Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corriges

217 Pages·2007·1.75 MB·French

by  Patrice Tauvel

SCIENCES SUP
SCIENCES SUP P
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Patrice Tauvel
ANALYSE COMPLEXE
C Cours et exercices corrigés
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POUR LA LICENCE 3 U
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Licence 3 • CAPES
Les fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables PATRICE TAUVEL A
complexes interviennent dans plusieurs branches des est professeur à l’université N
de Poitiers. A
mathématiques et aussi dans d’autres disciplines scientifiques,
L ANALYSE COMPLEXE
en particulier en physique. L’étude de ces fonctions est Y
relativement ancienne et constitue toujours un domaine de S
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recherche actif. Elles mettent en valeur la position privilégiée
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de l'analyse complexe, située entre la géométrie différentielle, O POUR LA LICENCE 3
la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique. M
Cet ouvrage présente l’ensemble des notions d’analyse complexe P
L
habituellement abordées en Licence. Afin que le livre soit très
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autonome, les premiers chapitres reprennent, avec X
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démonstrations, les résultats classiques concernant les séries

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entières. Des exercices corrigés illustrent le cours et permettent
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au lecteur de faire le point sur les connaissances acquises. MATHÉMATIQUES
U
Cet ouvrage est principalement destiné aux étudiants de R
troisième année de Licence de mathématiques. Il s’adresse aussi PHYSIQUE
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aux candidats au CAPES ou à l’Agrégation et aux élèves des A
CHIMIE
écoles d’ingénieurs. L
I
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SCIENCES DE L’INGÉNIEUR
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INFORMATIQUE
C
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SCIENCES DE LA VIE
3
SCIENCES DE LA TERRE
1ercycle 2ecycle 3ecycle
Patrice Tauvel
1 2 3 4 5 6 7 8
LICENCE MASTER DOCTORAT
9 782100 500741
ISBN 2 10 050074 0 www.dunod.com
lim Tauvel Page I Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10
ANALYSE COMPLEXE
POUR LA LICENCE 3
lim Tauvel Page II Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10
lim Tauvel Page III Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10
ANALYSE COMPLEXE
POUR LA LICENCE 3
Cours et exercices corrigés
Patrice Tauvel
Professeur à l’université de Poitiers
lim Tauvel Page IV Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10
Illustration de couverture : digitalvision®
Conseiller scientifique : Sinnou David
© Dunod, Paris, 2006
ISBN 2 10 050074 0
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Table des matières
AVANT-PROPOS XI
CHAPITRE1•SÉRIESNUMÉRIQUES
1.1 Notationsetrappels 1
1.2 Limitesupérieureetlimiteinférieure 2
1.3 Généralitéssurlessériesnumériques 4
1.4 Sériesàtermespositifs 6
1.5 Convergenceabsolue 8
1.6 RèglesdeCauchyetded’Alembert 10
1.7 Sériesalternées 11
1.8 Sériessemi-convergentes 12
1.9 Sérieproduit 13
1.10 Convergenceassociativeoucommutative 14
1.11 Intégralesetséries 17
Exercices 19
Solutionsdesexercices 20
CHAPITRE2(cid:127)SUITESETSÉRIESDEFONCTIONS
2.1 Convergencesimple 23
2.2 Convergenceuniforme 24
2.3 Continuité 25
2.4 Dérivabilité 25
2.5 Intégrabilité 27
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VI AnalysecomplexepourlaLicence3
2.6 Sériesdefonctions 28
2.7 Convergencenormale 29
Exercices 30
Solutionsdesexercices 31
CHAPITRE3(cid:127)SÉRIESENTIÈRES
3.1 Généralités 35
3.2 Rayondeconvergence 36
3.3 Continuitéetintégrabilité 38
3.4 Dérivabilité 39
3.5 Fonctionsdéveloppablesensérieentière 40
3.6 Quelquesexemples 42
3.7 Fonctionexponentielle 43
3.8 Fonctionscirculairesethyperboliques 45
Exercices 46
Solutionsdesexercices 47
CHAPITRE4(cid:127)FONCTIONSANALYTIQUES
4.1 Définitiondesfonctionsanalytiques 50
4.2 Principeduprolongementanalytique 52
4.3 Principedeszérosisolés 52
Exercices 54
Solutionsdesexercices 54
CHAPITRE5(cid:127)FONCTIONSHOLOMORPHES
5.1 Rappels 58
5.2 ConditionsdeCauchy-Riemann 59
5.3 Déterminationscontinuesdulogarithme 62
5.4 Autresdéterminationscontinues 64
Exercices 65
Solutionsdesexercices 66
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Tabledesmatières VII
CHAPITRE6(cid:127)ANALYTICITÉETHOLOMORPHIE
6.1 Arcsetchemins 67
6.2 Intégrationcomplexe 69
6.3 Indice 71
6.4 Existencedesprimitives 72
6.5 Analyticitédesfonctionsholomorphes 77
6.6 Fonctionscirculairesréciproques 79
Exercices 82
Solutionsdesexercices 83
CHAPITRE7(cid:127)PROPRIÉTÉSDESFONCTIONSHOLOMORPHES
7.1 InégalitésdeCauchyetconséquences 84
7.2 Principedumaximum 85
7.3 LemmedeSchwarzetapplications 87
7.4 Suitesetséries 89
7.5 Holomorphieetintégration 91
Exercices 94
Solutionsdesexercices 95
CHAPITRE8(cid:127)FONCTIONSMÉROMORPHES
8.1 Unpointdetopologie 98
8.2 Singularitésisolées 99
8.3 Fonctionsméromorphes 101
8.4 Théorèmedesrésidus 102
8.5 Théorèmedel’indice 104
8.6 ThéorèmedeRouché 106
8.7 Inversionlocale 107
8.8 Sériesdefonctionsméromorphes 109
Exercices 112
Solutionsdesexercices 113
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VIII AnalysecomplexepourlaLicence3
CHAPITRE9(cid:127)PRODUITSINFINIS
9.1 Produitsinfinisdenombrescomplexes 116
9.2 Produitsinfinisdefonctionsholomorphes 119
Exercices 123
Solutionsdesexercices 124
CHAPITRE10(cid:127)HOMOTOPIEETHOLOMORPHIE
10.1 Homotopieetsimpleconnexité 126
10.2 Primitivelelongd’unarc 130
10.3 Indice 132
10.4 FormuledeCauchy 135
10.5 SériesdeLaurent 137
10.6 Lesgénéralisations 140
Exercices 142
Solutionsdesexercices 143
CHAPITRE11(cid:127)HOLOMORPHIEETPARTIESLOCALEMENTFINIES
11.1 ProduitcanoniquedeWeierstrass 145
11.2 Applications 147
11.3 Idéaux 150
Exercices 152
Solutionsdesexercices 153
CHAPITRE12(cid:127)REPRÉSENTATIONCONFORME
12.1 Topologie 154
12.2 Unrésultatd’isomorphisme 157
12.3 Conservationdesangles 159
Exercices 160
Solutionsdesexercices 162
CHAPITRE13(cid:127)QUELQUESGRANDSCLASSIQUES
13.1 ThéorèmesdePicard 164
13.2 ThéorèmedeRunge 169
Exercices 176
Solutionsdesexercices 177
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Tabledesmatières IX
CHAPITRE14(cid:127)FONCTIONSHARMONIQUES
14.1 Premièrespropriétés 179
14.2 Représentationintégrale 181
Exercices 184
Solutionsdesexercices 185
CHAPITRE15(cid:127)QUELQUESCALCULSD’INTÉGRALES
15.1 Quelqueslemmes 186
15.2 Quelquesméthodes 188
RÉFÉRENCESBIBLIOGRAPHIQUES 197
INDEX 199
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