ANALYSE FONCTIONNELLE : Fonctions Harmoniques, Classe

140 Pages·2008·0.85 MB·French

´
UNIVERSITE LYON I
COURS DE MASTER, 2i`eme ann´ee (MATHE´MATIQUES PURES)
ANALYSE FONCTIONNELLE :
Fonctions Harmoniques, Classe de Nevanlinna,
Espaces de Hardy, et
une introduction aux op´erateurs de Toeplitz et
de Hankel
Isabelle CHALENDAR
- 2008 -
2
Table des mati`eres
1 Fonctions harmoniques 7
1.1 Rappels : th´eor`eme de Poincar´e et th´eor`eme de Fej´er . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Le th´eor`eme de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Le th´eor`eme de Fej´er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 D´efinition et propri´et´es des fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Th´eorie avanc´ee des fonctions harmoniques 27
2.1 Rappels : th´eor`eme d’Hahn-Banach et mesures complexes . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Cons´equence de la th´eorie d’Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Mesures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Mesures complexes sur T et fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Limites radiales des fonctions harmoniques sur D . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Rappels de th´eorie de la mesure sur R . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 D´eriv´ees sup´erieures et inf´erieures d’une mesure `a valeurs r´eelles et
d´efinie sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Limite radiale de l’int´egrale de Poisson par rapport `a µ ∈ M(T) . . 41
2.3.4 Applications : description de certaines fonctions harmoniques . . . . 44
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 La classe de Nevanlinna N 47
3
`
4 TABLE DES MATIERES
3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Primitive de fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Fonctions log+ et log− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 D´ecomposition de Jordan d’une mesure r´eelle . . . . . . . . . . . . 48
3.2 D´efinition de N, fonctions de N sans z´ero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 La formule de Jensen et ses cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Description des fonctions de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Les espaces de Hardy Hp(D), 0 < p ≤ ∞ 63
4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 In´egalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 In´egalit´e de H¨older et Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.3 L’espace L2(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Fonctions sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 D´efinition et caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 D´efinitions des espaces de Hardy et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . 68
4.4 Th´eor`emes de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1 Les fonctions int´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2 Les fonctions ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.3 Facteurs ext´erieures des fonctions de Hp(D), 0 < p ≤ ∞ . . . . . . 75
4.4.4 L’espace de Hardy H2(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.5 Factorisations des fonctions de Hp(D), 0 < p ≤ ∞ . . . . . . . . . . 79
4.5 R´esultats fondamentaux sur les fonctions de Hp, 0 < p ≤ ∞ . . . . . . . . 82
4.5.1 Limites radiales des fonctions de Hp(D), 0 < p ≤ ∞ . . . . . . . . . 82
4.5.2 R´esultat de repr´esentation des fonctions de Hp(D) pour p ∈ [1,∞] . 84
4.5.3 Identification entre Hp(D) et Hp(T) pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . 85
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
`
TABLE DES MATIERES 5
5 Sous-espaces invariants du shift 89
5.1 Introduction : le probl`eme du sous-espace invariant . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Le probl`eme du sous-espace invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Le shift sur ℓ2 et H2(D) : d´efinition et propri´etes spectrales . . . . . . . . . 92
5.2.1 Le shift sur ℓ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Le shift sur H2(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Description de tous les sous-espaces invariants du shift sur H2(D) . . . . . 95
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Op´erateurs de Hankel et op´erateurs de Toeplitz 101
6.1 Op´erateurs de Laurent et operators de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Op´erateurs de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 El´ements de correction des exercices 115
7.1 Exercices du Chapitre I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 Exercices du Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.1 Rappels de topologie et r´egularit´e des mesures de Borel . . . . . . . 122
7.2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Exercices du Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3.1 Rappels sur les produits infinis de nombres complexes . . . . . . . . 127
7.4 Exercices du Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5 Exercices du Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
`
6 TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Fonctions harmoniques
On d´esignera parD le disque unit´e ouvert de C et par T le cercle unit´e de C.L’ensemble
des fonctions holomorphes sur D est not´e Hol(D).
1.1 Rappels : th´eor`eme de Poincar´e et th´eor`eme de
Fej´er
1.1.1 Le th´eor`eme de Poincar´e
Soit w = fdx + gdy une 1-forme diff´erentielle de classe C1 (i.e. f et g sont de classe
C1) sur un ouvert Ω de C. Rappelons que dw est la 2-forme diff´erentielle d´efinie par
dw = df ∧dx+ dg ∧dy et rappelons que si f est de classe C1, df est appel´ee la 1-forme
diff´erentielle associ´ee `a f et est d´efinie par df = ∂fdx+ ∂fdy.
∂x ∂y
On dit que w est ferm´ee si dw = 0 et on dit que w est exacte s’il existe une fonction ϕ
de classe C2 sur Ω telle que w = dϕ (i.e. w est la 1-forme diff´erentielle associ´ee `a ϕ).
Lemme 1.1.1 Toute forme exacte sur un ouvert Ω de C est ferm´ee.
Preuve : Si w = dϕ = ∂ϕdx+ ∂ϕdy, alors
∂x ∂y
∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ
dw = dx+ dy ∧dx+ dx+ dy ∧dy.
∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:19)
Rappelons que le produit ext´erieur ∧ est anticommutatif, ce qui implique dx ∧ dy =
−dy ∧ dx,dx ∧ dx = 0 = dy ∧ dy. D’autre part, comme ϕ est de classe C2, nous avons
7
8 CHAPITRE 1. FONCTIONS HARMONIQUES
∂ ∂ϕ = ∂2 = ∂ ∂ϕ . On obtient donc :
∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x
(cid:16) (cid:17)
(cid:0) (cid:1)
∂2ϕ ∂2ϕ
dw = − + dx∧dy = 0.
∂x∂y ∂x∂y
(cid:18) (cid:19)
(cid:3)
Il existe une r´eciproque du Lemme 1.1.1 que nous admettrons (la preuve utilise la
formule de Stokes, [7], Chap. 1, Section 2.8).
Th´eor`eme 1.1.1 (de Poincar´e) Soit Ω un ouvert simplement connexe. Alors toute
1-forme diff´erentielle ferm´ee sur Ω est exacte.
Remarque 1.1.1 Tout convexe est simplement connexe.
1.1.2 Le th´eor`eme de Fej´er
Pour f continue sur T et pour tout n ∈ Z, on d´efinit le n-i`eme coefficient de Fourier
de f par
1 2π
fˆ(n) = f(eit)e−intdt.
2π
Z0
La s´erie de Fourier de f est la s´erie fˆ(n)eint. La somme partielle de la s´erie de
n∈Z
X
Fourier de f est S (f)(eit) = fˆ(n)eint. Le th´eor`eme suivant, que nous admettrons,
m
|n|≤m
X
dit que les sommes partielles ne convergent pas en g´en´eral mais, si f est continue, on peut
les “r´egulariser” et les rendre convergentes en prenant leurs moyennes.
Th´eor`eme 1.1.2 (de Fej´er) Si f est continue sur T, alors la moyenne de Cesa`ro
n
1 S (f) converge uniform´ement vers f sur T.
n m
m=1
X
Corollaire 1.1.1 Les polynˆomes trigonom´etriques sont denses dans l’ensemble des fonc-
tions continues sur T, C(T), pour la convergence uniforme sur T.
Preuve : Pour f ∈ C(T), la somme partielle S (f) est un polynˆome trigonom´etrique
m
p
(un polynˆome trigonom´etrique est une fonctionde la formeeit 7−→ c eint avec c ∈ C).
n n
n=−p
X (cid:3)
´ ´ ´
1.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES 9
1.2 D´efinition et premi`eres propri´et´es des fonctions
harmoniques
D´efinition 1.2.1 Soit Ω un ouvert de C et soit f une fonction f : Ω → C. On dit que
f est harmonique sur Ω si f est de classe C2 sur Ω et si ∆f ≡ 0 sur Ω, ou` ∆f est le
Laplacien de f d´efini par ∆f = ∂2f + ∂2f.
∂x2 ∂y2
Remarque 1.2.1 Pour toute fonction f de classe C2 sur un ouvert Ω de C, on a :
∂2f ∂2f
∆f = 4 = 4 ,
∂z∂z ∂z∂z
avec ∂ = 1 ∂ −i ∂ et ∂ = 1 ∂ +i ∂ .
∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
En effet,
∂2f = ∂ 1 ∂f +i∂f
∂z∂z ∂z 2 ∂x ∂y
= 1 (cid:16)1 (cid:16)∂ ∂f +i(cid:17)∂(cid:17)f −i ∂ ∂f +i∂f
2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
= 1 (cid:16)∂2(cid:16)f +(cid:16)i ∂2f −i ∂(cid:17)2f + ∂2(cid:16)f (cid:17)(cid:17)(cid:17)
4 ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y2
= 1∆(cid:16)f, (cid:17)
4
car ∂2f = ∂2f puisque f est par hypoth`ese de classe C2. Via un calcul analogue, on
∂y∂x ∂x∂y
montre que ∂2f = 1∆f.
∂z∂z 4
Proposition 1.2.1 Toute fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert Ω est
harmonique sur Ω
Preuve : Si f ∈ Hol(Ω), f est de classe C2 et de plus ∂f ≡ 0 sur Ω. Par cons´equent,
∂z
∆f = 4 ∂ ∂f ≡ 0. Si f est anti-holomorphe, f est de la forme g ou` g est holomorphe.
∂z ∂z
Ainsi f est(cid:0)elle(cid:1)-aussi de classe C2 et ∂f ≡ 0 sur Ω. Par cons´equent, ∆f = 4 ∂ ∂f ≡ 0.
∂z ∂z ∂z
(cid:3)
(cid:0) (cid:1)
Remarque 1.2.2 Soit Ω un ouvert de C. Une fonction f : Ω → C est harmonique si et
seulement si Re(f) et Im(f) sont harmoniques sur Ω.
La remarque ci-dessus est une cons´equence imm´ediate du fait que Re(∆f) = ∆(Re(f)) et
Im(∆f) = ∆(Im(f)).
10 CHAPITRE 1. FONCTIONS HARMONIQUES
Corollaire 1.2.1 Soit Ω un ouvert de C. Si une fonction f : Ω → C est holomorphe, alors
Re(f) et Im(f) sont harmoniques sur Ω.
Le corollaire ci-dessus admet une r´eciproque `a condition d’imposer une condition suppl´e-
mentaire sur l’ouvert Ω.
Th´eor`eme 1.2.1 Soit Ω un ouvert simplement connexe de C et soit f : Ω → R de
classe C2. Si f est une fonction harmonique sur Ω alors il existe une fonction ϕ holomorphe
sur Ω telle que Re(ϕ) = f.
Preuve : On cherche une fonction g : Ω → R, de classe C2 telle que f + ig soit
holomorphe sur Ω. D’apr`es les ´equations de Cauchy-Riemann, f +ig est holomorphe
si et seulement si ∂f = ∂g et ∂f = −∂g sur Ω.
∂x ∂y ∂y ∂x
Consid´erons la 1-forme diff´erentielle w de classe C1 d´efinie par w = −∂fdx + ∂fdy.
∂y ∂x
Alors w est une forme ferm´ee. En effet,
dw = − ∂2f dx− ∂2fdy ∧dx+ ∂2fdx+ ∂2f dy ∧dy
∂x∂y ∂y2 ∂x2 ∂y∂x
= (cid:16)∂2f + ∂2f dx∧d(cid:17)y (cid:16) (cid:17)
∂y2 ∂x2
= (cid:16)∆fdx∧dy(cid:17)
= 0.
L’ouvert Ω ´etant simplement connexe, d’apr`es le th´eor`eme de Poincar´e, il existe une fonc-
tion g de classe C2 sur Ω telle que
∂f ∂f ∂g ∂g
− dx+ dy = w = dg = dx+ dy.
∂y ∂x ∂x ∂y
On a donc ∂g = −∂f et ∂g = ∂f. La fonction ϕ : Ω → C d´efinie par ϕ = f +ig est donc
∂x ∂y ∂y ∂x
holomorphe sur Ω et par construction f = Re(ϕ).
(cid:3)
Remarque 1.2.3 L’hypoth`ese “Ω simplement connexe” est n´ecessaire.
En effet, posons f(z) = log|z| pour z 6= 0. Si a ∈ C \ {0}, il existe une d´etermination
holomorphe ϕ du logarithme sur D(a,|a|), le disque ouvert centr´e en a et de rayon |a| (en