Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens

100 Pages·2014·2.62 MB·French

Analyse Numérique : SMA-SMI S4
Cours, exercices et examens
Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W.
Table des matières
1 Résolutionnumériquedesystèmeslinéaires AX = B 5
1.1 MéthodesdirectesderésolutiondeAX=B . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 MéthodedeGauss(avecetsanspivot) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 FactorisationLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 FactorisationdeCholeski(matricesymétrique) . . . . . . . . . 13
1.1.5 FactorisationdeHouseholder(matriceunitaire) . . . . . . . . 14
1.2 MéthodesindirectesderésolutiondeAX=B . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Quelquesrappelssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Méthodesclassiques(Jacobi,GaussSeidel,Relaxation) . . . . 15
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Approximationsdessolutionsdel’équation f(x) = 0 22
2.1 Rappelsetnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 MéthodedeNewton: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 MéthodedeNewtonmodifiée: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Méthodededichotomie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Méthodedefausseposition(RegulaFalsi): . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Inroductionàl’interpolation 36
3.1 Rappeletdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 InterpolantdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 InterpolantdeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 ExistenceetUnicitédel’interpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Interpolationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Erreurd’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1
4 Intégrationnumérique 46
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Approximationpardesrectanglesàgauche . . . . . . . . . . . 48
4.2.2 Approximationpardesrectanglesàdroite . . . . . . . . . . . 49
4.2.3 Approximationpardesrectanglesmédians . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 Approximationspardestrapèzes. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.5 FormuledeSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 InterpolationetErreurd’intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Interpolationlinèaireetlaformuledutrapèze: . . . . . . . . . 53
4.3.2 Formuledutrapèzecomposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3 ErreurdelaformuledeSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Analysenumériquedeséquationsdifferentielles ordinaires(e.d.o) 56
5.1 Rappelssurleséquationsdifferentiellesordinaires(e.d.o) . . . . . . 56
5.2 Systèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Notionsdestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Systèmed’équationsauxdifferenceslinéairesaveccoéfficientsconstants 60
5.5 Méthodesnumériquespourlesproblèmesdeconditioninitiale . . . 61
5.5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.4 Méthoded’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.5 MéthodesdeTaylordanslecasscalaire . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.6 MéthodesdeRunge-Kutta(R.K)danslecasscalaire . . . . . . 67
5.5.7 MéthodesdeRunge-Kuttaexplicites . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Examens 77
6.1 F.S.OSessionordinaire2012-2013 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . . . 77
6.2 F.S.OSessionRattrapage2012-2013 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . . 79
6.3 F.S.OSessionordinaire2011-2012 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . . . 81
6.4 F.S.OSessionderattrapage2011-2012 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . 83
6.5 F.S.OSessionordinaire2010-2011 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . . . . 85
6.6 F.S.OSessionRattrapage2010-2011 (Durée:1h30) . . . . . . . . . . . 87
6.7 F.S.OExamen2009-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.8 F.S.OSessionordinaire2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2
6.9 F.S.OSessionrattrapage2008-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.10 F.S.OSessionordinaire2007-2008(Durée :1h30) . . . . . . . . . . . . . 94
6.11 F.S.OExamenblanc2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.12 F.S.ODevoiràfairechezsoi2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.13 F.S.OSessionordinaireJanvier2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3
Table des figures
2.1 lasolutionest x = 1.3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 f(1).f(2) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 x = 2.7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 InterpolationdeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 InterpolationdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Approximationpardesrectanglesàgauche . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Approximationpardesrectanglesàdroite. . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Approximationpardesrectanglesmédians . . . . . . . . . . . . . . . 51
4
Chapitre 1
Résolution numérique de systèmes
linéaires AX = B
1.1 Méthodes directes de résolution de AX=B
1.1.1 Exemples
x x = 0 L
1. Résoudre(S): 1− 2 1
( x1+x2 = 2 L2
Parsubstitution
L x = x
1 1 2
→
L 2x = 2 x = 1 x = x = 1
2 1 1 2 1
→ → →
Parcombinaisondelignes
L x x = 0
1 1 2
→ −
L = L L 2x = 2 0 = 2 x = 1 = x
′2 → 2− 1 → 2 − → 2 1
ParInversiondelamatrice
1 1 x 0
(S) − 1 = AX = B
1 1 ! x2 ! 2 !
1 t 1 1 1
detA = 2;A 1= comA =
−
detA 2 1 1 !
−
Si A 1existealors X = A 1B
− −
1 1
x 0 1
1 = 2 2 =
 1 1 
x2 ! 2 ! 1 !
−2 2
 
parméthodedeCramer
5
4x +15x +3x 17x = 18 L
1 2 3 4 1
− −
 +13x2+5x3+4x4 = 0 L2
2. Résoudre(S ) :
′ 
 −2x3+5x4 = 8 L3
7x = 14 L
4 4


4 15 3 −17 x1 −18
(S) 0 13 5 4   x2  =  0 
0 0 2 5 x3 8
 −     
     
 0 0 0 7   x4   14 
     
Résolutionparremontée(encommençantpar x4)
14
L x = = 2
4 4
→ 7
(8 5 2)
L x = − × = 1
3 3
→ 2
−
(0 4 2 5 1)
L x = − × − × = 1
2 2
→ 13 −
( 18+17 2 3 1+15 1)
L x = − × − × × = 7
1 1
→ 4
3. Systèmetriangulaire:casgénéral
u11x1+u12x2+···+u1nxn = b1 L1 x1 b1
ST′) :  u22x2.+···+u2nxn = b2 L2  x2  =  b2 
 ..  .   . 
 
   
unnxn = bn Ln  xn   bn 
 
Onsupposequeu = 0k = 1, ,n    
 kk 
 6 ··· 
b
n
x =
n
u
nn
x = (b u b )/u
n 1 n 1 nn n n 1n 1
− − − − −
j=n
x = (b ∑ u b )/u i = n 1,....1
i i − j=i+1 ij j ii −
AlgorithmederésolutionpourUX = B
b
n
x =
n
u
nn
Pouri = n 1à1
−
x = b
i i
Pour j = i+1àn
x = x u x
i i ij j
−
Finj
Fini
Remarques1.1.1. Remarques:
1. La matrice U est dite triangulaire supérieure. Elle est inversible si tous les
termesdiagonauxsontnonnulsetdetU = u u u
11 22 nn
∗ ∗···∗
6
2. Lamatricetriangulaireinférieuresetraitedefaçonsimilaire
3. lenombred’opérationsnécéssairesest:
n(n 1) n(n 1)
− multiplications, − additionsetndivisionssoitautotaln2opérations
2 2
1.1.2 Méthode deGauss(avec etsanspivot)
ElleconsisteàramenerunsystèmelinéairedelaformeAX = B(Aavecmatrice
pleine)àunsystèmedelaformeUX = D puisàrésoudrecedernier.
Exemple1.1.1. Résoudre
3x +5x +2x = 8 L
1 2 3 1
(S′) :  0x1+8x2+2x3 = 7 L2
−
 6x +2x +8x = 26 L
1 2 3 3


(1)
3x +5x +2x = 8 L = L
1 2 3 1 1
Etape1: 0+8x2+2x3 = −7 L(21) = L2 
 0 8x +4x = 10 L(1) = L 2L 
− 2 3 3 3− 1
 3x1+5x2+2x3 = 8 L(11) = L1 
Etape2: 0+8x2+2x3 = −7 L(21) = L2 
 0+0+6x = 3 L(2) = L(1)+L(1) 
3 3 3 2
1
 
D’où: x= , x = ( 7 2x )/8 = 1 et x =(8 2x 5x )/3 = 4
3 2 3 1 3 2
2 − − − − −
MéthodedeGausssanspivot(casgénéral)
a(0)x +a(0)x +a(0)x + +a(0)x = b(0)
11 1 12 2 13 3 ··· 1n n 1
 a(0)x +a(0)x +a(0)x + +a(0)x = b(0)
(S0) 21 1 22 2 23 3 ..··· 2n n .. ..2
 . . .

(0) (0) (0) (0) (0)
a x +a x +a x + +a x = b
 n1 1 n2 2 n3 3 ··· nn n n




 (0)
a
Etape1:Onsupposea(0) = 0etonposem = i1
11 6 i1 (0)
a
11
Onremplacelaligne L(0) par L(1) = L(0) m L(0) pouri = 2,3, ,n
i i i − i1 1 ···
(1) (0) (0) (1) (0) (0)
a = a m a i, j = 2,3, ;n et b = b m b i = 2,3, ;n
ij ij − i1 1j ··· i i − i1 1 ···
7
Onobtientalorslesystème(S )suivant:
1
(0) (0) (0) (0) (0)
a x +a x +a x + +a x = b
11 1 12 2 13 3 ··· 1n n 1
(1) (1) (1) (1)
 0+a x +a x + +a x = b
(S1) 22 2 23 3 ..··· 2n n .. ..2
 . . .

0+a(1)x +a(1)x + +a(1)x = b(1)
 n2 2 n3 3 ··· nn n n




 (1)
a
Etape2:Anouveau,onsupposea(1) = 0etonposem = i2
22 6 i2 (1)
a
22
(1) (2) (1) (1)
Onremplacelaligne L par L = L m L pouri = 3, ,n
i i i − i2 2 ···
a(2) = a(1) m a(1) i, j = 3, ,n et b(2) = b(1) m b(1) i = 3, ,n
ij ij − i2 2j ··· i i − i2 2 ···
Onobtientalorslesystème(S )suivant:
2
(0) (0) (0) (0) (0)
a x +a x +a x + +a x = b
11 1 12 2 13 3 ··· 1n n 1
 0+a(1)x +a(1)x + +a(1)x = b(1)
(S2) :  22 2 23 3 ..··· 2n n .. ..2
 . . .

(2) (2) (2)
0+0+a x + +a x = b
 n3 3 ··· nn n n




 (1)
En supposant qu’à chaque étape on a a = 0 , on poursuit la la transformation
kk 6
jusq’àl’obtentiond’unsystèmetriangulaire:
a(0)x +a(0)x + +a(0)x = b(0)
11 1 12 2 ··· 1n n 1
(1) (1) (1)
 0+a x + +a x = b
(Sn−1) :  22 2 ...··· 2n n ... ...2

0+0+0+ +0+an(nn−1)xn = bn(n−1)
 ···



Onobtientalorslasolutionencommençantpar: x = bn(n−1) , x , ,x
n an(nn−1) n−1 ··· 1
Ecriturematricielle :
(0) (0) (0) (0)
a a a b
11 12 ··· ··· 1n 1
 
ètape0: A(0) = A = ··· ··· ··· ··· ··· ···
 ··· ··· ··· ··· ··· ··· 
 (0) (0) (0) 
 a1n ··· ··· ··· ann bn 
 
8
a(0) a(0) a(0) b(0)
11 12 ··· ··· 1n 1
 0 a(1) a(1) b(1) 
ètape1: A(1) = 22 ··· ··· 2n 2.
 0 .. 
 ··· ··· ··· ··· 
 0 a(n12) ··· ··· a(n1n) b(n1) 
 a(0) a(0) a(0) b(0)
11 12 ··· ··· 1n 1
 0 a(1) a(1) b(1) 
ètapen-1: A(n−1) = 22 ··· ··· 2n 2.
 0 0 .. 
 ··· ··· ··· 
 0 0 ··· 0 an(nn−1) bn(n−1)  k
MatricesélementairesdeGauss 
1
Soientlesmatrices
1  0 ... 0 
m 1 0 0 1 k
 21   
M1 =  −... 0 ... , Mk =  ... mk+1k... 
 −mn1 1   ... − ... ... 
   
 0 m 1 
 − k+1k 
 
enposante = (0, ,1,0, ,0) etm = (0, ,0, m , , m ) ,
k ⊤ k k+1k nk ⊤
··· ··· ··· − ··· −
on obtient M = I m e et on vérifie facilement que M est inversible et que
k − k ⊤k k
M 1 = I+m e .
k− k ⊤k
Onmontrealorsque:
Etape1: A(1) = M A(0)
1
Etapek: A(k) = M A(k 1) = M M M M A(0)
k − k k 1 2 1
− ···
Etapen-1:U = A(n 1) = M M M A(0)
− n 1 2 1
− ···
Remarque1.1.1. :
Leprocédé supposequetousles a(k−1) = 0.Siàuneétapekonaa(k−1) = 0
kk 6 kk
(k 1)
ets’ilyaaumoinsundes a − = 0(i = k+1, .n)onpermuteleslignesketi
ik 6 ···
etoncontinue,sinonçavoudraitdirequelamatrice An’estpasinversible.
EnutilisantlaméthodedeGausssanspivot,lenombred’opérationsnécéssaires
2 3 7
aucalculdelasolutiondeAX = Bestégalà: n3+ n2 n
3 2 − 6
n(n 1)(2n+5) n(n 1)(2n+5)
dont − additions, − multiplications
6 6
n(n+1)
et divisions.
2
LaméthodedeCramernécéssiteenvironn(n+1)!opérations.
Parexemple
9