analyse et approximation de mod`eles de propagation d'ondes partie i analyse math´ematique

117 Pages·2008·3.77 MB·French

`
ANALYSE ET APPROXIMATION DE MODELES DE
PROPAGATION D’ONDES
PARTIE I
´
ANALYSE MATHEMATIQUE
Extraitdu polydePatrick JOLY
ANNE´E2001-2002
Table des matie`res
1 Introduction auxmode`lesmathe´matiquespourlapropagation d’ondesline´aires 5
1.1 Lese´quations deMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Lese´quations del’e´lastodynamique line´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lese´quations del’acoustique line´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Lese´quations depropagation delahoule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Structurege´ne´raledesmode`lesetpre´sentation d’unproble`memode`le . . . . . . 9
2 Propagation desondesendimension1 13
2.1 Leproble`medeCauchyenmilieuhomoge`ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 LaformuledeD’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Proprie´te´s qualitatives delasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Ondesplanesharmoniques etanalysedeFourier. . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 FonctiondeGreenete´quation avecsecondmembre . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Propagationdansundemi-espace :re´flexiondesondesetprincipedesimages . . 36
2.2.1 Leproble`medeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Leproble`medeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Propagationdansunmilieua` deuxcoucheshomoge`nes:phe´nome`nedere´flexion-
transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Etudemathe´matiquedel’e´quationdesondesscalaire enre´gimetransitoire 53
3.1 Leproble`memode`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Lethe´ore`medeHille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Existenceetunicite´ pourleproble`memode`le:lecasdessolutions fortes . . . . . 56
3.4 Solutionsfortes:ge´ne´ralisation a` diversproble`mesd’ondes. . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Unee´quationdesondesabstraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Lecasdel’e´quation desondesenpre´sence d’unbord. . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Lecasdusyste`medel’e´lastodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.4 Lecasdusyste`medeMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Identite´ del’e´nergie -Estimationsa` priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Existenceetunicite´ pourleproble`memode`le:lecasdessolutions faibles . . . . 74
3.6.1 Lessolutions faiblesespace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6.2 Solutions faiblesausensdeLions-Magene`s . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Propagationa` vitessefinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1
2
A Equationsd’e´volutiondanslesespacesdeHilbert:lethe´ore`medeHille-Yosida 93
A.1 Lesdifficulte´sduproble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2 Introduction auxoperateurs maximauxmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.3 Casdel’e´quation sanssecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.4 Casdel’e´quation avecsecondmembre:introduction a` lathe´oriedessemi-groupes 105
3
PRE´AMBULE
Lechapitre1estconsacre´ a`lapre´sentationdediversmode`lesdepropagationd’ondesline´aires
quiinterviennent dans divers domaines delaphysique :acoustique, e´lasticite´, e´lectromagne´tisme
et hydrodynamique. Ceci illustre en particulier l’importance de l’e´tude et la mode´lisation de ces
phe´nome`nes vis a` vis des applications. Un autre objectif est de de´gager l’unite´ mathe´matique de
ces mode`les et justifier ainsi le fait de se limiter par la suite au mode`le le plus simple fourni par
l’e´quation desondesscalaires (i.e.l’acoustique line´aire).
Le chapitre 2 est consacre´ a` l’e´tude de l’e´quation des ondes, souvent appele´e e´quation des
cordes vibrantes. Dans ce cas particulier, les calculs sont e´videmment simplifie´s et a` l’aide d’un
arsenal mathe´matique tre`s limite´, on a tre`s vite acce`s a` un certain nombre de proprie´te´s qui sont
caracte´ristiques des mode`les d’ondes line´aires : propagation a` vitesse finie, re´gularite´ de la so-
lution, conservation de l’e´nergie, phe´nome`nes de re´flexion et transmission,... Nous introduisons
aussi les notions d’onde plane harmonique (l’e´tude de l’approximation de telles ondes par un
sche´manume´riqueestunoutiltre`sutilepourenquantifierlapre´cision)d’unsche´manume´rique,et
dedispersion (l’e´quation desondesestnondispersive, unsche´manume´rique neleseraplus).En-
fin,nousnousattachonsa` montrercommentunre´sultatdonne´ peuteˆtreobtenupardestechniques
diffe´rentes.
Le chapitre 3 est un chapitre d’analyse mathe´matique dans lequel nous avons choisi de nous
concentrer sur un proble`me mode`le : l’e´quation des ondes scalaires avec coefficients variables
dans IRN. Nous avons e´galement choisi de traiter les questions d’existence et d’unicite´ des solu-
tions par le biais des solutions fortes (ou classiques) et du the´ore`me de Hille-Yosida. Surce type
de solution, nous de´montrons en quel sens la solution du proble`me mode`le de´pend continuˆment
des donne´es (donne´es initiales, second membre,...) : c’est la notion de proble`me bien pose´ au
sens de Hadamard. Cetype de re´sultat repose sur une technique fondamentale :l’obtention d’es-
timations d’e´nergie. Partant de ce type de re´sultat nous e´tudions la the´orie des solutions faibles
ou solutions d’e´nergie finie (c’est a` dire ce que “deviennent les solutions fortes” quand on af-
faiblit les hypothe`ses sur les donne´es). Signalons qu’une section entie`re est consacre´e a` l’exten-
siondesre´sultats a` desproble`mes pluscomplexes :proble`mes avecbord, ondes e´lastiques, ondes
e´lectromagne´tiques...
4
Chapitre 1
Introduction aux mode`les
mathe´matiques pour la propagation
d’ondes line´aires
Nousallonspasserenrevuequatremode`lesdepropagation d’ondes afind’unepartdedonner
une ide´e de la richesse des domaines de la physique qui font intervenir des ondes, d’autre part
d’identifier lanatureetlespointscommunsdecesmode`lesmathe´matiques :
– lese´quations deMaxwellpourlamode´lisation desondese´lectromagne´tiques,
– lese´quationsdel’e´lastodynamique pourlapropagationdesondese´lastiquesdansunsolide,
– lese´quations del’acoustique pourlapropagation desondessonoresdansunfluide,
– lese´quations deCauchyPoissonpourlamode´lisation delahoule.
Il n’est pas question ici de pre´senter en de´tails la manie`re dont sont e´tablies ces e´quations ou
la physique sous-jacente. Nous renvoyons le lecteur inte´resse´ aux ouvrages de re´fe´rence en la
matie`re:
– pourl’e´lectromagne´tisme a` [9],[14]
– pourl’e´lasticite´ etl’acoustique a` [16],[1],[3],[4]
– pourlapropagation delahoulea` [23]
Par ailleurs nous ne pre´tendons pas dans ce premier chapitre a` la rigueur mathe´matique. Il
s’agitavanttoutd’introduiredesconceptsetdesensibilisera` certaineside´esdebase,lese´quations
e´tantmanipule´esformellement.Nousintroduironsdansleschapitressuivantslesnotionsd’analyse
fonctionnelle ne´cessaires a` unee´tudethe´orique rigoureuse.
Dans tout ce qui suit, Ω de´signera le milieu de propagation, ge´ne´ralement tridimensionnel et
x = (x ,x ,x ) le point courant de Ω, la variable t de´signant le temps. Lorsque Ω = IR3 on
1 2 3
6
de´signera parΓlafrontie`re deΩ.
1.1 Les e´quations de Maxwell
Lesinconnues duproble`mesontdanscecas:
– lechampe´lectrique E(x,t) IR3
∈
– lechampmagne´tiqueH(x,t) IR3
∈
– l’induction e´lectrique D(x,t) IR3
∈
5
6 MODE`LESMATHE´MATIQUES
– l’induction magne´tique B(x,t) IR3
∈
Ceschampsobe´issent, enl’absence decharges etdecourants, auxe´quations deMaxwell:
∂B
= rotE
∂t −

 ∂D
 = rotH
(1.1.1)  ∂t



 divD = 0


 divB = 0







etsontparailleursrelie´sparlesloisdecomportement :
B(x,t) = µ(x)H(x,t)
(1.1.2) 

 D(x,t) = ε(x)E(x,t)


ou` µ(x) est la perme´abilite´ magne´tique et ε(x) la permittivite´ die´lectrique du milieu. Nous nous
limiterons au cas ou` µ(x) et ε(x) sont des scalaires positifs. Ils caracte´risent le comportement
e´lectromagne´tiquedumate´riaudanslequell’ondesepropage.Lesvariationsenxde´criventl’e´ventuelle
he´te´roge´ne´ite´ dumilieu. Lelecteur ve´rifiera aise´ment que l’on peut e´liminer B,D etH entre les
e´quations(1.1.1)et(1.1.2)pouraboutira` uneformulationou` seullechampe´lectriqueE apparaˆıt:
∂2E
(1.1.3) ε +rot(µ−1rotE) = 0.
∂t2
Lorsque le domaine Ω a un bord Γ, il faut adjoindre a` l’e´quation pre´ce´dente une condition aux
limites,parexemplelacondition dite”deconducteur parfait”:
E n = 0
Γ
∧ |
ou` nde´signelevecteurunitairenormala` Γ.
1.2 Les e´quations de l’e´lastodynamique line´aire
L’inconnue du proble`me est le champ de de´placements dans le milieu solide qui occupe le
domaineΩ:
~u(x,t) = (u (x,t),u (x,t),u (x,t))
1 2 3
repre´sente levecteurde´placement a` l’instant td’uneparticule mate´rielleoccupant laposition x.
Remarque1.1 On se place dans l’hypothe`se des petits mouvements et des petites de´formations
(hypothe`se re´aliste pour beaucoup d’applications : prospection sismique, ondes ultra-sonores...)
detellesortequelesrepre´sentationslagrangienneseteule´riennesdumouvementdumilieucontinu
sontconfondues etquel’ontravailleaveclese´quations line´arise´es.
MODE`LESMATHE´MATIQUES 7
Les variations de ce champ sont re´gies par les e´quations de la me´canique qui, en l’absence de
forcesexte´rieures, s’e´crivent:
∂2u 3 ∂
i
(1.2.1) ρ = (σ (~u)), i= 1,2,3,
∂t2 ∂x ij
j
j=1
X
ou` σ(~u) de´signe le tenseur (en l’occurence une matrice syme´trique) des contraintes associe´ au
champ de de´placements ~u(x,t) et ρ = ρ(x) de´signe la densite´ du mate´riau. Il faut adjoindre
aux e´quations d’e´quilibre (1.2.1) la loi de comportement du mate´riau. Dans le cas d’un mate´riau
line´aireisotrope, cetteloiestlaloideHooke:
(1.2.2) σ (u) = λdiv~uδ +2µ ε (~u)
ij ij ij
ou`ε(~u) = ε (~u) de´signeletenseurdesde´formations(line´arise´)associe´auchampdede´placements
ij
hh ii
u:
1 ∂u ∂u
i j
(1.2.3) ε (~u) = +
ij
2 ∂x ∂x
(cid:18) j i(cid:19)
et ou` λ = λ(x), µ = µ(x) de´signent les constantes de Lame´ (ou coefficients de Lame´). Les
fonctionsρ,λ,µsontstrictementpositivesetcaracte´risentlecomportemente´lastiquedumate´riau.
Leurvariation enfonctiondexde´critl’e´ventuelle he´te´roge´ne´¨ıte´ dumilieudepropagation.
Apartirdese´quations(1.2.2),ilestfaciled’obtenirlaformulationende´placementsduproble`me:
∂2u ∂ 3 ∂ ∂u ∂u
i i j
(1.2.4) ρ (λdiv~u) µ + = 0, i = 1,2,3.
∂t2 − ∂x − ∂x ∂x ∂x
i j=1 j (cid:18) (cid:18) j i(cid:19)(cid:19)
X
Sur l’e´ventuelle frontie`re Γ du domaine Ω, on pourra conside´rer deux types de conditions aux
limites:
– lacondition debordencastre´
(1.2.5) ~u = 0.
|Γ
– lacondition desurfacelibre
3
(1.2.6) σ (~u) n = 0surΓ, i= 1,2,3.
ij j
j=1
X
La condition (1.2.5) n’est autre que la condition de Dirichlet homoge`ne : elle exprime le fait
quelespoints dubordΓsontimmobiles.Lacondition (1.2.6)peuteˆtrevuecommeunecondition
de Neumann homoge`ne ge´ne´ralise´e : elle exprime le fait qu’aucune force de surface exte´rieure
n’estapplique´e surlasurfaceΓ.
1.3 Les e´quations de l’acoustique line´aire
Lese´quationsdel’acoustiqueline´airepeuventeˆtrevuescommeunede´ge´ne´rescencedese´quations
del’e´lastodynamiqueline´airelorsquelecoefficientdeLame´µtendvers0.Enfait,µ = 0carate´rise
8 MODE`LESMATHE´MATIQUES
le comportement e´lastique d’un fluide, l’autre coefficient de Lame´, λ, restant strictement positif
(dans ce contexte, il est souvent note´ K et appele´ constante d’e´lasticite´). A partir des e´quations
(1.2.2), il est facile de voir que le tenseur des contraintes devient sphe´rique, c’est-a`-dire propor-
tionnela` lamatriceidentite´. Onposealors:
(1.3.1) σ = pI
−
ou` p = p(x,t)estparde´finitionlapression dufluide.De(1.2.2),onde´duit:
(1.3.2) p = λdiv~u
−
alorsquel’e´quation d’e´quilibre (1.2.1)sere´e´crisimplement:
∂2u
(1.3.3) ρ = gradp.
∂t2 −
On peut alors e´liminer u entre (1.3.2) et (1.3.3) pour obtenir l’e´quation en pression (qui devient
alorsl’inconnue, scalaire, duproble`me) :
1∂2p 1
(1.3.4) div gradp = 0.
λ ∂t2 − ρ
(cid:18) (cid:19)
Surlafrontie`re Γ,silebord estrigide, lesparticules fluidesnepeuvent queglisser cequisignifie
quelacomposantenormaledude´placementestnulle.CelasetraduitparlaconditiondeNeumann
pourp(graˆcea` (1.3.3)):
∂p
(1.3.5) = 0
∂n|Γ
Lacondition desurface librequanta` elledevientlacondition deDirichlet:
(1.3.6) p = 0.
|Γ
1.4 Les e´quations de propagation de la houle
Le mode`le que nous allons pre´senter est cense´ de´crire les mouvements de l’oce´an. Sa vali-
dite´ est soumise a` un certain nombre d’hypothe`ses physiques, licites quand on s’inte´resse a` la
propagation delahoule:
– l’e´coulement estirrotationnel,
– lefluideestincompressible,
– lefluideestnonvisqueux,
– lesde´placements sontpetits.
La dernie`re hypothe`se devient sujette a` caution lorsque la profondeur de l’oce´an est trop
faible. Elle permet de travailler avec les e´quations line´arise´es pose´es dans un domaine de pro-
pagation Ωsuppose´ fixe.Lapremie`re particularite´ dumode`le tient danslage´ome´trie dudomaine
Ωne´cessairement de´limite´ pardeuxsurfacesΓ etΓ :
F L
– Γ repre´sente lefondmarin
F
– Γ repre´sente lasurface moyennedel’eau(ousurfacelibre)
L
– Γ = Γ Γ
F L
∪
MODE`LESMATHE´MATIQUES 9
Deplus,lemode`lee´tantunmode`ledeperturbationparrapporta`unesituationaurepos,lafrontie`re
Γ co¨ıncide, six de´signe lacoordonne´e verticale, avecuneportionduplanx = 0.
F 2 2
L’e´coulemente´tantirrotationnel, onende´duitquelechampdesvitessesdanslefluidev(x,t)
de´rived’unpotentiel Φ(x,t):
(1.4.1) v = gradΦ.
−
L’incompressibilite´ dufluidesetraduitpar:
(1.4.2) divv = 0.
Onende´duitquelafonctionΦestharmonique dansΩ:
(1.4.3) ∆Φ = 0 dansΩ.
Lacondition deglissement surlefondsetraduitparlacondition deNeumannpourΦ:
∂Φ
(1.4.4) = 0.
∂n|ΓF
C’est seulement au niveau de la condition aux limites sur la surface libre Γ que le temps inter-
L
vient. Cette condition s’obtient a` partir de laline´arisation del’e´quation deBernouilli et traduit le
faitquelapression a` lasurfacedufluideeste´galea` lapressionatmosphe´rique :
1∂2Φ ∂Φ
(1.4.5) + = 0 surΓ .
g ∂t2 ∂n L
Dans(1.4.5),g estl’acce´le´ration delapesanteur. Cettecondition este´galementappele´econdition
desurfacelibre.C’estelle,etc’estladeuxie`me particularite´ decemode`le, quiestresponsable de
lapropagationdelahoule.Signalonsqu’onpeut,a`partirdeΦ,de´crirelade´formationdelasurface
del’eausousl’effetdelahoulecommelasurface d’e´quation :
x = η(x ,x ,t),
2 1 3
(1.4.6) 
 1∂Φ
 η(x1,x3,t) = (x1,x3,0,t),
g ∂t



1.5 Structure ge´ne´rale des mode`les et pre´sentation d’un proble`me
mode`le
Nous allons maintenant de´finir un proble`me mode`le qui pre´sente toutes les proprie´te´s ca-
racte´ristiques desproble`mes deguidesd’ondesquenousseronsamene´sa` conside´rer danslasuite
dececours.Cemode`lepeuteˆtreconside´re´ commedirectement issudese´quationsdel’acoustique
(cf. paragraphe 1.3). Ils’agit e´galement d’un mode`leapproche´ pourl’e´lectromagne´tisme (cf. [?],
[?]).
Pourde´crirecemode`le,nousnousdonnons :