Analyse : Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles

322 Pages·1998·12.76 MB·French

by  Arnaudies

Jean-Marie ARNAUDIES
à l'ÂGREGATION de
MATHÉMATIQUES
4. ANALYSE
intégrale, séries de Fourier
équations différentielles
MATHÉMATIQUES
4. ANALYSE
séries de Fourier,
équations différentielles
Jean-Marie ARNAUDIES
Du même auteur, chez le même éditeur
Problèmes de préparation à l'Agrégation de Mathématiques (4 volumes)
• 1. Algèbre. Groupes, arithmétique, 288 pages.
• 2. Algèbre. Algèbre linéaire, bilinéaire, géométrie, à paraître.
• 3. Analyse. Séries, séries entières, séries de fonctions, 304 pages.
• 4. Analyse. Intégrations et équations différentielles, à paraître.
En collaboration avec José Bertin
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome 1, 480 pages.
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome 2, 784 pages.
ISBN 2-7298-5822-9
© ellipses / édition marketing S.A., 1998
32 rue Bargue, Paris (15®).
La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'Article 41, d’une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
l’Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
AVANT-PROPOS
Ce livre est le dernier des quatre tomes d’un recueil qui rassemble la majeure partie
des problèmes proposés aux étudiants de la préparation à l’agrégation de mathématiques
(concours interne) que j’ai eu l’honneur d’assurer à l’Université de Paris VI depuis 1990.
Il s’agit, pour l’essentiel, de textes que j’ai composés, guidé par trois règles à mes
yeux obligatoires pour une préparation efficace: proposer des problèmes adaptés à des
parties bien délimitées du programme plutôt que de trop large synthèse; ne pas poser
plusieurs fois le même sujet; et dans chaque sujet, se fixer un but clair qui, par sa richesse
et son esthétique, ouvre des portes mathématiques.
Même si les thèmes abordés ne sont pas tous originaux, certains étant même bien
connus, pour ne pas dire ressassés, j’espère avoir mis dans chaque énoncé une note per­
sonnelle, soit en approfondissant des résultats quand c’était possible, soit en améliorant
certaines méthodes, voire en en créant de nouvelles.
On trouvera, disséminés dans l’ensemble du recueil, quelques sujets de concours de
grande Ecole ou d’agrégation. On y trouvera aussi, dans le tome 2, quelques problèmes
de Géométrie que j’avais composés pour les étudiants de Mathématiques Spéciales M’
entre 1975 et 1990, mais qui ont leur place dans ce livre: ils sont bien adaptés aux actuels
programmes de l’agrégation. On sait à quelle peau de chagrin s’est réduite l’étude de la
Géométrie, mais il semble qu’un renversement de tendance se dessine depuis 1996.
Le classement des problèmes s’organise d’après les titres des programmes officiels.
Les tomes 1 et 2 sont consacrés à l’Algèbre et la Géométrie, les tomes 3 et 4 à l’Analyse.
Post-Scriptum 1
On reproche à juste titre aux sujets de concours d’être trop longs. Les problèmes du
présent recueil peuvent aussi être jugés trop longs, bien que leur longueur soit du même
ordre que celle des sujets sortis aux concours depuis 1990. Mais c’est un inconvénient
mineur, car ils sont plutôt destinés à l’entraînement et à l’enrichissement personnels.
Post-Scriptum 2
Quelques modifications dans la table des matières annoncée sont intervenues. Cer­
tains énoncés ont été supprimés pour ne pas trop alourdir l’ouvrage, d’autres ont été
regroupés. Des énoncés de synthèse ont été rassemblés dans le chapitre XII. Parmi eux,
les énoncés 93 et 94 sont en grande partie des sujets d’Algèbre, mais leur place na­
turelle nous a néanmoins paru se situer dans le présent volume, en raison de l’intérêt
mathématique des résultats d’Analyse qui y sont développés et qui en sont le vrai but.
Remerciements
Je remercie les éditions ELLIPSES d’avoir entrepris la publication de ces problèmes;
je remercie les étudiants de l’Université de Paris VI, sans qui beaucoup de ces sujets
n’auraient pas été composés. Leur courage a été une précieuse source d’énergie: sans
décharge de service, ils ont préparé l’agrégation en sus de leurs 18 à 20 heures de cours
hebdomadaires, de leurs copies et, souvent, de leurs contraintes familiales. Et c’est le
samedi après-midi, huit fois par an, qu’ils ont “planché” sur les concours blancs.
Je remercie enfin tout particulièrement PIERRE DELEZOIDE et JOSÉ BERTIN, qui ont
bien voulu relire minutieusement nombre des textes de ce volume, et qui y ont apporté
des contributions inappréciables.
J.M. ARNAUDIES
TABLE DES MATIERES DU TOME 4
page
CHAPITRE X: INTEGRALE, SERIES DE FOURIER
Problème 73: Sept Exercices sur l’intégration........................................................3
Problème 74: Intégrales généralisées......................................................................13
Problème 75: Approximations par convolution.....................................................27
Problème 76: Intégrales eulériennes.......................................................................41
Problème 77: Densité des polynômes de Laguerre...............................................57
Problème 78: La constante d’Euler........................................................................63
Problème 79: Analyse de Fourier, intégrales........................................................81
Problème 80: Les nombres de Lebesgue................................................................97
Problème 81: Théorèmes de Riemann.................................................................103
Problème 82: L’équation fonctionnelle de Zêta...................................................113
Problème 83: Polylogarithmes...............................................................................127
CHAPITRE XI: ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Problème 84: Une équation de Gauss...................................................................153
Problème 85: Fonctions de Bessel........................................................................167
Problème 86: Solutions périodiques d’une équation non-linéaire.....................181
Problème 87: Un théorème de Bernoulli..............................................................191
Problème 88: Une équation d’ordre trois............................................................201
Problème 89: Théorème de Fuchs à l’ordre deux...............................................213
CHAPITRE XII: PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
Problème 90: Fonction Zêta et théorème de Kronecker....................................225
Problème 91: Sur les séries entières......................................................................243
Problème 92: Une équation fonctionnelle............................................................263
Problème 93: Sur les algèbres de Boole...............................................................279
Problème 94: Sur les séries de Puiseux...............................................................297
Problème 95: Un critère de périodicité...............................................................311
NOTATIONS...............................................................................................................315
La bibliographie que nous proposons pour le présent volume est celle du tome 3, auquel nous prions
le lecteur de vouloir bien se reporter.
C hapitre 10
Intégrale,
séries de Fourier

Problème 73
EXERCICES SUR L’INTEGRATION
Uépreuve se compose de trois exercices indépendants entre eux
EXERCICE 1
On rappelle que la constante d’Euler, notée 7 , est donnée par:
k=n J >
( - Log(n) +
fc=i
1 ‘)
Pour tout entier n > 1, démontrer:
k=n ^ y»i
1 - (1 - ty
f - = / dt
Jo
2 ‘ )
En déduire, pour tout n €
k=n
3 ‘)
a ) Pour tout n € 1^* et pour tout réel te [0,n] , démontrer:
b ) En utilisant 2) ci-dessus et en faisant tendre n vers oo, en déduire:
,1 J _ 3 -t I-+00
• dt
puis en déduire:
/•11 _ e -‘ -e -i
dt
= Jo ---------^---------
EXERCICE 2
Pour x G R+ , on pose: I(x) = dt (on justifiera cette définition).
1
Pour tout Î G IR+ , on pose: J(0 —= /c e~ •du.
JO l+^u
a ) Montrer que la fonction J est de classe sur R+ , et exprimer ses dérivées
successives sous forme d’intégrales. Pour n G N , préciser J^^^(O).
b ) Pour a; > 0, exprimer I(x) à l’aide de J , et en déduire le comportement de la
fonction I au voisinage de +00 .
c ) La fonction J est-elle développable en série entière à l’origine?
4 Chapitre 10, problème 73
2 °)
Pour tout réel X > 0 , on pose: ^(x) = /q du (on justifiera cette définition),
a ) Pour tout réel x > 0 , vérifier que /(x) = ^ (^(a^)) •
b ) Montrer que la fonction ^ est dérivable sur IR+ , et qu’on a, pour tout x > 0 :
= i# (i)
c ) Etudier ^(x) pour x -foo, puis à l’aide de b) ci-dessus, démontrer que pour
tout réel X > 0 , on a:
r/ X /X sin{t) cos{t)
7(x) = cos(x) J —'— di-sin(x) J —- dt
et en déduire, en utilisant, sans la prouver, la relation £iÿi) ^ ^ l’existence
d’une série entière S de rayon -t-oo et de terme constant Ç telle que pour tout réel
X > 0, on ait:
7(x) = sin(x) Log(x) + 5(x)
EXERCICE 3
On note T> le disque ouvert de C défini par: V = {z eC \ |z|< 7t}.
1
Montrer que pour tout z G P , on a:
/*+00
sin{zt) ^ Z
e^rt _ 1 ” 2-; + ^2^2
Jo
n=l
Indication: pour t € IR * , vérifier d’abord que ¡prrr = •
2 °)
Démontrer que pour tout z € P , on a:
sin(zt) ^ (-1)" \
3 -)
On note ^ la fonction zêta de Riemann. On rappelle que pour tout s € C tel que
SR(s) > 1, on a: C («) = ^ '
a ) Montrer que pour tout z € V , on a:
00 * .
00
- V e 1U-1 C(2fe)..2fc-i
z2+7r2n2 ^ 7r2fc ^
n=l k=l
b ) En utilisant 1) et 2) ci-dessus, en déduire qu’on a, pour tout entier A; > 1 :
-2fc r ^2k-l
+00
☆ ☆ ☆
Exercices sur rintégration 5
SOLUTION
EXERCICE 1
Question 1 "
Fixons l’entier n > 1. Remarquons que l’intégrale proposée a bien un sens (la fonction
qu’on intègre est polynomiale). En posant г¿ = 1 — i , on obtient:
Question 2 ’
Dans l’intégrale de 1) ci-dessus, posons f = ^ ; on obtient:
Jo ^ ^ n/ ) U Ji U Jl ^ 71/ U
d’où, puisque = Log(n) :
/ N 1 u\^\ du du
(1) -Lo,(n) + ^ j = y ) _ _ y _
K—\
Question 3"
a ) Il s’agit de démontrer que pour tout te [ 0, n [ , on a: exp (-t - n Log (l - ^) ) > 1,
ce qui équivaut à:
(2) - L o g ( l- ^ ) > ^
\ 71/ 71

Or la fonction / :] — oo,l[—>IR, — Log(l — x) est convexe (sa dérivée seconde
est X ). En écrivant que le graphe de /|jq est au-dessus de celui de sa

demi-tangente au point d’abscisse 0, on obtient: f{x) > x pour 0 < x < 1, d’où (2).
b ) Pour tout entier n > 1, soit les fonctions:
9n : [1,+3C(-
{*“ :->■ ::::: ^ - K - ( - = n
Ces fonctions sont toutes Lebesgue-intégrables (les Qn sont continues à support compact,
et les hn sont continues et admettent une limite en 0). Pour tout réel t > 1, on
immédiatement gn{t) ----------► E{t) = ^ . D’après a) ci-dessus, pour tout n , on a
n—>oo ^
9n < E . Or, E est Lebesgue-intégrable sur [1,4-oo[ (elle est continue, positive, et son
intégrale est convergente en -f-oo). Le théorème de la convergence dominée s’applique,
et montre notamment que
r + OO r+OO / Ai r + o® r+oo
(S, l ( i - i ) f - — / V dt
La suite {hn) converge simplement sur ]0,1] vers /i:]0,1] —►R, l-^e ~ -
Majorons maintenant hn'. notant (pn la fonction [0,1] R, t ^ ” n)^ ’