Analyse Calcul Différentiel des fonctions de plusieurs variables

119 Pages·2008·0.58 MB·French

ECGE 1230
Math´ematiques en ´economie et gestion
Paul Henrard et Etienne Loute
Seconde partie
Analyse
ou
Calcul Diff´erentiel
des fonctions de plusieurs variables
Ann´ee acad´emique 2008/2009
R´edaction : P.Henrard
2008 Analyse Ch. 1 Notions de base
Chapitre 1 Notions de base
Fonctions de plusieurs variables 1
Repr´esentations g´eom´etriques 2.
Limites et continuit´e 3.
Nous abordons le d´ebut de l’analyse des fonctions de plusieurs variables r´eelles
`a valeurs, soit dans R, soit dans Rp. La plupart des notions que nous verrons
ont d´ej`a´et´e´etudi´ees dans le cours Math´ematiqueetAnalyse de premi`ere ann´ee
dans le cas particulier des fonctions de 2 variables `a valeurs dans R qui reste
le support graphique et intuitif du cas g´en´eral. On pourra donc se reporter au
syllabus de ce cours. Nous revoyons ici les outils qui permettent de repr´esenter
une fonction de 2 variables dans l’espace habituel ( R3 ), `a savoir les sections
et, en particulier, les courbes de niveau, outils utilis´es intens´ement par la suite
pour introduire et illustrer de nombreuses notions th´eoriques. Nous revenons
ensuite sur les concepts de limites, de continuit´e, de d´eriv´ees partielles et de
diff´erentiabilit´e.
La vision des repr´esentations g´eom´etriques dans R3 n’est pas simple `a acqu´erir.
Si cette maˆıtrise n’est pas indispensable `a la compr´ehension des mati`eres de
l’analyse infinit´esimale, elle donne cependant un avantage d´ecisif en terme
d’intuition et de vision globale. Tout effort pour y arriver est donc un inves-
tissement qui peut rapporter gros.
1
2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Les fonctions de plusieurs variables
R´ef´erences
•Les fonctions de plusieurs variables S & B : § 8.1, pp. 173-177
Syll. Math.et An. Chap.3, § 3.1-3.2 pp. 49 `a 51
•Repr´esentation des fonctions de deux variables S & B : 8.1, 8.2
Syll. Math.et An. Chap.3, § 4 pp. 51 `a 59
•Limites et continuit´e S & B : 8.3
Syll. Math.et An. Chap.3, § 5 - 6 - 7 - 8 pp. 59 `a 70
Les fonctions de plusieurs variables 1.
Le Calcul matriciel nous a familiaris´e avec les fonctions de Rp dans Rq, mais
avec la restriction importante que les fonctions consid´er´ees ´etaient des appli-
cations lin´eaires. Cette restriction n’est ´evidemment plus de mise dans cette
seconde partie. .
Fonctions et applications 1.1.
1.1.1. Expliquez la phrase suivante (adapt´ee du Syllabus de premi`ere ann´ee)
Une fonction de Rp dans Rq est un m´ecanisme Input-Output qui associe `a cer-
tains p-uples (x ,x ,...,x ) un q-uple (y ,y ,...,y ) qui d´epend enti`erement
1 2 p 1 2 q
et sans ambigu¨ıt´e des (x ,x ,...,x ).
1 2 p
Que veulent dire les math´ematiciens en disant que ce dispositif a un caract`ere
fonctionnel?
1.1.2. On parlait d’applications lin´eaires, et maintenant de fonctions quelconques.
Quelle distinction faut-il faire entre les applications et les fonctions?
1.1.3. D´efinissez le domaine (not´e dom f), d’une fonction f de Rp dans Rq.
← D´ef.
Pourquoi ne se pr´eoccupait-on pas du domaine des applications (lin´eaires)?
Illustrations
1.1.a Donnez un exemple concret d’une fonction de R3 dans R2 qui ne
2+2=? soit pas une application lin´eaire.
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Les fonctions de plusieurs variables
Composantes 1.2.
1.2.1. On donne la fonction de R2 dans R3 d´efinie par
 
x2y −sin(x−y3)
f(x,y) =  x5 +3x3y2 .
log(x2 +y2)
Que veut-on dire en disant que la donn´ee de cette fonction correspond en fait
`a la donn´ee de trois fonctions de R2 dans R? Quelles sont les trois fonctions
dont on parle?
1.2.2. D´efinissez ce que sont les composantes d’une fonction de Rp dans Rq .
Combien y en a-t-il?
En passant aux composantes, on obtient une v´eritable diminution de la com-
plexit´e de l’examen des fonctions de Rp dans Rq. Presque tous les probl`emes,
d´efinitions, conditions, th´eor`emes ...sur les fonctions de Rp dans Rq peuvent
se ramener `a q probl`emes, d´efinitions, conditions, th´eor`emes ...correspondants
pour les q composantes de la fonction.
1.2.3. D´emontrez que le domaine d’une fonction de Rp dans Rq est l’intersection des
q.e.d. domaines de ses q composantes.
Illustrations
1.2.a On consid`ere l’application lin´eaire correspondant `a la matrice
2+2=?  
1 2 3
 3 2 1 .
4 5 6
Quelles sont ses composantes?
R´eduction de la complexit´e 1.3.
1.3.1. Expliquez l’affirmation suivante faite dans le cours de premi`ere ann´ee.
Une fonction de R2 dans R n’est jamais qu’une infinit´e de fonctions
de R dans R.
Voyez comment l’on peut retrouver dans une fonction f(x ,x ,...,x ) des
1 2 p
fonctions de une, deux , trois ou (p−1) variables.
Ici aussi, on a une r´eduction de complexit´e puisque l’on passe d’une fonction
de Rp dans R `a des (mais une infinit´e de!) fonctions de R dans R. On ne
s’´etonnera donc pas que cette r´eduction soit bien moins efficace puisque l’on
ne peut pas se permettre de ramener un probl`eme, une d´efinition, une condition
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Repr´esentations g´eom´etriques
ou un th´eor`eme `a une infinit´e de probl`emes, d´efinitions, conditions, th´eor`emes
....
Nous essayerons cependant de tirer parti de ce type de r´eduction chaque fois
que cela sera possible.
Repr´esentations g´eom´etriques 2.
Sections et courbes de niveau 2.1.
2.1.1. Reportez-vous au syllabus de Math´ematique et Analyse et au livre de r´ef´erence
(S&B), pp. 177 `a 187. A partir de cette lecture, rappelez les d´efinitions de
– sections iso-x et iso-y, ...des fonctions de R2 dans R;
← D´ef.
– courbes de niveau des fonctions de R2 dans R.
← D´ef.
2.1.2. Les graphes des sections iso-x, des sections iso-y et des courbes de niveau se
repr´esentent naturellement dans un des plans suivants : celui des x,y, celui des
x,z ou celui des y,z. Quel graphe dans quel plan?
2.1.3. Remarquez que les graphes des sections iso-x et des sections iso-y sont des
graphes de fonctions. Pourquoi en est-il ainsi?
Voyez qu’il n’en est pas n´ecessairement de mˆeme pour les graphes des courbes
de niveau. Donnez un exemple de fonction de R2 dans R dont les courbes de
niveau ne sont pas des fonctions.
Illustrations
2.1.a Pour la fonction z = x+y2,
2+2=?
– Dessiner quelques sections iso-x, p.ex. x = ...−2,−1,0,1,2,...;
– Dessiner sections iso-y, p.ex. y = ...−2,−1,0,1,2,...;
– Donnerunedescriptiong´eom´etriquedugraphedelafonctiondansl’espace
et en faire un croquis
– Donner quelques courbes de niveau p.ex. z = ...−2,−1,0,1,2,...;
– Dessiner ces courbes de niveau sur le graphe de la fonction et dans le plan
des x,y.
2.1.b Mˆemes questions pour la fonction z = x2 +y2.
2+2=?
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´e
Limites et continuit´e 3.
D´efinitions 3.1.
3.1.1. Reportez-vous au cours de premi`ere ann´ee.
Pour une fonction f : Rn −→ R, d´efinissez en termes intuitifs
– le domaine de f ;
– l’adh´erence de ce domaine;
– la limite de f en un point qui adh`ere au domaine de f ;
– la continuit´e de f en un point a de son domaine.
3.1.2. Expliquez pourquoi la notion de limite est d´efinie pour les points qui adh`erent
au domaine de f.
Pourquoi pas uniquement pour les points du domaine de f ?
Pourquoi pas pour les points qui n’adh`erent pas au domaine de f.
3.1.3. Formalisezlesnotionspr´ec´edentes.Donnezdesd´efinitionspr´ecisesdesconcepts
ci-dessous en termes de distance, boules, ε et δ.
– le point a adh`ere au domaine de f ;
← D´ef.
– b est la limite de la fonction f(x) quand x tend vers a
← D´ef.
– f est continue au point a de son domaine.
← D´ef.
Donnez ces d´efinitions
– pour une fonction f de R dans R;
– pour une fonction f de R2 dans R;
– pour une fonction f de Rp dans R.
Pr´ecisez le contexte de chacune de ces d´efinitions et les notations les plus
fr´equentes.
3.1.4. Que faudrait-il faire pour d´emontrer que la fonction +, d´efinie par +(x,y) =
x+y, est partout continue?
Il s’agit bien d’un th´eor`eme et il en va de mˆeme pour les fonctions “diff´erence”
x
et “produit”. La fonction “quotient”, , est, elle, continue sur son domaine
y
(y 6= 0).
Composantes 3.2.
3.2.1. G´en´eralisez les notions pr´ec´edentes pour les fonctions de Rp dans Rq.
Donnez, par exemple, la d´efinition pr´ecise en ε et δ de
la limite de f(x), quand x tend vers a , est b
← D´ef.
pour f une fonction de Rp dans Rq, a ∈ Rp et b ∈ Rq.
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´e
3.2.2. On a d´ej`a annonc´e que des concepts `a propos des fonctions de Rp dans Rq
pouvaient souvent se ramener `a des concepts correspondants `a propos de leurs
composantes. On peut ainsi d´emontrer, par exemple, que
Une fonction f de Rp dans Rq est continue en un point a de son domaine si
← Th.
et seulement si chacune de ses composantes f , f ,..., f est continue en a.
1 2 q
3.2.3. Par d´eduction, ou simplement par imitation, du th´eor`eme pr´ec´edent, ´enoncez
← Th.
un th´eor`eme liant la limite de f en un point a `a la limite de chacune de ses
composantes f , f ,..., f en ce mˆeme point.
1 2 q
Illustrations
 
x3−1
x2+2
3.2.a Ondonnelafonctionf deRdansR3 d´efinieparf(x) =  sinx .
 x 
2+2=? ex
Calculez lim f(x).
x→0
Composition de fonctions 3.3.
3.3.1. Dans le cas des fonctions de R dans R, on avait un th´eor`eme qui pouvait
s’´enoncer rapidement sous la forme suivante.
La compos´ee de deux fonctions continues est une fonction continue
← Th.
Ce th´eor`eme a ´et´e d´ej`a pr´ecis´e et partiellement g´en´eralis´e en premi`ere ann´ee .
Pr´ecisez et g´en´eralisez ce th´eor`eme pour le cas de la compos´ee g ◦f de f une
← Th.
fonction de Rp dans Rq et g une fonction de Rq dans Rk.
Le cas int´eressant est celui de la compos´ee g ◦f quand f est une fonction de
Rp dans Rq et g est une fonction de Rq dans R. Pourquoi?
3.3.2. Donnez un th´eor`eme correspondant pour les limites de compos´ees de deux
← Th.
fonctions.
Inspirez vous du th´eor`eme sur limites et composition ´etudi´e en premi`ere ann´ee.
G´en´eralisez.
3.3.3. Reformulez, en le g´en´eralisant, le th´eor`eme cit´e dans le syllabus du cours
”Math´ematique et Analyse” :
Les fonctions des variables x ,x ,...,x construites en compo-
1 2 p
sant des fonctions continues d’une ou plusieurs variables et des
op´erations arithm´etiques, sont des fonctions continues sur tout leur
domaine.
Illustrez au moyen de quelques exemples.
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´e
Illustrations
3.3.a D´emontrez que la fonction f(x,y) = sin(xy) est partout continue.
2+2=? Donnez lim f(x,y).
(x,y)→(1,π)
3.3.b D´emontrez que la fonction g(x,y,z) = exycos(ln(1 + y2) + z) est
2+2=? partout continue.
Donnez lim g(x,y,z).
(x,y,z)→(2,0,π)
Chemins particuliers 3.4.
3.4.1. Relisez d’abord ce qui a ´et´e ´ecrit `a ce propos dans le syllabus de premi`ere
ann´ee
Soit f une fonction de 2 variables et a = (a,b) ∈ R2 un point qui adh`ere au
domaine de f.
(1) D´efinissez la notion de “chemin particulier passant par le point (a,b)”.
(2) Quellepropositionrelie lalimitedef en (a,b)`alalimite def au-dessus
d’un chemin particulier passant par (a,b)? Exprimez ce lien en terme
de condition n´ecessaire ou suffisante.
(3) Quelle est l’utilit´e pratique de cette proposition? Permet-elle de mon-
trer l’existence de certaines limites?
(4) Permet-elle de montrer la non-existence de certaines limites? Com-
ment?
Illustrations
xy
3.4.a On consid`ere la fonction f(x,y) = .
x2 +y2
2+2=?
(1) Quel est le domaine de d´efinition de f ?
(2) Que peut-on en conclure `a propos de la continuit´e de f ? Pourquoi?
(3) Calculez lim f(x,y).
(x,y)→(1,0)
(4) Etudiezlecomportementdef surlescheminsparticuliersy = 0,y = x,
y = 2x,....
Que peut-on en conclure `a propos de lim f(x,y)?
(x,y)→(0,0)
(5) La fonction f admet-elle un prolongement continu en (0,0)?
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base Limites et continuit´e
Th´eor`eme du coin¸cage 3.5.
3.5.1. Retrouvez d’abord ce th´eor`eme dans le paragraphe du syllabus de premi`ere
ann´ee consacr´e aux limites par coin¸cage des fonctions de deux variables.
Ecrivez le th´eor`eme du coin¸cage pour des fonctions de R2 dans R.
← Th.
G´en´eralisez le th´eor`eme pour des fonctions de Rp dans R.
← Th.
3.5.2. Expliquez pourquoi on ne peut ´ecrire un th´eor`eme de coin¸cage que pour les
fonctions de Rp dans R et pas pour les fonctions de Rp dans Rq.
Expliquez aussi pourquoi ce n’est pas gˆenant.
Illustrations
3.5.a Dans le syllabus de premi`ere ann´ee, on d´emontre par coin¸cage que
2+2=? xy
lim = 0.
p
(x,y)→(0,0) x2 +y2
Imitez cette d´emonstration pour d´emontrer que
xyz
lim = 0.
(x,y,z)→(0,0,0) x2 +y2 +z2
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2008 Analyse Ch. 1 Notions de base D´efinitions
D´efinitions du Chapitre 1
Domaine d’une fonction de Rp dans Rq
Le domaine d’une fonction f de Rp dans Rq – not´e dom(f) – est l’en-
semble des vecteurs x de Rp pour lesquels f(x) est d´efini.
Autrement dit
dom(f) = {x ∈ Rp | f(x) est d´efini }
Sections iso-x et iso-y
Si z = f(x,y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une fonction iso-x de
f en fixant une valeur de x ( p.ex.x = a) et en consid´erant la fonction
z = f(a,y)
qui est une fonction de la seule variable y.
La “section iso-x” correspondante est le graphe de cette fonction dans le plan
des yz.
Courbe de niveau
Si z = f(x,y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une courbe de niveau
de f en fixant une valeur de z ( p.ex.z = c ) et en consid´erant, dans le plan
des xy, l’ensemble
{(x,y) | f(x,y) = c} .
En g´en´eral, ces points d´ecrivent une courbe dans le plan des x,y. Mais cette
courbe n’est pas (n´ecessairement) le graphe d’une fonction, contrairement aux
sections iso-x ou iso-y.
Point adh´erant - Adh´erence
si A est une partie de Rp, on dit que le point a adh`ere `a A s’il existe des
points de A aussi proche que l’on veut de a.
Autrement dit
a adh`ere `a A ssi ∀ε > 0 ∃x ∈ A t.q. d(a,x) < ε.
L’ adh´erence de A est l’ensemble des points qui adh`erent `a A.
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