Analyse Numérique

235 Pages·2015·1.32 MB·French

by  Thomas Cluzeau

Analyse Num´erique
Thomas Cluzeau
MaˆıtredeConf´erences
E´coleNationaleSup´erieured’Ing´enieursdeLimoges
Parcestertechnopole,16rued’atlantis87068LimogesCedex
[email protected]
http://www.unilim.fr/pages_perso/thomas.cluzeau
ThomasCluzeau(Univ.deLimoges-ENSIL) AnalyseNum´erique
Maths `a l’ENSIL en TC1
• Harmonisation en fonction du test de la rentr´ee
Analyse
Alg`ebre lin´eaire
• Tronc Commun (TC) - 1i`ere ann´ee
Math´ematiques pour l’ing´enieur (TC1 - S1)
Analyse num´erique (TC1 - S2)
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Analyse Num´erique : organisation et ´evaluation
• Organisation :
Cours : 7 s´eances d’1h30
TDs et TPs : 12h
4 s´eances de TDs d’1h30
3 s´eances de TPs Matlab : 1 de 3h et 2 d’1h30.
• E´valuation :
Note du TP de 3h (Compte rendu) - 1/4 note finale
1 examen final de 1h30 avec documents - 3/4 note finale
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Plan du cours
1 Arithm´etique des ordinateurs et analyse d’erreurs
2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires (Partie 1) :
m´ethodes directes
3 Conditionnement d’une matrice pour la r´esolution d’un syst`eme
lin´eaire
4 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires (Partie 2) :
m´ethodes it´eratives
5 Interpolation polynomiale
6 Int´egration num´erique
7 R´esolution d’´equations et de syst`emes d’´equations non lin´eaires
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Chapitre 1
Arithm´etique des ordinateurs et
analyse d’erreurs
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Arithm´etique flottante
• Comment les r´eels sont-ils repr´esent´es dans un ordinateur ?
Th´eor`eme (Syst`eme des nombres `a virgule flottante)
Soit β un entier strictement sup´erieur `a 1. Tout nombre r´eel x non
nul peut se repr´esenter sous la forme
x = sgn(x)βe (cid:88) dk,
βk
k≥1
ou` sgn(x) ∈ {+,−} est le signe de x, les d sont des entiers tels
k
que 0 < d ≤ β−1 et 0 ≤ d ≤ β−1 pour k ≥ 2, et e ∈ Z. De
1 k
plus, cette ´ecriture est unique (sauf pour les d´ecimaux :
2,5 = 2,499999... ).
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Exemples
• Syst`eme d´ecimal : β = 10 et d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
k
0,0038 = 0,38.10−2 = +10−2( 3 + 8 )
10 102
1 = 0,142857... = +100( 1 + 4 + 2 + 8 +···).
7 10 102 103 104
D´eveloppement d´ecimal d’un nombre rationnel est p´eriodique :
1 = 0,142857142857142857...
7 √
− 2 = −1,4142... = −101( 1 + 4 + 1 + 4 +···)
10 102 103 104
π = 3,14159... = +101( 3 + 1 + 4 + 1 +···)
10 102 103 104
• Historiquement, β = 10 car nous avons 10 doigts !
• Ordinateurs : β = 2 (num´eration binaire), β = 8 (num. octale),
ou encore β = 16 (num. hexad´ecimale)
• Unicit´e bas´ee sur d (cid:54)= 0 :
1
0,0038 = 0,38.10−2 = +10−2( 3 + 8 )
10 102
= 0,038.10−3 = +10−1( 0 + 3 + 8 )
10 102 103
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Le syst`eme F (1)
On d´efinit l’ensemble F ⊂ R par :
(cid:26) (cid:18) (cid:19) (cid:27)
d d d
F = y ∈ R | y = ±βe 1 + 2 +···+ t , e ≤ e ≤ e
β β2 βt min max
ou encore
F = (cid:8)y ∈ R | y = ±mβe−t, e ≤ e ≤ e (cid:9)
min max
Ceci correspond aux deux ´ecritures :
0,0038 = +10−2( 3 + 8 )
10 102
0,0038 = +38.10−4
avec β = 10, e = −2, t = 2, e −t = −4
β
• m s’appelle la mantisse. Notation : m = d d ...d
1 2 t
• Notons que 0 ∈/ F.
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Le syst`eme F (2)
Pour y (cid:54)= 0, on a
d d d 1
mβe−t = βe( 1 + 2 +···+ t) ≥ βe =⇒ m ≥ βt−1
β β2 βt β
m = d d ...d β = d βt−1+···+d βk+···+d β+d < βt
1 2 t 1 t−k t−1 t
On a donc montr´e que βt−1 ≤ m < βt.
• F est un syst`eme de nombres `a virgule flottante (floating point
number system). Notation : F(β,t,e ,e ).
min max
• Il d´epend de quatre param`etres :
1 la base β (chiffres utilis´es 0, 1,..., β−1),
2 la pr´ecision t (# chiffres utilis´es pour repr´esenter la mantisse),
3 emin et emax qui d´efinissent le domaine des exposants.
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Exemple : F(2,3,−1,3)
• Un r´eel y ∈ F(2,3,−1,3) s’´ecrit :
(cid:18) (cid:19)
1 d d
y = 2e + 2 + 3 , −1 ≤ e ≤ 3, d , d ∈ {0,1}
2 3
2 4 8
0,25
0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8
• E´cart entre deux nombres cons´ecutifs ×2 `a chaque puissance de 2
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