Analyse 2

114 Pages·2004·0.583 MB·French

by  Giroux A.

Analyse 2
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et Statistique
Universit´e de Montr´eal
Avril 2004
Table des mati`eres
1 INTRODUCTION 4
1.1 Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 INTE´GRATION DES FONCTIONS CONTINUES 7
2.1 La continuit´e uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 D´efinition de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Propri´et´es de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exercices 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 THE´ORE`ME FONDAMENTAL DU CALCUL 17
3.1 Le th´eor`eme fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Exercices 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 24
4.1 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Exposants irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Exercices 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 FONCTIONS TRIGONOME´TRIQUES 36
5.1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . 36
5.2 Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . 39
5.3 Les fonctions trigonom´etriques inverses . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 La notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 CALCUL DES PRIMITIVES 50
6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles . . . . . . . . . . 50
6.2 Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Exercices 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 INTE´GRALES IMPROPRES 58
7.1 G´en´eralisation de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Exercices 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1
8 SUITES ET SE´RIES DE FONCTIONS 69
8.1 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 L’approximation des fonction continues . . . . . . . . . . . . 74
8.3 Les s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4 Exercices 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9 SE´RIES DE TAYLOR 84
9.1 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.1.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 S´eries infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Exercices 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10 SE´RIES DE FOURIER 97
10.1 La s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2 Th´eor`emes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.3 L’approximation des fonctions continues p´eriodiques . . . . . 107
10.4 Exercices 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Table des figures
1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 D´efinition du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Graphe du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Graphe de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 L’arcsinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 D´efinition de l’arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Le sinus et le cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 La tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12 L’arcsinus et l’arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
13 L’arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14 Angle entre deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
15 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
16 Angle et longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
17 Une substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
18 Comparaison de s´eries et d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . 61
19 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
20 Quelques fonctions Q (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
n
2
21 Les conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
22 Quelques fonctions D (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
n
23 Fonctions f et S (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 6 2
24 Fonctions f et S (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 12 3
25 Quelques fonctions F (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
n
3
1 INTRODUCTION
L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et
int´egral. Ce cours porte sur le calcul int´egral. Il se divise en trois parties. La
premi`ere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l’int´egrale d’une fonction
continue d’une variable r´eelle. La seconde utilise cet outil pour introduire
lesfonctionsanalytiques´el´ementaires(lesfonctionslogarithmique,exponen-
tielle, trigonom´etriques directes et inverses, eul´eriennes). La derni`ere, enfin,
porte sur la repr´esentation de ces fonctions par des s´eries de Taylor et des
s´eries de Fourier.
Il s’agit d’un cours de math´ematique formel, avec des d´emonstrations
rigoureuses et compl`etes de tous les th´eor`emes pr´esent´es. Les exercices pro-
pos´es sont de mˆeme nature et exigent de l’´etudiant qu’il en compose des
solutions rigoureuses et compl`etes. Ce cours est un deuxi`eme cours d’ana-
lyseetsupposequel’´etudiantconnaˆıtd´ej`alespropri´et´esdesfonctionsconti-
nues ainsi que celles des fonctions d´erivables. Rappelons quelques-unes de
ces propri´et´es.
On note [a,b] un intervalle compact (c’est-`a-dire ferm´e born´e),
[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b},
]a,b[ un intervalle ouvert,
]a,b[= {x | a < x < b}
et (a,b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´esument que a ≤ b). Un
intervalle compact peut ˆetre caract´eris´e par la propri´et´e suivante :
• Toutesuite{x } depointsde[a,b]contientunesuitepartielle{x }
n n≥1 nk k≥1
quiconvergeversunpointde[a,b](th´eor`emedeBolzano-Weierstrass).
Soit f : (a,b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a,b) si elle
est continue en chaque point x de (a,b), c’est-`a-dire si en chaque point x
0 0
de (a,b),
lim f(x) = f(x ).
0
x→x0
Un fonction continue jouit des propri´et´es suivantes :
• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-
tervalle (propri´et´e des valeurs interm´ediaires).
• L’imaged’unintervallecompactparunefonctioncontinueestunintervalle
compact (propri´et´e des valeurs extrˆemes).
4
Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle y
admet une fonction inverse f−1 qui est elle aussi continue et strictement
monotone.
Exemple.
Si n ∈ N, la fonction x 7→ x1/n est d´efinie et continue pour x ≥ 0 si n est
pair et pour tout x si n est impair.
Lafonctionf : (a,b) → Restdited´erivablesur(a,b)sielleestd´erivable
en chaque point x de (a,b), c’est-`a-dire si en chaque point x de (a,b), la
0 0
limite suivante
f(x)−f(x )
0
lim
x→x0 x−x0
existe. On ´ecrit alors
f(x)−f(x )
f0(x ) = lim 0 .
0
x→x0 x−x0
Lafonctionf estditecontinuˆment d´erivablesisad´eriv´eef0 estcontinue.
Le th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel est le th´eor`eme des ac-
croissements finis (quelquefois appel´e th´eor`eme de la moyenne ou encore
th´eor`eme de Rolle lorsque f(a) = f(b) = 0) :
• Si f : [a,b] → R est continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, il existe un
nombre c ∈]a,b[ tel que
f(b)−f(a) = f0(c)(b−a).
L’inverse d’une fonction d´erivable est d´erivable aux points y correspon-
dant aux points x ou` f0(x) 6= 0 (y = f(x) et x = f−1(y)) et alors
(cid:0)f−1(cid:1)0(y) = 1 .
f0(x)
Exemple.
Un polynˆome de degr´e n,
P (x) = a +a x+a x2+···+a xn,
n 0 1 2 n
est d´erivable sur tout l’axe r´eel et
P0(x) = a +2a x+···+na xn−1.
n 1 2 n
Une fonction rationnelle,
P (x)
n
R(x) = ,
Q (x)
m
5
est d´erivable aux points ou` elle est d´efinie (c’est-`a-dire aux points ou` le
d´enominateur Q (x) ne s’annule pas) et
m
P0(x)Q (x)−P (x)Q0 (x)
R0(x) = n m n m .
Q2 (x)
m
Si p ∈ Q,
d
xp = pxp−1 , x > 0.
dx
1.1 Exercices 1
Justifier compl`etement toutes ses affirmations.
1. V´erifier que la suite de points de [−1,1] d´efinie par
1+(−1)nn
x =
n
1+n
ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.
2. Montrerqu’unefonctioncontinuesurunintervalleferm´epeuttoujours
ˆetreprolong´ee`aunefonctioncontinuesurRtoutentier.Celareste-t-il
vrai pour un intervalle quelconque?
3. Donnerunexempled’unefonctioncontinuesurunintervalleferm´equi
n’y est pas born´ee ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆeme question
pour un intervalle born´e.
4. Montrerqu’unefonctiond´erivablesurunintervalleferm´epeuttoujours
ˆetre prolong´ee `a une fonction d´erivable sur R tout entier.
5. Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en tous les points de leur
domaine de d´efinition :
x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ?
6. Soient 0 < a < b. D´eterminer le point c du th´eor`eme des accroisse-
mentsfinispourlafonctionf(x) = x2.Mˆemequestionpourlafonction
f(x) = x3.
6
´
2 INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES
L’int´egrationdesfonctionscontinuesreposesurunepropri´et´esuppl´ementaire
de ces fonctions lorsqu’on les consid`ere sur des intervalles compacts.
2.1 La continuit´e uniforme
Dire d’une fonction f : (a,b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle
est continue en chaque point x de (a,b), c’est-`a-dire qu’`a chaque point x
0 0
et `a chaque (cid:15) > 0 correspond δ > 0 tel que
|x−x | < δ et x ∈ (a,b) impliquent |f(x)−f(x )| < (cid:15).
0 0
Le nombre δ d´epend `a la fois de x et de (cid:15) :
0
δ = δ(x ,(cid:15)).
0
Lorsqu’il peut ˆetre choisi ind´ependamment du point x ,
0
δ = δ((cid:15)),
on dit que la fonction est uniform´ement continue sur l’intervalle (a,b).
En d’autres termes, une fonction f : (a,b) → R est uniform´ement
continue sur (a,b) si `a chaque (cid:15) > 0 correspond δ > 0 tel que
|x−y| < δ et x,y ∈ (a,b) impliquent |f(x)−f(y)| < (cid:15).
Exemples.
– La fonction f(x) = x2 est uniform´ement continue sur [0,1] puisque :
|x2−y2| = |(x+y)(x−y)| ≤ 2|x−y|.
√
– La fonction f(x) = x est uniform´ement continue sur [1,+∞[; en
vertu du th´eor`eme des accroissements finis en effet, il existe z entre x
et y tel que :
√ √ |x−y| |x−y|
| x− y| = √ ≤ .
2 z 2
– La fonction f(x) = x2 n’est pas uniform´ement continue sur [1,+∞[;
soient en effet x = (n+1/n) et y = n. On a toujours
n n
1
|f(x )−f(y )| = 2+ > 2
n n n2
bien que
1
|x −y | = .
n n
n
Aucun nombre δ ne peut correspondre `a (cid:15) = 2.
7
√
– Lafonctionf(x) = xestuniform´ementcontinuesurl’intervalle[0,1],
en vertu du th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 1 Une fonction f : [a,b] → R continue sur un intervalle com-
pact y est uniform´ement continue.
D´emonstration. Supposons que le th´eor`eme est faux. Il existe alors (cid:15) > 0 tel
que, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x,y de l’intervalle [a,b]
pour lesquels :
|x−y| < δ et |g(x)−g(y)| > (cid:15).
Choisissons successivement δ = 1,1/2,1/3,1/4,... On obtient deux suites
de points x et y de [a,b] tels que
n n
1
|x −y | < et |g(x )−g(y )| > (cid:15).
n n n n
n
Par compacit´e, la suite {x } contient une suite partielle {x } qui
n n≥1 nk k≥1
converge vers un point z de [a,b]. Comme
1
|x −y | < ,
n n
k k n
k
la suite partielle {y } correspondante converge aussi vers z. Par conti-
nk k≥1
nuit´e, on a donc
lim (g(x )−g(y )) = g(z)−g(z) = 0
n n
k→+∞ k k
ce qui est absurde puisque l’on a toujours
|g(x )−g(y )| > (cid:15).
n n
k k
C.Q.F.D.
2.2 D´efinition de l’int´egrale
Soit f : [a,b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. A`
chaque partition P de l’intervalle,
P = {x ,x ,x ,...,x } ou` a = x < x < ··· < x = b,
0 1 2 n 0 1 n
associons avec Riemann une somme sup´erieure S(P,f),
n
X
S(P,f) = sup{f(x) | x ≤ x ≤ x }(x −x ),
k−1 k k k−1
k=1
8
et une somme inf´erieure s(P,f),
n
X
s(P,f) = inf{f(x) | x ≤ x ≤ x }(x −x ).
k−1 k k k−1
k=1
Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec-
tivement l’aire d´etermin´ee par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b
et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont
pas n´ecessairement ´equidistants).
y
y (cid:1) f(cid:1)x(cid:2)
x
a b
Fig. 1 – Sommes de Riemann
Il est clair que l’on a
inf{f(x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P,f) ≤ S(P,f) ≤ sup{f(x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)
pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition
plus fine que P, c’est-`a-dire si P ⊆ Q, on a
S(Q,f) ≤ S(P,f) , s(P,f) ≤ s(Q,f). (1)
Eneffet,ilsuffitdev´erifiercesin´egalit´eslorsqueQs’obtientdeP paradjonc-
tiond’unseulpoint,Q = P∪{x∗};orsij estl’indicetelquex < x∗ < x ,
j−1 j
on a
sup{f(x) | x ≤ x ≤ x }(x −x )
j−1 j j j−1
= sup{f(x) | x ≤ x ≤ x }(x −x∗)+sup{f(x) | x ≤ x ≤ x }(x∗−x )
j−1 j j j−1 j j−1
≥ sup{f(x) | x∗ ≤ x ≤ x }(x −x∗)+sup{f(x) | x ≤ x ≤ x∗}(x∗−x )
j j j−1 j−1
et les autres termes de la somme S(P,f) restent inchang´es. De ceci d´ecoule
la premi`ere des in´egalit´es (1). L’autre in´egalit´e s’obtient de fa¸con similaire.
9