Analyse harmonique en dimension infinie

113 Pages·2007·0.67 MB·French

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UNIVERSIT(cid:201) PAUL VERLAINE - METZ
(cid:201)cole Doctorale IAEM Lorraine
T D
H¨SE DE OCTORAT
Discipline : MathØmatiques
SpØcialitØ : MathØmatiques fondamentales
PrØsentØe par
MAROUANE RABAOUI
pour obtenir le grade de
Docteur de l’UniversitØ Paul Verlaine-Metz
ANALYSE HARMONIQUE EN DIMENSION INFINIE :
PAIRES DE GUELFAND G(cid:201)N(cid:201)RALIS(cid:201)ES
Soutenue publiquement le 30 novembre 2007
Professeurs membres du jury :
M. Jacques FARAUT Co-Directeur de thŁse, Paris VI
M. Joachim HILGERT Rapporteur, Paderborn
M. Jean LUDWIG Examinateur, Metz
M. Sami MUSTAPHA Examinateur, Paris VI
M. Grigori OLSHANSKI Rapporteur, Moscou
Mme. Angela PASQUALE Directeur de thŁse, Metz
Laboratoire de MathØmatiques et Applications de Metz
UMR 7122 du CNRS et de l’UniversitØ Paul Verlaine-Metz
Ile du Saulcy, F-57045 Metz Cedex 1

(cid:192) mes parents

RØsumØ
Dans cette thŁse, on commence par dØmontrer une version gØnØralisØe du thØo-
rŁmedeBochner.CerØsultatconcernelespairessphØriquesd’Olshanski(G ,K )
∞ ∞
qui sont dØ(cid:28)nies comme limites inductives de suites croissantes de paires de Guel-
fand (G ,K ) . En utilisant la thØorie de la reprØsentation intØgrale de Choquet
n n n
dans les c(cid:244)nes convexes, on Øtablit une reprØsentation de type Bochner pour toute
fonction ϕ de l’ensemble P(cid:92)(G ) des fonctions continues, K -biinvariantes et de
∞ ∞
type positif sur G . Cette reprØsentation est donnØe via une unique mesure posi-
∞
(cid:82)
tive et bornØe µ par : ϕ(g) = ω(g) dω. Ici Ω dØsigne l’ensemble des fonctions
Ω
sphØriques de type positif sur G .
∞
Ensuite,onconsidŁrelapairesphØrique(U(∞)×U(∞), (U(∞)×U(∞))(cid:110)V )
∞
oø V = M(∞,C) est l’espace des matrices complexes carrØes de dimension in(cid:28)nie
∞
n’ayant qu’un nombre (cid:28)ni de coe(cid:30)cients non nuls, et U(∞) est le groupe unitaire
de dimension in(cid:28)nie. En utilisant un rØsultat dß (cid:224) G. Olshanski et A. Vershik, on
dØtermine l’ensemble Ω pour la paire sphØrique considØrØe. Ce qui nous permet de
trouver une version paramØtrØe du thØorŁme de Bochner gØnØralisØ qu’on utilise
pour Øtablir une reprØsentation intØgrale des fonctions continues de type nØgatif
dans le cas de cette paire.
Mots-clØs : Paire de Guelfand, thØorŁme de Bochner-Godement, fonction de
type positif, fonction de type nØgatif, fonction sphØrique, paire sphØrique, limite
inductive, thØorŁme de Bochner gØnØralisØ.
Abstract
In this Thesis, we (cid:28)rst prove a generalisation of Bochner theorem. This result
dealswithOlshanskisphericalpairs(G ,K )whicharede(cid:28)nedasinductivelimits
∞ ∞
of increasing sequences of Gelfand pairs (G ,K ) . By using Choquet’s theorem,
n n n
we establish a Bochner type representation of any element ϕ in the set P(cid:92)(G ) of
∞
K -biinvariant continuous functions of positive type on G . Such representation
∞ ∞
(cid:82)
is given via a unique, positive and bounded measure µ by : ϕ(g) = ω(g) dω.
Ω
Here Ω is the set of spherical functions of positive type on G .
∞
Then we consider the spherical pair (U(∞)×U(∞), (U(∞)×U(∞))(cid:110)V )
∞
where V = M(∞,C) is the in(cid:28)nite dimensional space of square complex matrices
∞
with only (cid:28)nite non zero coe(cid:30)cients, and U(∞) is the in(cid:28)nite dimensional unitary
group. By using a result of G. Olshanski and A. Vershik, we determine the set Ω of
spherical functions of positive type for the considered spherical pair. This enables
us to (cid:28)nd a parameterized version of the generalized Bochner theorem which we
use to establish an integral representation of continuous functions of negative type
in this case.
Keywords : Gelfand Pair, Bochner-Godement theorem, function of positive
type, function of negative type, spherical function, spherical pair, inductive limit,
generalized Bochner theorem.

REMERCIEMENTS
C’est un moment trŁs fort en Ømotion, fermer ce long chapitre de ma vie
en remerciant toutes les personnes qui m’ont accompagnØ pendant.
Je commence par exprimer ma profonde gratitude (cid:224) mes deux directeurs
de thŁse Jacques Faraut et Angela Pasquale. J’ai eu la chance de faire (cid:224)
leurs c(cid:244)tØs de belles mathØmatiques et je ne peux qu’admirer leur savoir ma-
thØmatiques et leur fa(cid:231)on de travailler. Je les remercie d’avoir ØtØ toujours
disponible, de m’avoir accueilli toujour avec un grand sourire, d’Œtre (cid:224) mon
Øcoute pendant les moments di(cid:30)ciles et de m’entourer avec gentillesse et
humanitØ pendant les moments trŁs di(cid:30)ciles. Toutes nos discussions Øtaient
des sources d’inspiration pour mon travail, ils ont rØpondu avec beaucoup de
patience (cid:224) mes questions et ils m’ont appris que c’est dans la simplicitØ que
l’on trouve les meilleures rØponses. Je les remercie aussi pour leurs encoura-
gements constants et leurs judicieux conseils. Ils ont su me faire dØcouvrir de
nombreux domaines passionnants des mathØmatiques et me guider vers des
problŁmes (cid:224) la fois intØressants et abordables. Sans eux, cette thŁse n’aurait
pas pu s’accomplir dans de si bonnes conditions.
Je souhaite remercier Grigori Olshanski et Joachim Hilgert de m’avoir
fait l’honneur d’accepter d’Œtre rapporteurs et membres du jury de ma thŁse.
Je leur exprime ma sincŁre reconnaissance d’avoir acceptØ de se lancer dans
un travail certainement ingrat de relecture attentive et critique.
C’est avec un grand sourire que je remercie spØcialement Jean Ludwig.
Je le remercie d’avoir acceptØ de faire partie de mon jury de thŁse. Je le
remercie aussi de m’avoir trŁs bien accueilli depuis mon arrivØe au LMAM.
Je lui exprime ma gratitude pour son soutien inestimable.
C’est une grande joie de voir Sami Mustapha faire partie du jury de ma
thŁse et je le remercie beaucoup. J’ai eu la chance de faire mon stage de
DEA avec lui et c’est grace (cid:224) son encouragement et sa gentillesse que j’ai eu
la force et l’envie de me relever et continuer. Sa prØsence (cid:224) ma soutenance
de thŁse et un grand honneur pour moi.
Je remercie Øgalement Tilmann Wurzbacher. Je le remercie pour son sou-
tien pendant mes annØes de thŁse et je me souviendrai toujours de son accueil
chaleureux lors de ma premiŁre viste (cid:224) Metz.
Je remercie Øgalement tous les membres du Laboratoire de mathØma-
tiques et applications de Metz. Je ne pourrais jamais oublier les moments
chaleureux que j’ai passØ au sein de ce laboratoire.
Je me souviendrai toujours que l’institut de mathØmatiques de Jussieu et
son directeur Gilles Godefroy m’ont trŁs bien accueilli depuis mon arrivØe en
France.
Je pense trŁs fort (cid:224) mes amis et mes collŁgues. Je pense trŁs fort (cid:224) Haikel,
Aziz, Mohamed et Walid.
Finalement, ce rŒve n’aurait pas pu se rØaliser sans l’amour, la con(cid:28)ance,
le soutien de ma famille, sans qui je ne serais pas oø j’en suis aujourd’hui. Je
remerciemagrande-mŁrequiafaitgrandirmonimaginationdŁsmonenfance
quand elle me faisait dormir avec ses contes de fØes. Mon pŁre, qui m’a appris
(cid:224)restertoujoursdeboutfaceauxdi(cid:30)cultØs,(cid:224)aimerlarechercheetlascience.
Ma mŁre, qui m’a appris (cid:224) Œtre simple, que l’on peut Œtre heureux juste en
regardant ceux qu’on aime (cid:224) nos cotØs. Elle a embrassØ mes Øchecs et mes
rØussitessansdistinction.JeremerciemonfrŁreetmasoeurdem’avoirdonnØ
tellement de chaleur et de joie de vivre, de m’avoir appris (cid:224) ne jamais baisser
les bras. Je pense trŁs fort (cid:224) ma femme qui m’a entourØ de son amour tendre
et pure. (cid:192) ma famille et (cid:224) tous ceux que j’aime et je respecte je dØdie ce
travail.
Table des matiŁres
0.1 INTRODUCTION G(cid:201)N(cid:201)RALE . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 GØnØralitØs sur les reprØsentations unitaires et les fonctions
de type positif 15
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 GØnØralitØs sur les reprØsentations unitaires des groupes . . . . 16
1.2.1 ReprØsentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 GØnØralitØs sur les fonctions de type positif . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Noyau de type positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Fonctions de type positif . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 ThØorŁme de Bochner-Godement 41
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 PropriØtØs algØbriques de P(cid:92)(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 ThØorŁme de Bochner-Godement . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 CommutativitØ de πϕ(G)(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 CompacitØ de P(cid:92) (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
≤1
2.3.3 Preuve du thØorŁme de Bochner-Godement . . . . . . . 51
3 GØnØralisation du thØorŁme de Bochner-Godement aux li-
mites inductives de paires de Guelfand 53
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Paires de Guelfand gØnØralisØes . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Paires sphØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Limites inductives de paires de Guelfand . . . . . . . . 55
3.3 GØnØralisation du thØorŁme de Bochner . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Au sujet de la compacitØ de P(cid:92) (G ) . . . . . . . . . . 59
≤1 ∞
3.3.2 PropriØtØs algØbriques de Q . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 (cid:201)noncØ et preuve du thØorŁme de Bochner-Godement
gØnØralisØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9