analyse fonctionnelle

185 Pages·2010·0.76 MB·French

Notes de cours
ANALYSE FONCTIONNELLE
Guillaume CARLIER
ENS, 2009-2010
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3
Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels topologiques localement convexes 6
1.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Bornitude, continuit´e, suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Limites inductives et topologie de D(Ω) . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Introduction `a la th´eorie des distributions 38
2.1 Quelques r´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres des distributions . . . . . . 45
2.3 Convolution et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Solution fondamentale du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Espaces de Banach et topologies faibles 67
3.1 Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Topologie faible-∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Espaces uniform´ement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Op´erateurs lin´eaires, op´erateurs compacts 81
4.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Cons´equences de la th´eorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Op´erateurs compacts, alternative de Fredholm . . . . . . . . . 84
4.4 D´ecomposition spectrale des op´erateurs compacts autoadjoints 89
5 Espaces Lp 91
5.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Propri´et´es ´el´ementaires des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Dualit´e, r´eflexivit´e, s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4
5.4 Compacit´e dans Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 Compacit´e faible dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Espaces de mesures 110
6.1 Rappels sur les espaces de fonctions continues . . . . . . . . . 110
6.2 Th´eor`eme de Riesz et mesures de Radon dans le cas compact . 112
6.3 Mesures de Radon dans le cas localement compact . . . . . . . 121
6.4 Th´eor`eme de Radon-Nikodym, d´esint´egration des mesures . . 128
6.5 Dualit´e convexe et transport optimal . . . . . . . . . . . . . . 132
7 Espaces de Sobolev et EDP’s elliptiques lin´eaires 141
7.1 Cas de la dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres en dimension quelconque . 148
7.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4 Espace W1,p et traces de fonctions W1,p . . . . . . . . . . . . . 160
0
7.5 Formulation variationnelle de quelques pro- bl`emes aux limites 163
7.6 Principe du maximum et r´egularit´e elliptique . . . . . . . . . . 167
8 Calcul des variations et EDP’s elliptiques non-lin´eaires 174
8.1 M´ethode directe du calcul des variations . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Th´eor`emes de point-fixe et applications . . . . . . . . . . . . . 178
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Chapitre 1
Espaces vectoriels topologiques
localement convexes
1.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres
Danstoutcequisuit,E d´esigneraunespacevectorielsurR,lesd´efinitions
et r´esultats qui suivent s’´etendent au cas complexe (une fois correctement
´etendues les notions de convexit´e et de sym´etrie).
D´efinition 1.1 On appelle espace vectoriel topologique (evt) tout ev E muni
d’une topologie rendant continues les applications
(x,y) ∈ E ×E 7→ x+y, et (λ,x) ∈ R×E 7→ λx.
Si E est un evt, alors les translations τ (τ (y) := x + y) sont des
y x
hom´eomorphismes de E, et donc si V est un syst`eme fondamental de voisi-
nagesde0,{τ (V) = x+V, V ∈ V}estunsyst`emefondamentaldevoisinages
x
de x. De mˆeme, si λ ∈ R∗, l’homoth´etie y 7→ λy est un hom´eomorphisme de
E.SiU estunvoisinagede0etx ∈ E alorspourλ ∈ Rsuffisammentpetiten
valeur absolue λx ∈ U, on dit alors que les voisinages de 0 sont absorbants.
On notera ´egalement qu’une application lin´eaire entre evt est continue si et
seulement si elle l’est en 0. Enfin, on rappelle qu’un espace topologique est
s´epar´e d`es que tout couple de points distincts poss`ede des voisinages disjoints
(ce qui est toujours le cas dans les espaces m´etriques).
Exercice 1.1 (Histoire de manipuler la d´efinition) Montrer que si E est
un evt, 0 poss`ede un syst`eme fondamental de voisinages ´equilibr´es (V est
´equilibr´e si λV ⊂ V pour λ ∈ [−1,1]). L’evt E est s´epar´e si et seulement si
{0} est ferm´e.
6
Exercice 1.2 Montrer qu’un evt s´epar´e localement compact (i.e. tel que
chaque point admet un voisinage compact) est n´ecessairement de dimension
finie.
Exercice 1.3 (Histoire de r´egler une bonne fois pour toutes le cas de la
dimension finie) Soit E un evt s´epar´e de dimension finie, montrer que sa
topologie co¨ıncide avec celle d´efinie par une norme.
Evidemment, la topologie induite par une norme sur E fait de E un evt
mais dans les applications la structure d’espace vectoriel norm´e s’av`ere par-
fois trop rigide et inadapt´ee (car, par exemple, la boule unit´e n’est jamais
relativement compacte dans un espace vectoriel de dimension infinie...). In-
versement, la notion d’evt seule est souvent trop g´en´erale pour les analystes
et en pratique, les espaces fonctionnels que nous rencontrerons auront en fait
davantage de structure. Avant d’aller plus loin, consid´erons le cas (important
et pas si particulier que cela comme nous le verrons au Th´eor`eme 1.1) d’une
topologie engendr´ee par une famille de semi-normes.
D´efinition 1.2 Soit E un R-ev, on appelle semi-norme sur E toute appli-
cation p : E → R , v´erifiant :
+
p(x+y) ≤ p(x)+p(y),∀(x,y) ∈ E ×E, p(λx) = |λ|p(x),∀(x,λ) ∈ E ×R.
Soit P une famille de semi-normes sur E, on dit que P s´epare les points (ou
est s´eparante) de E si
p(x) = 0, ∀p ∈ P ⇒ x = 0.
Soit P = {p ,i ∈ I}, une famille de semi-normes sur E, x ∈ E, r > 0 et
i
J ⊂ I, finie, on d´efinit la P-boule ouverte de centre x, B (x,r) par
J
\
B (x,r) = B (x,r) = {y ∈ E : p (x−y) < r, ∀j ∈ J}.
J pj j
j∈J
Notons que B (x,r) = x+B (0,r) et que par d´efinition mˆeme les P-boules
J J
B (x,r) sont des ensembles convexes de E (on rappelle qu’un sous ensemble
J
C de E est convexe si tx+(1−t)y ∈ C pour tout (t,x,y) ∈ [0,1]×C ×C).
La topologie associ´ee `a une famille de semi-normes est d´efinie comme
suit :
7
D´efinition 1.3 Soit E un R-ev et P = {p ,i ∈ I}, une famille de semi-
i
normes sur E, les ouverts de la topologie associ´ee `a P sont les parties U
de E telles que pour tout x ∈ U, il existe r > 0 et J ⊂ I fini tels que
B (x,r) ⊂ U.
J
Autrement dit, la topologie associ´ee `a P est celle dont les P-boules ou-
vertes centr´ees en x forment un syst`eme fondamental de voisinages de x. Il
est ais´e de voir que E muni de cette topologie est un evt et qu’il est s´epar´e si
et seulement si la famille P est s´eparante. Notons que si P et P0 sont deux
familles de semi-normes sur E v´erifiant P ⊂ P0 alors la topologie associ´ee
`a P0 est plus fine que celle associ´ee `a P. Par ailleurs, chaque point de E
poss`ede pour cette topologie un syst`eme fondamental de voisinages form´e
d’ensembles convexes. La topologie associ´ee `a une famille de semi-normes est
donc localement convexe au sens de la d´efinition suivante :
D´efinition 1.4 Un R-espace vectoriel topologique localement convexe (evtlc)
est un evt dont chaque point poss`ede un syst`eme fondamental de voisinages
form´e d’ensembles convexes.
On peut ´evidemment dans la d´efinition pr´ec´edente remplacer ”chaque
point” par ”un point”. Notez aussi que l’evt E est un evtlc ssi 0 poss`ede
une syst`eme fondamental de voisinages convexes et sym´etriques (un sous en-
semble C de E est dit sym´etrique si C = −C). En remarquant que dans un
evtlc, l’int´erieur d’un convexe d’int´erieur non vide est encore convexe (exer-
cice facile), on notera qu’on peut aussi rajouter ”ouverts” dans la d´efinition
qui pr´ec`ede.
Lemme 1.1 Soit E un evtlc de topologie T d´efinie par la famille de semi-
normes P et soit q une semi-norme sur E alors q est continue (pour T ) si
et seulement s’il existe C ≥ 0, k ∈ N∗ et p ,...,p dans P telles que
1 k
q ≤ C sup p .
i
i=1,...,k
Preuve:
Si q est continue, il existe un voisinage de 0 sur lequel q ≤ 1, il existe donc
aussi une P-boule sur laquelle q ≤ 1, l’in´egalit´e cherch´ee s’obtient alors
facilement par homog´en´eit´e. R´eciproquement, supposons qu’il existe C ≥ 0,
k ∈ N∗ et p ,...,p dans P telles que
1 k
q ≤ C sup p .
i
i=1,...,k
8
Soit x ∈ E et ε > 0, alors on a |q(x)−q(y)| ≤ q(x−y) ≤ ε pour tout y dans
la P-boule
{y ∈ E, p (x−y) < (1+C)−1ε, i = 1,...,k}
i
ce qui montre la continuit´e de q.
2
Remarque. Unecombinaisonlin´eaire`acoefficientsposititifsdesemi-normes
est encore une semi-norme de mˆeme qu’un supremum d’un nombre fini de
semi-normes, si p est une semi-norme sur E et T un application lin´eaire de
F vers E alors p◦T est une semi-norme sur F. Si P est une famille de semi-
normes sur E, la topologie qu’elle d´efinit est la mˆeme que celle d´efinie par la
famille (dite filtrante) P0 form´ee par les suprema de familles finies d’´el´ements
de P.
Exemples
Passons maintenant en revue quelques exemples de familles de semi-
normes naturellement associ´ees `a quelques espaces fonctionnels usuels. Dans
ce qui suit Ω d´esigne un ouvert de Rd et K un compact d’int´erieur non vide
inclus dans Ω, une suite exhaustive de compacts K de Ω est une suite de
j
compacts inclus dans Ω tels que K ⊂ int(K ) et Ω = ∪ K (par exemple
j j+1 j j
K := {x ∈ Rd : |x| ≤ j, d(x,Rd \ Ω) ≥ 1/j}). Un multi indices α
j
est un ´el´ement (α ,...,α ) de Nd, sa longueur not´ee |α| est par d´efinition
1 d
|α| = Pd α . Pour α = (α ,...,α ) et β = (β ,...,β ) deux multi-indices, on
i=1 i 1 d 1 d
notera
– α ≤ β si α ≤ β , pour i = 1,...,d,
i i
– α±β = (α ±β ,...,α ±β ),
1 1 d d
– α! = α !...α !, et pour β ≤ α
1 d
α!
Cβ = ,
α β!(α−β)!
– si x ∈ Rd, xα = xα1...xαd,
1 d
– si f ∈ C∞(Rd)(= C∞(Rd,R) ou C∞(Rd,C)), et α 6= (0,...,0),
∂|α|f
∂αf = ,
∂α1x1...∂αdxd
et ∂αf = f si α = (0,...,0).
On rappelle aussi, `a toutes fins utiles, la formule de Leibniz : si f,g ∈
C∞(Rd)2 :
X
∂α(fg) = Cβ∂α−βf∂βg. (1.1)
α
β≤α
9
Si f ∈ C(Ω)(= C(Ω,R) ou C(Ω,C)), on appelle support de f et l’on note
supp(f) le compl´ementaire du plus grand ouvert sur lequel f est nulle, qui
est aussi l’adh´erence de {x ∈ Ω : f(x) 6= 0}.
– Si K est un compact de Rd, on note C(K) l’espace des fonctions conti-
nues de K `a valeurs dans R ou C, on le munit classiquement de la
norme uniforme
kfk := supkf(x)k
x∈K
(qui en fait un Banach). On peut ´egalement munir C(K) de la famille
de semi-normes p (f) := |f(x)| avec x ∈ K.
x
– Si Ω est un ouvert de Rd, m ∈ N et K un compact de Ω pour f ∈
C∞(Ω), posons
p (f) := sup sup|Dαf(x)|.
m,K
α∈Nd:|α|≤mx∈K
L’espaceC(Ω)(= C(Ω,R)ouC(Ω,C))desfonctionscontinuessurΩest
muni de la famille de semi normes p = p avec K compact de Ω (ou
K 0,K
simplementlafamillep avecunesuiteexhaustivedecompactsK de
0,Kj j
Ω).C (Ω)d´esignel’espacedesfonctionscontinuessurΩ`asupportdans
K
K (i.e. nulles en dehors de K) et C (Ω) d´esigne l’espace des fonctions
c
continues sur Ω `a support compact i.e. :
C (Ω) = ∪ C (Ω)
c j Kj
Pour m ∈ N∪{+∞}, on d´efinit de mˆeme l’espace Cm(Ω) des fonctions
de classe Cm sur Ω, on le munit de la famille p . On d´efinit de
m,Kj
mˆeme les espaces de fonctions de classe Cm `a support compact, Cm(Ω)
K
et Cm(Ω).
c
– OnnotedemˆemeD (Ω)l’espacedesfonctionsC∞ `asupportdansK et
K
D(Ω) := C∞(Ω)l’espacedesfonctionsC∞ `asupportcompact.Latopo-
c
logiedeD (Ω)estd´efinieparlafamilledeseminormes{p , m ∈ N}
K m,K
(nous verrons plus loin que D (Ω) est m´etrisable et complet pour cette
K
topologie). Une ”bonne” topologie sur D(Ω) (de mˆeme que sur C (Ω)
c
ou Cm(Ω)) est plus subtile `a d´efinir (voir le paragraphe 1.4).
c
– Soit p ∈ [1,∞), Lp (Ω) est l’espace des fonctions fonctions mesurables
loc
f telles que pour tout compact K de Ω
(cid:18)Z (cid:19)1/p
q (f) := |f|p < ∞.
K,p
K
On munit Lp (Ω) de la famille de semi-normes q ou` K parcourt
loc K,p
l’ensemble des compacts de Ω (une suite exhaustive suffit´evidemment).
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