Analyse spectrale à haute résolution et décompositions non-négatives appliquées au traitement ...

188 Pages·2011·4.9 MB·French

Analyse spectrale à haute résolution
et décompositions non-négatives appliquées
au traitement des signaux de musique

Roland Badeau

2M01a1i 2D000051

janvier 2011

Département Traitement du Signal et des Images
Groupe AAO : Audio, Acoustique et Ondes
Mémoire
présenté à l’Université Pierre et Marie Curie
pour obtenir
l’Habilitation à Diriger des Recherches
Analyse spectrale à haute résolution
et décompositions non-négatives appliquées
au traitement des signaux de musique
Roland BADEAU
Institut Télécom, Télécom ParisTech, CNRS LTCI
46 rue Barrault - 75634 Paris Cedex 13 - France
Habilitation soutenue le mardi 30 novembre 2010 devant le jury composé de :
Rapporteurs
Frédéric Bimbot, Directeur de Recherche CNRS - IRISA, Rennes
Philippe Depalle, Professeur - Université McGill, Montréal
Bruno Torrésani, Professeur - Université de Provence, Marseille
Examinateurs
Olivier Adam, Professeur - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6
Laurent Daudet, Professeur - Université Paris Diderot, Paris 7
Sylvie Marcos, Directrice de Recherche CNRS - LSS, Gif-sur-Yvette

i
Résumé en français
Mes travaux de recherche portent sur le traitement des sons et de la musique, dont ils visent à extraire
une représentation révélant leurs structures temporelles et spectrales. Diverses applications musicales ont été
abordées, allant de la transcription automatique de musique à la séparation de sources, en passant par le
codage audio. Une partie importante de ces recherches a été menée dans le cadre du projet ANR DESAM
(DécompositionsenÉlémentsSonoresetApplicationsMusicales),quej’aicoordonnédenovembre2006àfévrier
2010.
Analyse spectrale à haute résolution. Lapremièrepartiedemestravauxaétéinitiéedanslecadredema
thèse, démarrée en septembre 2001 et soutenue en avril 2005, dont la finalité a été l’application des méthodes
d’analyse spectrale à haute résolution au traitement des signaux audio et musicaux. Nous avons d’abord géné-
ralisé le modèle de signalsous-jacentet la méthode d’estimation et proposé une nouvelle technique de sélection
del’ordredumodèle.Parailleurs,lenombreélevédecomposantesfréquentiellesetlafortedynamiquespectrale
dessignauxaudioontnécessitédemettreenœuvredesprétraitementsadéquatsetleurnon-stationnaritéaexigé
de développerdesméthodes adaptativespermettantde suivrelesvariationstemporellesde chaquecomposante,
en utilisant des algorithmes de poursuite de sous-espace. Ces outils ont été intégrés à la boîte à outils Matlab
du projet DESAM et appliqués à la représentation temps-fréquence à haute résolution de signaux audio, à la
séparation des composantes tonales et bruitées et à la synthèse avec effets sonores. A la suite de ma thèse,
diverses applications musicales de ces méthodes ont été réalisées dans le cadre de collaborations avec des cher-
cheurs et doctorants de laboratoires français ou étrangers : estimation de hauteur de notes de piano (thèse de
Valentin Emiya à Télécom ParisTech), estimation de tempo musical (thèse de Miguel Alonso à Télécom Paris-
Tech), analyse des modes couplés d’une harpe de concert (thèse de Jean-Loïc Le Carrou au LAUM, Le Mans)
et codage audio (projet DESAM, collaboration avec le LMA, Marseille). D’autres applications ont également
été réalisées,comme l’estimation de canaldans le domaine des communications numériques (collaborationavec
l’université de Mondragón en Espagne) ou la factorisation de tenseurs structurés (collaboration avec le LSS,
Gif-sur-Yvette).
Décompositions non-négatives. Ladeuxièmepartiedemestravauxconstitueune thématiquenouvellede-
puismathèse,dontlesdifférentsaspectsontnotammentétéabordésaveclescinqdoctorantsquej’aico-encadrés
(ValentinEmiya,NancyBertin,RomainHennequin,BenoîtFuentesetAntoineLiutkus).Elles’intéresseàladé-
composition de signaux audio à partir d’une représentation spectrale ou d’une représentationtemps-fréquence,
dans le but d’en extraire des éléments sonores possédant un sens musical, comme des notes de musique ou
des accords. Ces décompositions prennent en compte différents critères : non-négativité de la représentation et
des éléments sonores, critères psycho-acoustiques, harmonicité du spectre, régularité de l’enveloppe spectrale,
régularitédel’enveloppetemporelle,variationstemporellesdel’enveloppespectrale,variationstemporellesdela
fréquencefondamentale.Elles s’appuientsurdesextensionsdelafactorisationenmatricesnon-négatives,expri-
méesdansleformalismedel’estimationbayésienne,quipermetdecontraindreladécompositionenintroduisant
des modèles paramétriques appropriés ou des distributions a priori des paramètres. Les décompositions sont
calculées à l’aide d’algorithmesmultiplicatifs, dont nous avonsétudié et amélioréles propriétésde convergence,
oud’algorithmesde type espérance-maximisation.Ces outils ontété appliquésà l’estimationde fréquences fon-
damentales multiples et à la transcription automatique de la musique. Ils ont également été intégrés à la boîte
à outils Matlabdu projetDESAM et leur évaluationa conduit audéveloppement de la base de données MAPS
(MIDI aligned piano sounds).Ilsontenfinété appliquésàla séparationinforméedesdifférentes sourcessonores
mixées dans un enregistrement stéréophonique.
ii
English abstract
My research works focus on audio and music signal processing. They aim to extract from the signal a repre-
sentationwhichrevealsits temporalandspectralstructures. Variousmusicalapplicationshavebeenaddressed,
rangingfromautomatictranscriptionofmusictosourceseparationandaudiocoding. Animportantpartofthis
researchhas been carriedout within the frameworkof the ANR DESAM (Decompositions into sound elements
and musical applications) project, that I have managed from November 2006 to February 2010.
High resolution spectral analysis. Thefirstpartofmy researchworkswasinitiatedwithinthe framework
of my Ph.D. thesis, started in September 2001 and defended in April 2005, whose purpose was the application
of high resolution spectral analysis methods to audio and music signal processing. We first generalized the
underlying signal model and the estimation method, and proposed a new model order selection technique.
In other respects, the high number of frequency components and the high spectral dynamics of audio signals
have requiredto developadequate preprocessing techniques, and their non-stationarityhas required to develop
adaptive methods in order to track the temporal variations of each component, by using subspace tracking
algorithms. These tools have been integrated into the Matlab toolbox of the DESAM project, and applied
to the high resolution time-frequency representation of audio signals, to the separation of tonal and noisy
components, and to audio synthesis with sound effects. After my Ph.D. thesis, various musical applications
of these methods have been carried out in collaboration with researchers and Ph.D. students from French and
foreign laboratories: pitch estimation of piano sounds (Ph.D. thesis of Valentin Emiya at Telecom ParisTech),
musicbeattracking(Ph.D.thesisofMiguelAlonsoatTelecomParisTech),analysisofharp’ssympatheticmodes
(Ph.D. thesis of Jean-Loïc Le Carrou at LAUM, Le Mans), and audio coding (DESAM project, collaboration
with the LMA, Marseilles). Other applications have also been carried out, such as blind channel estimation
in digital communications (collaboration with the University of Mondragón in Spain) or structured tensors
factorization (collaboration with the LSS, Gif-sur-Yvette).
Non-negative decompositions. The second part of my research works has formed a new theme since my
Ph.D. thesis, whose various aspects have been addressed with the five Ph.D. students that I jointly supervised
(Valentin Emiya, Nancy Bertin, Romain Hennequin, Benoît Fuentes, and Antoine Liutkus). It focuses on the
decomposition of audio signals from a spectral or a time-frequency representation, in order to extract sound
elements having a musical meaning, such as music notes or chords. The decompositions take different criteria
into account: non-negativity of the representation and the sound elements, psycho-acoustic criteria, spectral
harmonicity, spectral envelope smoothness, temporal envelope smoothness, temporal variations of the spectral
envelope, or temporal variationsof the fundamental frequency. They rely on extensions of non-negativematrix
factorization,expressedinthe frameworkofBayesianestimation,whichpermitstoconstrainthe decomposition
byintroducingappropriateparametricmodels,ora priori distributions ofthe parameters. The decompositions
are computed by means of multiplicative algorithms, whose convergence properties have been studied and
enhanced, or variants of the expectation-maximization algorithm. These tools have been applied to multiple
fundamental frequency estimation and to automatic transcription of music. They have been integrated into
the Matlab toolbox of the DESAM project and their evaluation has leaded to the development of the MAPS
(MIDIalignedpianosounds)database. Theyhavealsobeenappliedtotheinformedseparationofvarioussound
sources mixed in a stereophonic recording.
iii
Remerciements
Jeremercieavanttoutlesrapporteurs(FrédéricBimbot,Philippe Depalle,BrunoTorrésani)etlesexamina-
teurs (Olivier Adam, Laurent Daudet, Sylvie Marcos) qui m’ont fait l’honneur d’accepter de participer à mon
jury d’Habilitation à Diriger des Recherches.
Je dois beaucoup à mes collègues Gaël Richard, Professeur et responsable du groupe Audio, Acoustique et
Ondes à Télécom ParisTech, et Bertrand David, Maître de Conférences à Télécom ParisTech, qui après avoir
dirigé mon doctorat, ont encadré et continuent à encadrer avec moi les thèses dont je suis co-directeur.
Biensûrunepartieimportantedestravauxderechercheprésentésdanscemémoiren’auraitpuêtremenéeà
biensanslacontributionactivedemesdoctorants:dansl’ordrechronologique,ValentinEmiya,actuellementen
post-doctorat à l’IRISA, Nancy Bertin, Chargée de Recherche CNRS à l’IRISA, ainsi que Romain Hennequin,
Benoît Fuentes et Antoine Liutkus, toujours doctorants à Télécom ParisTech.
Je dois à mes collaborateurs la réussite du projet ANR DESAM (Décompositions en Éléments Sonores
et Applications Musicales), dont j’ai eu l’honneur d’être le coordinateur pendant un peu plus de trois ans :
dans l’ordre alphabétique, Laurent Daudet, Professeur à l’Université Paris Diderot, Olivier Derrien, Maître de
Conférencesàl’UniversitédeToulonetduVar,MathieuLagrange,alorspost-doctorantàTélécomParisTechet
aujourd’huiChargédeRechercheCNRSàl’IRCAM,etSylvainMarchand,MaîtredeConférencesàl’Université
Bordeaux 1.
Jeremercietousmescollèguesenseignants-chercheursdudépartementdeTraitementduSignaletdesImages
de Télécom ParisTech, notamment Yves Grenier, Professeur et responsable du département, Karim Abed-
Meraim, Maître de Conférences, et Cédric Févotte, Chargé de Recherche CNRS, qui ont co-signé plusieurs
publications avec moi.
Jetiensaussiàremerciermesautresco-auteurs,avecquij’aipuétablirdescollaborationsforteshorsdetout
contexte institutionnel, notamment Emmanuel Vincent, Chargé de Recherche CNRS à l’IRISA, Rémy Boyer,
MaîtredeConférencesàl’UniversitéParisXI,Jean-LoïcLeCarrou,MaîtredeConférencesàl’UniversitéPierre
et Marie Curie, et François Gautier, Professeur à l’Université du Maine.
Au delà des personnes, je voudrais également remercier les institutions qui ont soutenu mes recherches. En
premier lieu Télécom ParisTech, qui m’a d’abord formé puis offert un environnement de travail extrêmement
dynamique,etleLTCI(LaboratoiredeTraitementetCommunicationdel’Information),unitémixtederecherche
CNRS regroupant l’ensemble des activités de recherche de Télécom ParisTech. Ensuite l’ANR et le CNRS, qui
ont respectivement financé et géré le projet DESAM, et auprès de qui Cécile Guion et Christine Barba ont été
mes interlocutrices.
Enfin, parvenir au terme de cette aventure aurait été plus difficile sans le soutien bienveillant et chaleureux
de ma famille et de mes proches. Je remercie tout particulièrement ma chère Sonia, dont le soutien et les
encouragements quotidiens m’auront porté jusqu’au bout de la rédaction de ce mémoire.
iv
Table des matières
Résumé en français i
English Abstract ii
Remerciements iii
Table des matières iv
Table des figures vii
Liste des tableaux vii
Acronymes viii
Notations x
I Avant-propos 1
Partie I Analyse à haute résolution 3
II Introduction de la Première partie 4
II.1 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Analyse temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.3 Applications de l’analyse à haute résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III Analyse spectrale 7
III.1 Modèle de mélange d’exponentielles complexes multipliées par des polynômes. . . . . . . . . . 7
III.2 Méthode d’estimation de l’ordre du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.3 Algorithme rapide d’estimation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III.3.1 Méthode des puissances itérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III.3.2 Itération bi-orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV Analyse temps-fréquence 10
IV.1 Poursuite de sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1.1 Méthode d’itération bi-orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV.1.2 Approximation par projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.1.3 Méthode des puissances itérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.1.4 Maximisation du critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IV.2 Poursuite des pôles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.2.1 Poursuite exacte de la matrice spectrale et des pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.2.2 Poursuite approchée des pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.3 Poursuite des amplitudes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V Applications de l’analyse à haute résolution 17
TABLE DES MATIÈRES v
V.1 Analyse / synthèse et représentation de signaux audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
V.2 Estimation de hauteurs de notes de piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
V.3 Estimation du tempo musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
V.4 Analyse des modes couplés d’une harpe de concert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
V.5 Codage audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V.6 Autres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
V.6.1 Estimation de canal en communications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
V.6.2 SVD multilinéaire adaptative pour les tenseurs structurés . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Partie II Décompositions non-négatives 21
VI Introduction de la Deuxième partie 22
VI.1 Décompositions spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
VI.2 Décompositions temps-fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
VI.3 Applications des décompositions non-négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
VII Décompositions spectrales 24
VII.1 Modélisation de spectres de sons stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VII.1.1 Harmonicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VII.1.2 Enveloppe spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VII.1.2.1 Modèles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VII.1.2.2 Modèles autorégressifs à moyenne ajustée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VII.1.3 Mesures de similarités spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VII.1.3.1 Mesures de similarités asymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VII.1.3.2 Mesure invariante par transposition fréquentielle et changement d’amplitude . 26
VII.2 Modélisation de mélanges spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
VII.2.1 Maximum a posteriori pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
VII.2.2 Algorithme Espérance-Maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
VIII Décompositions temps-fréquence 28
VIII.1 Factorisation en matrices non-négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VIII.1.1 Cadre déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VIII.1.1.1 Définition et fonction objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VIII.1.1.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
VIII.1.2 Cadres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VIII.2 Minimisation de la fonction objectif de la NMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VIII.2.1 Algorithmes multiplicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VIII.2.1.1 Cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VIII.2.1.2 Algorithmes multiplicatifs de NMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VIII.2.2 Évitement des minima locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VIII.2.2.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VIII.2.2.2 Algorithme de "refroidissement simulé" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
VIII.3 Ajout de contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
VIII.3.1 Harmonicité, régularité spectrale et régularité temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
VIII.3.1.1 Harmonicité et régularité spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
VIII.3.1.2 Harmonicité et régularités spectrale et temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . 33
VIII.3.2 Instationnarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VIII.3.2.1 Activations temps-fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VIII.3.2.2 Variations de fréquences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
IX Applications des décompositions non-négatives 36
IX.1 Estimation de hauteurs et transcription automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IX.1.1 Estimation de hauteurs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IX.1.1.1 Estimation d’un mélange de spectres harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . 36
vi TABLE DES MATIÈRES
IX.1.1.2 NMF avec contraintes d’harmonicité et de régularité spectrale . . . . . . . . . 37
IX.1.2 Transcription automatique de musique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IX.1.2.1 Estimation de hauteurs et modèles de Markov cachés . . . . . . . . . . . . . . 37
IX.1.2.2 NMF avec post-traitements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IX.1.2.3 NMF avec contraintes d’harmonicité et de régularités spectrale et temporelle . 38
IX.2 Séparation de sources informée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
X Conclusions et perspectives 39
X.1 Résumé des travaux effectués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
X.2 Projet de recherche à quatre ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Bibliographie 41
Index 56
Partie III Annexes 57
A Curriculum Vitae détaillé 58
A.1 Formations et diplômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.2 Expériences professionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.3 Production scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.4 Encadrements de travaux de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.5 Activités de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.5.1 Thèmes de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.5.2 Participation à des projets de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.5.3 Autres travaux collaboratifs hors projet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.5.4 Travaux d’expertise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.5.4.1 Relectures d’articles (reviewing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.5.4.2 Participations à des comités de programmes de conférences . . . . . . . . . . . 62
A.5.4.3 Participations à des jurys de thèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6 Activités d’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6.1 Enseignements en formation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6.1.1 Activités à l’IRCAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6.1.2 Formation d’ingénieur Télécom ParisTech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6.2 Enseignements en formation continue à Télécom ParisTech . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.6.3 Création de contenus pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.7 Responsabilités administratives et activités d’intérêt collectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.7.1 Coordination du projet de recherche DESAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.7.2 Responsabilités d’unités d’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.7.3 Activités d’intérêt collectif et valorisationde la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B Bibliographie personnelle 66
C Copies des dix publications les plus représentatives 72
vii
Table des figures
V.1 Séparation des composantes sinusoïdales et bruitée de sons de piano et de violon . . . . . . . . 18
VII.1 Modèle d’harmonicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
VIII.1 Décomposition du spectrogramme d’"Au clair de la Lune" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
VIII.2 Son de guimbarde décomposé avec une activation temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VIII.3 Décomposition d’un extrait du premier Prélude de Jean-Sébastien Bach . . . . . . . . . . . . . 35
Liste des tableaux
IV.1 Récapitulatif des propriétés des algorithmes de poursuite de sous-espace . . . . . . . . . . . . . 12