Table Of ContentDelftse Uitgevers Maatschappij - 1986
analyse 2
("1
IJ'I ......
0'0
-10
OCD
CD CD
BIBLIOTHEEK TU Delft
P 2159 7180
111111 111
C 885670
12665
analyse 2
Dr. B. Meulenbeld, oud-hoogleraar aan de Technische Hogeschool Delft
Dr. A.W. Grootendorst, hoogleraar aan de Technische Hogeschool Delft
Zesde, herziene dru k, heruitgave
Delftse Uitgevers Maatschappij b.v. - 1986
CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag
Meulenbeld, B.
Analyse / B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst. - Delft: Delftsche U.M.
2. - Ill.
Oorspr. titel: Analyse voor propaedeutische examens / B. Meulenbeld en W.K. Baart.
~ Dl. 2 (p .. 1-204). - Haarlem: Stam Technische Boeken, 1960). - Met reg.
ISBN 90-6562-065-6
SISO 515 UDC 517(075.8)
Trefw.: wiskundige analyse.
©VSSD
Zesde druk 1986
Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.
P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands
Tel. 015-123725
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd,
opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige
vorm of op enige wijze, hetzij electronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen
of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de
uitgever.
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a
retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical,
photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the
publisher.
ISBN 9065620656
Voorbericht bij de vijfde druk
Deze uitgave kan beschouwd worden als de vijfde druk van de pagina's 1.. .204
van het boek: "Analyse voor propaedeutische examens, deel 2" van de hand van
Meulenbeld en Baart.
Aangezien de stof aanmerkelijk is uitgebreid leek het ons gewenst het genoemde boek
in twee gedeelten te laten verschijnen. Het voorliggende deel 2 bevat hoofdzakelijk
de differentiaal- en integraalrekening van functies van meer dan één veranderlijke.
Deel 3 is geheel gewijd aan differentiaalvergelijkingen.
Evenals in deel 1 zijn ook in dit deel ingrijpende veranderingen aangebracht. Behalve
aan de uitbreiding van de stof is dit ook toe te schrijven aan een strengere behandeling.
Elke deskundige zal begrijpen dat er juist bij functies van meerdere veranderlijken
grote problemen liggen en dat men bij een eerste behandeling van deze materie nood
zakelijkerwijs concessies aan de strengheid van behandeling zal moeten toestaan.
Zo is b.v. bij de stellingen van Gauss en Stokes wel een aantal topologische problemen
aangeroerd, maar niet "ad fundum" behandeld.
Om het boek leesbaar te houden is daarom de formulering soms "populair" gekozen.
Op veler vraag is ook de vectoranalyse en de theorie van ruimtekrommen en -opper
vlakken uitgebreid.
Voor opbouwende kritiek houden we ons zeer aanbevolen.
Delft, juli 1976. De schrijvers
B. Meulenbeld
A. W. Grootendorst
Voorbericht bij de zesde druk
Deze zesde druk is een nagenoeg ongewijzigde herdruk van de voorafgaande. Zoals de
lezer bemerkt zal hebben is deze druk verzorgd door de VSSD. Volgaarne willen wij
deze vereniging bedanken voor de bereidwilligheid en de keurige uitvoering van dit
werk.
Als steeds houden wij ons aanbevolen voor constructieve opmerkingen.
Delft, apri/1986 De schrijvers
B. Meulenbeld
A.W. Grootendorst
Inhoud
Hoofdstuk 1 tremen bij een functie van twee ver-
anderlijken 57
Functies van twee verander/ijken
13 De methode van de kleinste kwadra-
Continuïteit en differentieerbaarheid 13 ten 64
2 Gemengde partiële afgeleiden 15 14 Extremen met nevenvoorwaarden bij
3 Homogene functies. Stelling van functies van één veranderlijke 66
Euler 16 15 Extreme waarden bij impliciet gege-
4 De middelwaardestelling voor een ven functies van twee veranderlijken 74
functie van twee veranderlijken 18 16 Extreme waarden bij functies van
5 De formule van Taylor voor een meer dan twee veranderlijken met
functie van twee veranderlijken 21 nevenvoorwaarden 78
6 Invoeren van nieuwe variabelen 23 17 De multiplicatorenmethode van La-
grange 84
Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 4
Impliciete functies
Vectoranalyse
7 Impliciete functies van één verander-
lijke 37 18 Vectorruimten 88
8 Impliciete functies van twee veran- 19 Vectorveld ; vectorfunctie; scalair
derlijken 43 veld; scalaire functie 88
9 Impliciete functies van één verander 20 De gradiënt van een scalair veld 90
lijke, bepaald door twee vergelijkin- 21 De divergentie van een vectorveld 92
gen 47 22 De rotatie van een vecton-eld 93
23 Betrekkingen tussen gradiënt, diver-
gentie en rotatie 94
Hoofdstuk 3
24 Vectoranalyse 95
Extreme waarden
10 Extremeo waarden bij impliciet gege- Hoofdstuk 5
ven functies van één variabele 51
Vlakke krommen
11 Extremen bij functies van twee va-
riabelen 54 25 Parametervoorstellingvan een krom-
12 Voldoende voorwaarden voor ex- me 100
7
26 Differentiatie van een in parameter- 54 Expliciete berekening van de dub
vorm gegeven functie 105 belintegraal. Herhaalde integraal bij
27 Voorstelling van een kromme in constante grenzen 185
poolcoördinaten 108 55 Riemann-sommen bij dubbelintegra-
28 De booglengte van een vlakke krom- len 189
me 112 56 Dubbelintegraal over algemene inte-
29 De booglengte als parameter 122 gratiegebieden 190
30 Kromming en kromtestraal 123 57 Berekening van de dubbelintegraal
31 Tangentiële vector en normaalvector 125 over algemene integratiegebieden 194
32 Uitdrukkingen voor de kromming 58 De stelling van Green voor het plat-
en de kromtestraal 128 te vlak 201
33 Voorbeelden van berekening van 59 Gevolgen van de stelling van Green;
kromming en kromtestraal 133 exacte differentiaal 211
60 Kromlijnige coördinaten; inverse
Hoofdstuk 6 transformatie 220
Ruimtekrommen 61 Existentievoorwaarden voor de in-
34 Parameter-en vectorvoorstelling van verse transformatie 228
een ruimtekromme 137 62 Invoeren van nieuwe variabelen in
35 Eliminatie van de parameter 139 een dubbelintegraal 232
36 Raaklijn aan een ruimtekromme; 63 Meetkundige toelichting bij de
normaalvlak 141 transformatie van dubbelintegralen 238
37 Booglengte van een ruimtekromme 142 64 Enkele toepassingen van transfor-
38 Triëder van Trenet-Serret 145 matie van dubbelintegralen 240
39 Formules van Trenet-Serret 147 65 Cilindercoördinaten in dubbelinte-
40 Meetkundige betekenis van de krom- gralen 242
ming 148 66 Oneigenlijke integralen 1 248
41 Meetkundige betekenis van de torsie 150 67 Oneigenlijke integralen 2 253
42 Meetkundige betekenis van het os- 68 Drievoudige integraal 255
culatievlak 152 69 Cilindercoördinaten .e n bolcoördi-
43 Voorbeeld van berekening van de in naten 258
dit hoofdstuk ingevoerde grootheden 154 70 Berekening van de oppervlakte van
44 Raakvlak aan een oppervlak 157 een vlakke figuur 266
71 Algemene formules voor inhouden.
Hoofdstuk 7 Inhouden van omwentelingslicha-
men 269
Lijnintegralen
72 Oppervlakte van een gebogen vlak in
45 Het begrip lijnintegraal 161 rechthoekige coördinaten 275
46 Existentie van de lijnintegraal 163 73 Berekening van de oppervlakte van
47 Eigenschappen van de lijnintegraal 165 een ruimteoppervlak met behulp van
48 Voorbeelden van lijnintegralen 166 kromlijnige coördinaten 280
49 Fysische betekenis van de lijninte- 74 Berekening van de oppervlakte van
graal. Massadichtheid 169 een ruimteoppervlak met behulp van
50 Arbeidsintegraal 172 cilindercoördinaten 282
75 Berekening van de oppervlakte van
Hoofdstuk 8 een ruimteoppervlak met behulp van
bolcoördinaten 284
Meervoudige integralen
76 Oppervlakte van omwentelingslicha-
51 Inhoudsbegrip ; dubbelintegraal 176 men 288
52 Existentie van de dubbelintegraal
van continue functi~s 179
53 Eigenschappen van dubbelintegralen 183
8
Hoofdstuk 9 84 Statisch moment, zwaartepunt,
traagheidsmoment van systemen van
Integraalstellingen
een eindig aantal massapunten 320
77 Oppervlak-integralen 292 85 Statisch moment, zwaartepunt,
78 Inleidende opmerkingen over inte- traagheidsmoment bij continue mas
graalstellingen 296 saverdeling 322
79 Het divergentietheorema (Stelling 86 Verschuivingsstelling voor vlakke
van Gauss) 299 traagheidsmomenten 329
80 Stellingen van Green voor de ruimte 306 87 Regels van Guldin (Pappus) 331
81 De stelling van Stokes 308
82 Fysische betekenis van divergentie, Hoofdstuk 11
rotatie en de integraalstellingen 314
Gamma- en bêtafunctie
Hoofdstuk 10 88 De gammafunctie 334
89 De bêtafunctie 336
Massa. Zwaartepunt. Traagheidsmoment
83 Massa en massadichtheid van een Register 342
oppervlak en van een lichaam 318
9
