Table Of ContentMaxime PELLETIER
Travail EncadrØ de Recherche
C
Analyse harmonique sur SU ( ) :
2
polyn(cid:244)mes de Jacobi et Øquation de
la chaleur
EncadrØ par M. JØr(cid:244)me GERMONI
Master 1 MathØmatiques GØnØrales 2011-2012
Introduction
L’objectif de ce Travail EncadrØ de Recherche est d’illustrer des applications de cer-
tains outils comme les reprØsentations et les algŁbres de Lie dans le cas d’un groupe trŁs
simple : SU (C) (que nous noterons par la suite seulement SU , puisqu’il n’y aura pas
2 2
d’ambigu(cid:239)tØ), qui a la particularitØ d’Œtre un groupe compact. Nous verrons principale-
ment deux applications de ces outils.
LapremiŁreapplicationconcerneracertainesfonctionsspØcialesparticuliŁresquisont
les polyn(cid:244)mes de Jacobi. Ils forment une famille de polyn(cid:244)mes orthogonaux et l’essentiel
de cette partie consistera (cid:224) retrouver, gr(cid:226)ce aux reprØsentations de SU , les relations
2
d’orthogonalitØ entre ces polyn(cid:244)mes. La deuxiŁme application est liØe (cid:224) l’analyse har-
monique et aux Øquations aux dØrivØes partielles. Il s’agira de rØsoudre, sous une certaine
forme, l’Øquation de la chaleur sur le groupe SU . Nous utiliserons la dØcomposition de
2
fonctions sur SU en sØrie de Fourier, ce qui nØcessite l(cid:224) encore de conna(cid:238)tre les reprØsen-
2
tations de ce groupe.
Pour cela, il faudra bien entendu donner tout d’abord les outils que nous allons
utiliser. Cela commencera Øvidemment par un certain nombre de dØ(cid:28)nitions (concernant
lamesuredeHaar,lesalgŁbresdeLie,etlesreprØsentations),puisparplusieursthØorŁmes
trŁsimportants:Schur,Peter-Weyl,Plancherel...UnelonguepartieseraensuiteconsacrØe
(cid:224)larecherchedesreprØsentationsirrØductiblesdeSU ,eten(cid:28)nnouspourronspasseraux
2
deux applications dØtaillØes prØcØdemment.
1
Table des matiŁres
2
1 GØnØralitØs
1.1 Mesure de Haar
On va dans cette partie dØ(cid:28)nir dans un groupe localement compact la notion de
mesure invariante (cid:224) gauche, que l’on appellera ensuite mesure de Haar. On donnera
Øgalement un thØorŁme gØnØral d’existence d’une telle mesure.
1.1.1 DØ(cid:28)nition et expression pour un groupe (cid:28)ni
DØ(cid:28)nition 1.1. Soit G un groupe topologique localement compact. Une mesure positive
µ est dite invariante (cid:224) gauche si, pour tout g ∈ G et pour toute f ∈ C (G) (espace des
C
fonctions continues sur G et de support compact),
(cid:90) (cid:90)
f(gx)µ(dx) = f(x)µ(dx).
G G
C’est Øquivalent (cid:224) dire que, pour tout E, sous-ensemble mesurable de G, et pour tout
g ∈ G,
µ(gE) = µ(E).
DØ(cid:28)nition 1.2. Une mesure invariante (cid:224) gauche sur un groupe localement compact est
appelØe mesure de Haar (cid:224) gauche.
On verra par la suite qu’une telle mesure existe toujours, mais intØressons-nous pour
l’instant (cid:224) cette mesure dans un cas particuliŁrement simple qui est celui des groupes
(cid:28)nis.
Soit G un groupe (cid:28)ni. Pour dØ(cid:28)nir une mesure sur G, il su(cid:30)t de la dØ(cid:28)nir sur {g},
pour tout g ∈ G. Soit µ une mesure sur G. Si µ est invariante (cid:224) gauche, on a, pour tout
g ∈ G,
µ(g{e}) = µ({e}),
oø e est l’ØlØment neutre de G, i.e.
µ({g}) = µ({e}).
La mesure µ est donc entiŁrement dØterminØe par la valeur de µ({e}). De plus, rØcipro-
quement, une mesure qui vØri(cid:28)e cela est clairement invariante (cid:224) gauche. En e(cid:27)et, pour
tous g,g ,...,g ∈ G, avec g ,...,g deux (cid:224) deux distincts,
1 n 1 n
(cid:32) n (cid:33) n
(cid:91) (cid:88)
µ(g{g ,...,g }) = µ {gg } = µ({gg }) = nµ({e}) = µ({g ,...,g }).
1 n i i 1 n
i=1 i=1
Les mesures non nulles invariantes (cid:224) gauche sur un groupe (cid:28)ni sont donc Øgales (cid:224) un
facteur strictement positif prŁs, qui dØpend du choix de la mesure de {e}. On va voir
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que cette ØgalitØ (cid:224) un facteur prŁs est valable sur tout groupe localement compact. Par
contre, la mesure n’est pas forcØment dØterminØe par le choix de la mesure de {e} mais
plut(cid:244)t par celle de G puisque, si la mesure est bornØe et le groupe in(cid:28)ni, la mesure de
{e} est alors nØcessairement nulle.
1.1.2 ThØorŁme gØnØral d’existence
ThØorŁme 1.1. Soit G un groupe localement compact. Alors, il existe une mesure non
nulle invariante (cid:224) gauche. De plus, elle est unique (cid:224) un facteur multiplicatif strictement
positif prŁs.
On ne dØmontrera pas ce thØorŁme, que nous n’utiliserons d’ailleurs pas. En e(cid:27)et,
la mesure de Haar qui va nous intØresser est celle sur SU , dont on peut obtenir une
2
expression. Nous n’aurons donc pas besoin de ce thØorŁme trŁs gØnØral d’existence, dont
une dØmonstration dans le cas d’un groupe de Lie linØaire peut Œtre trouvØe dans le livre
de Faraut [?], pages 91 (cid:224) 93. Pour une dØmonstration dans le cas d’un groupe compact,
on pourra se reporter au livre de MneimnØ et Testard [?](cid:159) 3.6
1.2 AlgŁbre de Lie d’un sous-groupe fermØ de GL (R)
n
DØ(cid:28)nition 1.3. (cid:21) Un groupe de Lie linØaire est un sous-groupe fermØ d’un groupe
linØaire de la forme GL (R) pour n entier naturel.
n
(cid:21) SoitGungroupedeLielinØaire.OnluiassociesonalgŁbredeLie,quiestl’ensemble
g = {X ∈ M (R)/∀t ∈ R,exp(tX) ∈ G}.
n
Remarque : Un sous-groupe fermØ de GL (C) est un groupe de Lie linØaire car GL (C)
n n
peut-Œtre vu comme un sous-groupe fermØ de GL (R). En e(cid:27)et, le C-espace vecto-
2n
riel Cn est un R-espace vectoriel de dimension 2n : si (e ,...,e ) est une base de Cn,
1 n
(e ,ie ,...,e ,ie ) est une base de Cn comme R-espace vectoriel. Alors, (cid:224) une matrice
1 1 n n
de GL (C), qui correspond (cid:224) un C-automorphisme de Cn, on peut associer la matrice
n
de cet automorphisme dans la base prØcØdente de Cn comme R-espace vectoriel, qui sera
dans GL (R). De plus, cette injection de GL (C) dans GL (R) rØalise GL (C) comme
2n n 2n n
un sous-groupe fermØ de GL (R).
2n
L’algŁbre de Lie d’un groupe de Lie linØaire possŁde les propriØtØs donnØes dans le
thØorŁme suivant :
ThØorŁme 1.2. L’ensemble g est un sous-espace vectoriel rØel de M (R) et, pour tous
n
X,Y ∈ g, on a [X,Y] = XY −YX ∈ g.
4
DØmonstration. On ne la fera pas ici, elle peut Œtre trouvØe dans le livre de Faraut [?],
page 41.
Plus gØnØralement, une algŁbre de Lie est un espace vectoriel sur R (on parle alors
d’algŁbre de Lie rØelle) ou sur C (complexe dans ce cas), muni d’une application bili-
nØaire :
g×g −→ g
(X,Y) (cid:55)−→ [X,Y]
antisymØtrique et telle que
∀X,Y,Z ∈ g,[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]].
Cette relation est appelØe l’identitØ de Jacobi.
Exemples :
(cid:21) L’espace vectoriel M (R) muni de (X,Y) (cid:55)−→ [X,Y] = XY −YX est une algŁbre
n
de Lie. Cet espace est alors notØ gl (R).
n
(cid:21) Si G est un groupe de Lie linØaire (donc sous-groupe fermØ de GL (R)), alors
n
l’ensemble g dØ(cid:28)ni prØcØdemment est une sous-algŁbre de Lie de M (R).
n
(cid:21) L’algŁbre de Lie de GL (R) est M (R).
n n
(cid:21) L’algŁbre de Lie de SL (C) est sl (C) = {X ∈ M (C)/tr(X) = 0}.
n n n
DØmontrons ceci :
X ∈ sl (C) ⇔ ∀t ∈ R,det(exp(tX)) = 1
n
⇔ ∀t ∈ R,et·tr(X) = 1
⇔ tr(X) = 0
D’oø l’expression annoncØe pour sl (C).
n
(cid:21) L’algŁbre de Lie de SU est su = {X ∈ M (C)/tX + X = 0 et tr(X) = 0} =
2 2 2
(cid:26)(cid:20) (cid:21) (cid:27)
ia b+ic
;a,b,c ∈ R .
−b+ic −ia
1.3 ReprØsentations
OnvamaintenantpouvoirdØ(cid:28)nirlanotiondereprØsentationd’ungroupetopologique,
ainsi que celle de reprØsentation d’une algŁbre de Lie. On fera ensuite le lien entre les
deux gr(cid:226)ce (cid:224) la notion de reprØsentation dØrivØe, qui nous sera trŁs utile lorsque nous
nous intØresserons aux reprØsentations irrØductibles de SU .
2
5
1.3.1 PremiŁres dØ(cid:28)nitions sur les reprØsentations
DØ(cid:28)nition 1.4. (cid:21) Soient G un groupe topologique et V un espace vectoriel de dimen-
sion (cid:28)nie sur R ou C. Une reprØsentation de G dans V est un morphisme continu
de groupes
π : G −→ GL(V).
(cid:21) Un sous-espace vectoriel W de V est dit invariant si, pour tout g ∈ G, π(g)W = W.
Dans ce cas, g (cid:55)−→ π(g)| est une reprØsentation de G dans W. On dit que c’est
W
une sous-reprØsentation de π.
(cid:21) La reprØsentation π est dite irrØductible si ses seuls sous-espaces invariants sont
{0} et V.
(cid:21) Soient π et π deux reprØsentations de G respectivement dans V et V . On dit
1 2 1 2
qu’un morphisme d’espaces vectoriels A : V −→ V est un opØrateur d’entrelace-
1 2
ment, ou morphisme de reprØsentations (on dit aussi que A entrelace les reprØsen-
tations π et π ) lorsque
1 2
∀g ∈ G,Aπ (g) = π (g)A.
1 2
Quand il existe un isomorphisme vØri(cid:28)ant cela, les reprØsentations π et π sont
1 2
dites Øquivalentes.
On parlera aussi dans la suite d’autres objets provenant d’une reprØsentation : les
coe(cid:30)cients matriciels. Ceux des reprØsentations de SU nous permettront plus tard de
2
faire appara(cid:238)tre les polyn(cid:244)mes de Jacobi.
DØ(cid:28)nition 1.5. (cid:21) Soit π une reprØsentation d’un groupe G dans un espace vectoriel
de dimension (cid:28)nie V. Soit (e ,...,e ) une base de V. Alors, pour tout g ∈ G,
1 n
l’applicationlinØaireπ(g)possŁdeunematrice(πi,j(g))1(cid:54)i,j(cid:54)n danscettebase,c’est-
(cid:224)-dire que, pour tout j ∈ {1,...,n},
n
(cid:88)
π(g)e = π (g)e .
j i,j i
i=1
Pour tout (i,j) ∈ {1,...,n}2, π est une fonction dØ(cid:28)nie sur G et (cid:224) valeurs dans
i,j
R ou C, selon si V est un espace vectoriel rØel ou complexe. Les π sont appelØs
i,j
les coe(cid:30)cients matriciels (relativement (cid:224) la base (e ,...,e )) de la reprØsentation
1 n
π.
(cid:21) Si l ∈ V∗ et v ∈ V, on appelle Øgalement coe(cid:30)cient matriciel (gØnØralisØ) la
fonction
g (cid:55)−→ l(π(g)v).
Cette fonction est une combinaison linØaire des π , et ce quelle que soit la base
i,j
(e ,...,e ) choisie.
1 n
Nous allons donner une derniŁre dØ(cid:28)nition dans ce paragraphe : celle d’une reprØsen-
tation unitaire.
6
DØ(cid:28)nition 1.6. Soient G un groupe et V un C-espace vectoriel de dimension (cid:28)nie muni
d’un produit hermitien (cid:104).,.(cid:105). Une reprØsentation π de G sur V est dite unitaire si, pour
tout g ∈ G, π(g) est un opØrateur unitaire sur V, c’est-(cid:224)-dire si
∀v,w ∈ V,∀g ∈ G,(cid:104)π(g)v,π(g)w(cid:105) = (cid:104)v,w(cid:105).
Remarque : ReprenonslesnotationsdeladØ(cid:28)nition.Soitdeplus(e ,...,e )unebase
1 n
orthonormaledeV.Notons(π ) lescoe(cid:30)cientsmatricielsdeπ danscettebase.
i,j i,j∈{1,...,n}
Alors, π est unitaire si seulement si la matrice (π (g)) est unitaire pour tout
i,j i,j∈{1,...,n}
g ∈ G, c’est-(cid:224)-dire si et seulement si, pour tout g ∈ G, pour tout (i,j) ∈ {1,...,n},
π (g) = π (g−1).
i,j j,i
Ene(cid:27)et,lapremiŁreØquivalenceesttrivialecar(π ) estlamatricedeπ(g)dans
i,j i,j∈{1,...,n}
la base (e ,...,e ), qui est orthonormale. La seconde Øquivalence est due au fait qu’une
1 n
matrice A est unitaire si A−1 = tA et que, pour tout g ∈ G, π(g)−1 = π(g−1), ce qui se
traduit par la mŒme ØgalitØ au niveau des matrices associØes dans la base (e ,...,e ).
1 n
1.3.2 ReprØsentation dØrivØe
DØ(cid:28)nition 1.7. Une reprØsentation d’une algŁbre de Lie g dans un espace vectoriel V
est une application linØaire ρ : g −→ End(V) qui est un morphisme d’algŁbre de Lie,
c’est-(cid:224)-dire que
∀X,Y ∈ g,ρ([X,Y]) = [ρ(X),ρ(Y)] = ρ(X)ρ(Y)−ρ(Y)ρ(X).
Remarque : on peut Ønoncer une dØ(cid:28)nition de l’Øquivalence entre deux reprØsentations
d’une algŁbre de Lie tout (cid:224) fait analogue (cid:224) celle ØnoncØe pour deux reprØsentations d’un
groupe topologique.
Voyons (cid:224) prØsent comment on peut passer d’une reprØsentation d’un groupe de Lie
linØaire (cid:224) une reprØsentation de son algŁbre de Lie, ce qui nous sera trŁs utile au moment
dedØterminertouteslesreprØsentationsirrØductiblesdeSU .CelanØcessitetoutd’abord
2
un rØsultat sur les sous-groupes (cid:224) un paramŁtre d’un groupe topologique.
DØ(cid:28)nition 1.8. Soit G un groupe topologique. Un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de G est
un morphisme continu de groupes :
γ : (R,+) −→ G.
ThØorŁme 1.3. Soit γ un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de GL (R). Alors, γ est de classe
n
C∞ et
∀t ∈ R,γ(t) = exp(tA)
oø A = γ(cid:48)(0).
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DØmonstration. On ne la fera pas ici, elle peut Œtre trouvØe dans le livre de Faraut [?],
page 40.
On peut maintenant introduire la notion de reprØsentation dØrivØe. Soient G un
groupe de Lie linØaire d’algŁbre de Lie g et V un espace vectoriel de dimension (cid:28)nie.
Soit π une reprØsentation continue de G dans V.
Alors, pour tout X ∈ g, γ : t (cid:55)−→ π(exp(tX)) est un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de
X
GL(V), et donc dØrivable d’aprŁs le thØorŁme prØcØdent.
DØ(cid:28)nition 1.9. On pose
dπ : g −→ End(V)
.
X (cid:55)−→ γ(cid:48) (0)
X
La reprØsentation dπ (nous allons montrer que c’en est une) est appelØe la reprØsentation
dØrivØe de π.
Montrons que dπ est une reprØsentation de g dans V :
Par le thØorŁme ØnoncØ sur les sous-groupes (cid:224) un paramŁtre, on a,
∀X ∈ g,π(exp(X)) = exp(dπ(X)).
D’aprŁs la dØ(cid:28)nition de dπ, on a, pour tous t ∈ R, X ∈ g, dπ(tX) = tdπ(X).
De plus, on a, d’aprŁs le corollaire II-2.4 de Faraut [?],
(cid:18) (cid:18) tX(cid:19) (cid:18) tY (cid:19)(cid:19)k
π(expt(X +Y)) = lim π exp π exp
k→∞ k k
(cid:18) dπ(tX) dπ(tY)(cid:19)k
= lim exp exp
k→∞ k k
= exp(dπ(tX)+dπ(tY))
= exp(tdπ(X)+tdπ(Y))
Ce qui donne, en dØrivant en t = 0 :
dπ(X +Y) = dπ(X)+dπ(Y).
En(cid:28)n,
π(exp(tgYg−1)) = π(g)π(exptY)π(g−1).
D’oø, en dØrivant en t = 0 :
dπ(gYg−1) = π(g)dπ(Y)π(g−1).
Et, en posant g = expsX et en dØrivant en s = 0 :
dπ([X,Y]) = dπ(X)dπ(Y)−dπ(Y)dπ(X).
Ainsi, dπ est bien un morphisme d’algŁbres de Lie, et donc une reprØsentation.
8
1.3.3 Lemme de Schur
Nous allons (cid:224) prØsent citer un rØsultat qui est assez rapide (cid:224) obtenir et qui nous
permettra de dØmontrer, au paragraphe suivant, les relations d’orthogonalitØ de Schur.
ThØorŁme 1.4. (Lemme de Schur)
(i) Soient π et π deux reprØsentations irrØductibles d’un groupe topologique G respec-
1 2
tivement dans V et V , deux espaces vectoriels de dimension (cid:28)nie. Soit A : V −→ V
1 2 1 2
une application linØaire qui entrelace les reprØsentations π et π , c’est-(cid:224)-dire que
1 2
∀g ∈ G,Aπ (g) = π (g)A.
1 2
Alors, A = 0 ou est un isomorphisme.
(ii) Soit π une reprØsentation irrØductible C-linØaire d’un groupe topologique G dans un
espace vectoriel complexe V de dimension (cid:28)nie. Soit A un endomorphisme de V qui
commute avec la reprØsentation π, c’est-(cid:224)-dire que
∀g ∈ G,Aπ(g) = π(g)A.
Alors, il existe λ ∈ C tel que A = λI (oø I dØsigne l’identitØ de V).
DØmonstration. (i) Soient g ∈ G,x ∈ ker(A). Alors,
A(π (g)x) = π (g)(Ax) = π (g)(0) = 0 (car π (g) est un endomorphisme de V)
1 2 2 2
Donc π (g)x ∈ ker(A), i.e. ker(A) est un sous-espace invariant de π , qui est irrØductible.
1 1
Ainsi, ker(A) = {0} ou V .
1
De mŒme, on montre que Im(A) est un sous-espace invariant de π , et donc que
2
Im(A) = {0} ou V .
2
On en dØduit que A = 0 ou A est un isomorphisme.
(ii) A possŁde au moins une valeur propre complexe (son polyn(cid:244)me caractØristique pos-
sŁde une racine sur C), notØe λ. Alors, A−λI n’est pas un isomorphisme. Or, A−λI
commute avec la reprØsentation π (car c’est le cas pour A et pourI), donc, en appliquant
le (i), et comme A−λI n’est pas un isomorphisme, on a A−λI = 0, i.e. A = λI.
1.3.4 Relations d’orthogonalitØ de Schur
Nousallons(cid:224)prØsentpouvoirØnoncer,puisdØmontrer((cid:224)l’aidedulemmedeSchur)les
relations d’orthogonalitØ de Schur. Celles-ci nous seront utiles dans le paragraphe faisant
le lien entre les coe(cid:30)cients matriciels d’une certaine reprØsentation et les polyn(cid:244)mes de
Jacobi, a(cid:28)n de donner une preuve, issue de la thØorie des reprØsentations, de l’orthogo-
nalitØ de cette famille de polyn(cid:244)mes.
9
