Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou échantillonnés à l'aide des variables d'état

103 Pages·2015·1.24 MB·French

Analyse et correction des
Systèmes linéaires continus ou
échantillonnés à l'aide des
variables d'état

Gonzalo Cabodevila
[email protected]
2ème année
Semestre vert
Automatique avancée
filière EAOI
École Nationale Supérieure de
Mécanique et des Microtechniques
26, chemin de l’Épitaphe
25030 Besançon cedex – FRANCE
http://intranet-tice.ens2m.fr

Table des mati`eres
1 Exemple introductif : fil rouge 7
1.1 Diff´erentes repr´esentations d’un syst`eme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 R´eponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Repr´esentation d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Propri´et´es de la repr´esentation d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Non unicit´e de la repr´esentation d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Int´erˆet de cette repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 R´esolution des ´equations d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 G´en´eralisation aux syst`emes variants dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Simulation sur calculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Obtention des ´equations d’´etat 17
2.1 M´ethode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Forme 2 : forme canonique d’observabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Repr´esentation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Commandabilit´e et observabilit´e des syst`emes 25
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Que faire si un syst`eme n’est pas observable et/ou commandable . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 R´eduction de mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Transformation en l’une des formes canoniques 29
4.1 Diagonalisation de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Cons´equences pour la commandabilit´e et l’observabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Cas des valeurs propres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Diagonalisation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Transformation modifi´ee : T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
m
4.4 Transformation en la forme canonique d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Transformation en la forme canonique d’observabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4 TABLE DES MATIE`RES
5 Stabilit´e des syst`emes dynamiques lin´eaires 35
5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Etude de la stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Stabilit´e au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.2 Interpr´etation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.3 Applications aux syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.4 Fil rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Commande des syst`emes 39
6.1 Placement de pˆoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.1 Calcul du r´egulateur L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.2 Calcul de la matrice de pr´efiltre S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Cas d’une repr´esentation quelconque du syst`eme `a asservir. . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilit´e . . . . . . . . . . . . 41
6.2.2 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Commande Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3.2 M´ethode de synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4 Choix des pˆoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.1 Pˆoles complexes conjugu´es dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4.2 Maximalement plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4.3 Pˆoles `a partie r´eelle identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4.4 Polynˆomes de Naslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.5 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.2 Stabilit´e de la commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.3 Choix des matrice R et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.4 Exemple : fil rouge.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Synth`ese d’observateurs d’´etat 51
7.1 Introduction au probl`eme de la reconstruction d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.1 Par calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.2 Par simulation du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.3 Parsimulationduprocessusetasservissementsurlespartiesconnuesduvecteur
d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Observateurs de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 Observateurs d’ordre r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3.1 Hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 Observateur g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 Equation d’´etat d’un syst`eme asservi avec observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.5.1 Th´eor`eme de s´eparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.6 Filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Repr´esentation d’´etat des syst`emes lin´eaires ´echantillonn´es 59
8.1 Syst`eme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2 R´esolution des ´equations dans le domaine du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.3 Application de la transform´ee en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.4 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.5 Obtention d’un mod`ele d’´etat `a partir de la fonction de transfert en z . . . . . . . . . 61
8.6 R´esolution de l’´equation d’´etat dans le domaine de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.7 Commandabilit´e et observabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TABLE DES MATIE`RES 5
8.7.1 Commandabilit´e d’un syst`eme ´echantillonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.7.2 Observabilit´e d’un syst`eme ´echantillonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.8 Stabilit´e des syst`emes ´echantillonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.9 Commandes des syst`emes ´echantillonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.9.1 Calcul de la matrice de pr´efiltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.9.2 Commande optimale dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9 Annales d’examens 65
Devoir personnel Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Examen final Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Examen final Juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 Travaux dirig´es 75
I Annexes 89
A Quelques publications originales 91
6 TABLE DES MATIE`RES
Chapitre 1
Exemple introductif : fil rouge
1.1 Diff´erentes repr´esentations d’un syst`eme physique
Soit un moteur `a courant continu command´e par l’inducteur.
I = cte
i J,f
u
Figure 1.1 – Moteur `a courant continu command´e par l’inducteur
— commande : u
— sortie : ω
Le syst`eme est monovariable, lin´eaire invariant dans le temps, il peut donc ˆetre repr´esent´e par une
´equation diff´erentielle `a coefficients constants.
1.1.1 Equations diff´erentielles
Le syst`eme repr´esent´e en figure 1.1 est d´ecrit par les ´equations suivantes :
di
u = Ri+L (1.1)
dt
dω
J +fω = γ (1.2)
dt
γ = ki (1.3)
d2ω dω di k k (cid:18) R (cid:18)dω (cid:19)(cid:19)
J +f = k = (u−Ri) = u− +fω (1.4)
dt2 dt dt L L k dt
d2ω (cid:18) RJ(cid:19) dω Rf k
J + f + + ω = u (1.5)
dt2 L dt L L
d2ω (cid:18)f R(cid:19) dω Rf k
+ + + ω = u (1.6)
dt2 J L dt LJ LJ
d2ω dω
+a +a ω = b u (1.7)
dt2 1 dt 0 0
dω(0)
D`es lors ω(t) est connu si u(t) et les deux conditions initiales (ω(0) et ) sont connues.
dt
7
8 CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE
1.1.2 Fonction de transfert
En utilisant la transformation de Laplace :
(cid:90) ∞
L[e(t)] = e−pte(t)dt, (1.8)
0
(cid:20) (cid:21)
de(t)
L = pE(p)−e(0), (1.9)
dt
nous obtenons la transform´ee de (1.7) :
p2Ω(p)−pΩ(0)−Ω˙(0)+a (pΩ(p)−Ω(0)+a Ω(p) = b U(p) (1.10)
1 0 0
d’ou` :
b Ω(0)(a +p)+Ω˙(0)
0 1
Ω(p) = U(p)+ (1.11)
p2+a p+a p2+a p+a
1 0 1 0
Si les conditions initiales sont nulles :
b
0
Ω(p) = U(p) (1.12)
p2+a p+a
1 0
Ω(p) b
0
= = H(p) (1.13)
U(p) p2+a p+a
1 0
H(p) est la fonction de transfert du syst`eme.
1.1.3 R´eponse impulsionnelle
Si les conditions initiales sont nulles :
Ω(p) = H(p)×U(p) (1.14)
En repassant en temporel, la multiplication est transform´ee en une convolution
(cid:90) ∞
ω(t) = h(t)(cid:63)u(t) = h(τ)u(t−τ)dτ (1.15)
0
donc
k (cid:16) (cid:17)
h(t) = e−Jft−e−RLt (1.16)
RJ −Lf
1.1.4 Repr´esentation d’´etat
Si l’on d´esire r´ealiser une simulation analogique du syst`eme `a partir d’int´egrateurs, l’´equation (1.7)
peut se mettre sous la forme :
d2ω dω
= b u−a −a ω (1.17)
dt2 0 1 dt 0
d’ou` le sch´ema suivant,
Les variables d’´etat sont les sorties des int´egrateurs.
dω
x = ω, x = = ω˙ (1.18)
1 2
dt
Le syst`eme peut ˆetre repr´esent´e par les deux ´equations suivantes,
1.1. DIFFE´RENTES REPRE´SENTATIONS D’UN SYSTE`ME PHYSIQUE 9
ω˙(0) ω(0)
u d2ω dω ω
b + dt (cid:82) dt (cid:82)
0
−
a
1
a
0
Figure 1.2 – Sch´ema d’un simulateur analogique
x˙ = x (1.19)
1 2
x˙ = b u−a x −a x (1.20)
2 0 0 1 1 2
La repr´esentation utilis´ee classiquement est la repr´esentation matricielle, on d´efinit alors un vecteur
d’´etat,
(cid:20) (cid:21)
x
x = 1 (1.21)
x
2
Equation d’´etat :
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
x˙ 0 1 x 0
1 = 1 + u (1.22)
x˙ −a −a x b
2 0 1 2 0
Equation de sortie :
(cid:20) (cid:21)
ω = (cid:2) 1 0 (cid:3) x1 (1.23)
x
2
´equation d’´etat + ´equation de sortie = repr´esentation d’´etat
Dans le cas g´en´eral, l’´ecriture de la repr´esentation d’´etat est la suivante,
x˙ = Ax+Bu (1.24)
y = Cx+Du (1.25)
Dans les cas qui nous int´eressent c’est-`a-dire les syst`emes `a une seule entr´ee et une seule sortie,
l’´ecriture g´en´erale de la repr´esentation d’´etat est la suivante,
x˙ = Ax+Bu (1.26)
y = Cx+Du (1.27)
Dimensions : si le vecteur d’´etat est de dimension n, alors
— A est de dimension n lignes ×n colonnes,
— B est de dimension n lignes ×1 colonne,
— C est de dimension 1 ligne ×n colonnes,
— D est une constante (tr`es souvent nulle).
10 CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE
1.2 Propri´et´es de la repr´esentation d’´etat
1.2.1 Non unicit´e de la repr´esentation d’´etat
La repr´esentation d’´etat n’est pas unique, dans l’exemple trait´e jusqu’`a pr´esent nous avons choisi le
vecteur d’´etat suivant
(cid:20) (cid:21)
ω
x = (1.28)
ω˙
nous aurions pu choisir un autre vecteur d’´etat, par exemple
(cid:20) (cid:21)
i
x = (1.29)
ω
En effet, en reprenant les ´equations fondamentales du syst`eme
di
u = Ri+L (1.30)
dt
dω
J +fω = ki (1.31)
dt
avec ce nouveau vecteur d’´etat elle peuvent ˆetre ´ecrites sous la forme
U = Rx +Lx˙ (1.32)
1 1
Jx˙ +fx = kx (1.33)
2 2 1
d’ou` la repr´esentation d’´etat
Equation d’´etat :
(cid:20) x˙ (cid:21) (cid:20) −R 0 (cid:21)(cid:20) x (cid:21) (cid:20) 1 (cid:21)
1 = L 1 + L u (1.34)
x˙ k −f x 0
2 J J 2
Equation de sortie :
(cid:20) (cid:21)
ω = (cid:2) 0 1 (cid:3) x1 (1.35)
x
2
Notez que nous n’aurions pas pu prendre i et di comme vecteur d’´etat car di n’est pas une sortie
dt dt
d’int´egrateur.
En fait, on peut prendre comme vecteur d’´etat n’importe quelle combinaison lin´eaire d’un vecteur
d’´etat valable.
Soit x(cid:48) = Mx
x˙(cid:48) = M−1AMx(cid:48)+M−1Bu (1.36)
y = CMx(cid:48)+Du (1.37)
1.2.2 Matrice de transfert
En prenant la transform´ee de Laplace de la repr´esentation d’´etat, on obtient,
pX(p)−x(0) = AX(p)+BU(p) (1.38)
Y(p) = CX(p)+DU(p) (1.39)