernent adapte au travail d'etudiants de second cycle,
il pourra etre egalement utile aux jeunes chercheurs, aux ingenieurs et a tons ceux
qui sont amenes a realiser des mesures.
J'airnerais remercier mes collegues enseignants et chercheurs qui ont lu le manuscrit
et qui m'ont fait des propositions pour arneliorer son contenu. Je voudrais exprimer
ma profonde gratitude a M. Elie Belorizky qui m'a encourage a ecrire ce livre et avec
qui j'ai eu des discussions tres fructueuses.
POURQUOI LES INCERTITUDES
EXISTENT-ELLES ?
Le but de la majorite des experiences en physique consiste a comprendre un phenomene
et a le modeliser correctement. Nous effectuons des mesures et nous avons sou vent
a nous poser la question : "quelle est la valeur de telle ou telle grandeur ?", parfois
sans nous demander prealablement si cette formulation est correcte et si nous serons
capables de trouver une reponse.
La necessite de cette interrogation prealable devient evidente des qu'on rnesure la
meme grandeur plusieurs fois. L'experimentateur qui le fait est frequemment con-
fronte a une situation assez interessante : s'il utilise des appareils suffisamment pre-
cis, il s'apergoit que des mesures repetees de la meme grandeur donnent parfois des
resultats qui sont un peu differents de celui de la premiere mesure. Ce phenomene est
general, que les mesures soient simples ou sophist iquees. Meme les mesures repetees de
la longueur d'une tige metallique peuvent donner des valeurs differentes. La repetition
de 1'experience montre que, d'une part les resultats sont toujours un peu differents et
d'autre part cette difference n'est en general pas tres grande. Dans la plupart des cas,
on reste proche d'une certaine valeur moyenne, mais de temps en temps on trouve
des valeurs qui sont differentes de celle-ci. Plus les resultats sont eloignes de cette
moyenne, plus ils sont rares.
Pourquoi cette dispersion existe-t-elle ? D'ou vient cette variation ? Une raison de cet
effet est evidente : les conditions de deroulement d'une experience varient toujours
legerement, ce qui modifie la grandeur mesurable. Par exemple, quand on determine
plusieurs fois la longueur d'une tige metallique, c'est la temperature ambiante qui peut
varier et ainsi faire varier la longueur. Cette variation des conditions exterieures (et la
variation correspondante de la valeur physique) peut etre plus ou moins importante,
mais elle est inevitable et, dans les conditions reelles d'une experience physique, on
ne peut pas s'en affranchir.
Nous sommes "condamnes" a effectuer des mesures de grandeurs qui ne sont presque
jamais constantes. C'est pourquoi meme la question de savoir quelle est la valeur
d'un parametre peut ne pas etre absolument correcte. II faut poser cette question
de maniere pertinente et trouver des moyens adequats pour decrire les grandeurs
physiques. II faut trouver une definition qui puisse exprimer cette particularity
physique. Cette definition doit refleter le fait que la valeur physique varie toujours,
mais que ses variations se regroupent autour d'une valeur moyenne.
La solution est de caracteriser une grandeur physique non pas par une valeur, mais
plutot par la probabilite de trouver dans une experience telle ou telle valeur. Pour
cela on introduit une fonction appelee distribution de probabilite de detection d'une
valeur physique, ou plus simplement la distribution d'une valeur physique, qui montre
8 ANALYSE STATISTIQUE DBS DONNEES EXPERIMENTALES
quelles sont les valeurs les plus frequentes ou les plus rares. II faut souligner une fois
encore que, dans cette approche, il ne s'agit pas tellement de la valeur concrete d'une
grandeur physique, mais surtout de la probabilite de trouver differentes valeurs.
On verra par la suite que cette fonction — la distribution d'une valeur physique — est
heureusement suffisamment simple (en tout cas, dans la majorite des experiences).
Elle a deux caracteristiques. La premiere est sa valeur moyenne qui est aussi la
valeur la plus probable. La deuxieme caracteristique de cette fonction de distribution
indique, grosso modo, la region autour de cette moyenne dans laquelle se regroupe la
majorite des resultats des mesures. Elle caracterise la largeur de cette distribution et
est appelee 1'incertitude. Comme nous pourrons le voir par la suite, cette largeur a
une interpretation rigoureuse en terme de probabilites. Pour des raisons de simplicite
nous appellerons cette incertitude "1'incertitude naturelle" ou "initiale" de la grandeur
physique elle-meme. Ce n'est pas tout a fait vrai, puisque cette erreur ou incertitude
est souvent due aux conditions experimentales. Bien que cette definition ne soit pas
parfaitement rigoureuse, elle est tres utile pour la comprehension.
Le fait que, dans la plupart des experiences, le resultat puisse etre caracterise par
seulement deux valeurs, permet de revenir sur la question avec laquelle nous avons
commence notre discussion : "Peut-on se demander quelle est la valeur d'un parametre
physique ?" II se trouve que dans le cas ou deux parametres sont necessaires et
suffisants pour caracteriser une grandeur physique, on peut reconcilier notre envie
de poser cette question et la rigueur de 1'interpretation d'un resultat en termes de
probabilites. La solution existe : on appellera valeur physique la valeur moyenne de la
distribution et incertitude ou erreur de la valeur physique la largeur de la distribution1.
C'est une convention admise de dire que "la grandeur physique a une valeur donnee
avec une incertitude donnee". Cela signifie que 1'on presente la valeur moyenne et la
largeur d'une distribution et que cette reponse a une interpretation precise en termes
de probabilites.
Le but des mesures physiques est la determination de cette fonction de distribution
ou, au moins, de ses deux parametres majeurs : la moyenne et la largeur. Pour
determiner une distribution on doit repeter plusieurs fois une mesure pour connaitre
la frequence d'apparition des valeurs. Pour obtenir 1'ensemble des valeurs possibles
ainsi que leurs probabilites d'apparition, on devrait en fait effectuer un nombre infini
de mesures. C'est tres long, trop cher, et personne n'en a besoin.
On se limite done a un nombre fmi de mesures. Bien sur, cela introduit une erreur
Pour des raisons historiques, les deux termes "incertitude" et "erreur" sont utilises en physique
pour decrire la largeur d'une distribution. Depuis quelques annees, les organismes scientifiques
internationaux essaient d'introduire des normes pour utiliser correctement ces deux termes (de la
meme fagon que 1'on a introduit le systeme international d'unites). Aujourd'hui, on appelle une
erreur la difference entre le resultat d'une mesure et la vraie valeur de la grandeur mesuree. Tandis
que 1'incertitude de mesure est un parametre, associe au resultat d'une mesure, qui caracterise la
dispersion des valeurs qui peuvent raisonnablement etre attributes a la grandeur mesuree. Dans
ce livre, nous tacherons de suivre ces normes, mais parfois nous utiliserons des expressions plus
habituelles pour un physicien. Par exernple, une formule tres connue dans 1'analyse des donnees
experimenatles porte le nom de "la formule de propagation des erreurs". Nous utiliserons toujours
ce nom bien connu bien que, selon les normes actuelles, nous aurions du 1'appeller "la formule
de propagation des incertitudes". Le lecteur interesse trouvera dans la bibliographie toutes les
references sur les normes actuelles.
