Analízis I vizsga tételek és bizonyítások A jegyzetet Umann Kristóf készítette Bajári Lúcia, Árpás

14 Pages·2017·0.28 MB·Hungarian

Analízis I vizsga tételek és bizonyítások
A jegyzetet Umann Kristóf készítette Bajári Lúcia, Árpás Eszter, Provender Roxána, Gecse Viktória és
Csonka Szilvia jegyzete alapján Dr. Szili László előadásáról.
1. A szuprémum elv.
Tegyük fel, hogy ∅=(cid:54) H ⊂R, H felülről korlátos. Ekkor:
∃min{K ∈R : K felső korlátja H-nak}.
Bizonyítás: Legyen H (cid:54)= ∅ felső korlátos halmaz, A := H, B := {K ∈ R : K felső korlátja H-nak}.
Ekkor
(cid:41)
A(cid:54)=∅ és B (cid:54)=∅ ∃ξ ∈R: a≤ξ ≤K
teljességi
=⇒
∀a∈A és ∀K ∈B, a≤K axióma ∀a∈A és ∀K ∈B.
ξ ekkor a legkisebb felső korlát. (cid:4)
2. Az Archimedes-tétel.
∀a,b∈R, a>0, ∃n∈N: b<an.
Bizonyítás: Ha b≤0, akkor n=1 is megfelelő.
Ha b>0: indirekt bizonyítással
∃a>0, ∃b>0, ∀n∈N: b≥na.
Ekkor:
H :={na | n∈N}⇒H (cid:54)=∅,
szuprémum
H felülről korlátos =⇒ ∃supH =:ξ.
elv
Mivel ξ =supH,(ξ−a) nem felső korlát.
(cid:69)
∃n ∈N: n a>ξ−a ⇒ ξ <(n +1)a (cid:4)
0 0 0
3. A Cantor-féle közösrész-tétel.
Tegyük fel, hogy ∀n∈N, adott [a ,b ]⊂R, korlátos és zárt intervallum, úgy hogy
n n
[a ,b ]⊂[a ,b ] (∀n∈N).
n+1 n+1 n n
Ekkor:
+∞
(cid:92)
[a ,b ](cid:54)=∅.
n n
n=0
Bizonyítás: Legyen A:={a | n∈N}, B :={b | n∈N}
n n
Ekkor: a ≤b (∀n,m∈N). Ha:
n m
• n≤m: a ≤a ≤b
n m m
• n>m: a ≤b ≤b
n n m
tel=je⇒sségi∃ξ ∈R: a ≤ξ ≤b (∀n,m∈N)
n m
axióma
n==⇒ma ≤ξ ≤b ⇒ ξ ∈[a ,b ] ∀n∈N
n n n n
+∞
(cid:92)
ξ ∈ [a ,b ](cid:54)=∅. (cid:4)
n n
n=0
1
4. Minden sorozatnak van monoton részsorozata.
Minden sorozatnak van monoton részsorozata.
Bizonyítás:
Definíció: a az (a ) sorozat csúcsa, ha ∀n≥n : a ≥a .
n0 n 0 n0 n
2 eset lehet:
a) Végtelen sok csúcs van.
∃n ∈N: a csúcs: ∀n≥n : a ≥a
0 n0 0 n0 n
∃n >n : a csúcs: ∀n≥n : a ≥a
1 0 n1 1 n1 n
∃n >n : a csúcs: ∀n≥n : a ≥a
2 1 n2 2 n2 n
.
.
.
⇒a ≥a ≥a ≥ ... ⇒ monoton csökkenő részsorozat.
n0 n1 n2
b) Véges sok csúcs:
∃N ∈N: ∀n≥N : a nem csúcs.
n
n =N : a nem csúcs.
0 n0
∃n >n : a <a : a nem csúcs.
1 0 n0 n1 n1
∃n >n : a <a : a nem csúcs.
2 1 n1 n2 n2
.
.
.
⇒a <a <a < ... ⇒ monoton növekvő részsorozat. (cid:4)
n0 n1 n2
5. Konvergens sorozat határértéke egyértelmű.
Konvergens sorozat határértéke egyértelmű.
Bizonyítás: Inderekt módon: tegyük fel, hogy A (cid:54)=A is határérték.
1 2
∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A |<ε
1 1 n 1
∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A |<ε
2 2 n 2
Legyen n :=max(n ,n ) ⇒ ∀n≥n -ra:
0 1 2 0
|a −A |<ε és |a −A |<ε.
n 1 n 2
|A −A |
Legyen 0<ε< 1 2 :
2
háromszög
CSEL
0<|A −A | = |(A −a )+(a −A )| ≤ |a −A |+|a −A |<ε+ε=
1 2 1 n n 2 n 1 n 2
egyenlőtlenség
(cid:69)
=2ε>|A −A |. (cid:4)
1 2
6. A konvergencia és a korlátosság kapcsolata.
Ha (a ) konvergens ⇒(a ) korlátos.
n n
Bizonyítás: lim(a )=:A∈R
n
ε=1, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<1
0 0 n
⇒|a |=|(a −A)+A|≤|a −A|+|A|<1+|A|
n n n
ha n≥n :
0
|a |≤max{|a |,|a |,...,|a |,1+|A|} (∀n∈N)
n 1 2 n0
⇒(a ) korlátos. (cid:4)
n
2
7. Műveletek nullsorozatokkal.
a) Ha (a ) és (b ) nulla sorozat akkor (a +b ) is nulla sorozat.
n n n n
b) Ha (a ) nulla sorozat és (c ) korlátos sorozat akkor (a c ) is nulla sorozat.
n n n n
c) Ha (a ) és (b ) 0 sorozat akkor (a b ) is nulla sorozat.
n n n n
Bizonyítás:
a) (a ) és (b ) nullasorozat
n n
ε
∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a |<
1 1 n 2
ε
∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |b |<
2 2 n 2
⇒∀ε>0, n :=max{n ,n }, ∀n≥n
0 1 2 0
ε ε
|a +b |≤|a |+|b |< + =ε ⇒ lim(a +b )=0.
n n n n 2 2 n n
b) (c ) korlátos: ∃K >0, ∀n∈N: |c |≤K.
n n
(a ) nullasorozat: ∀ε>0 ∃n ∈N, ∀n≥n : |a |<ε
n 0 0 n
⇒|c a |=|c ||a |<Kε ∀n≥n ⇒ lim(a c )=0.
n n n n 0 n n
c) (a ) nullasorozat.
n
(b ) nullasorozat ⇒ (b ) korlátos =b⇒) (a b ) is nullasorozat. (cid:4)
n n n n
8. Konvergens sorozatok hányadosára vonatkozó tétel.
Tegyük fel, hogy a:=(a ) és b:=(b ) konvergens, és lim(a )=:A∈R, lim(b )=:B ∈R,
n n n n
0(cid:54)∈R , B (cid:54)=0.
bn
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a a A
Ekkor n is konvergens, és lim n = .
b b B
n n
Bizonyítás:
(cid:18) (cid:19)
1
Segédtétel: Ha (b ) konvergens, 0(cid:54)∈R és lim(b )=B (cid:54)=0 ⇒ korlátos.
n bn n |b |
n
Bizonyítás: Feltehető, hogy B >0.
|B|
lim(b )=B ⇒ ε= >0-hoz
n 2
|B|
∃n ∈N ∀n≥n : |b −B|< .
0 0 n 2
háromszög |B| |B|
|b |=|b −B+B|=|B−(B−b )| ≥ |B|−|B−b |≥|B|− = .
n n n n 2 2
egyenlőtlenség
|B| 1 2
⇒|b |≥ ∀n≥n ⇔ ≤ ∀n≥n .
n 2 0 |b | |B| 0
n
(cid:26) (cid:27) (cid:18) (cid:19)
1 2 1 1 1 1
⇒∀n∈N: ≤max , , ,..., ⇒ korlátos. (cid:4)
|b | |B| |b | |b | |b | |b |
n 0 1 n0 n
(cid:18) (cid:19)
a A
Igazoljuk: n − nullasorozat.
b B
n
a A a B−Ab a B−AB+AB−Ab
n − = n n = n n =
b B b B b B
n n n
1 A 1
= ·(a −A)+ · (B−b )
b n B b n
n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) n (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) 0sorozat (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) 0sorozat
korl. korl.
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
0sorozat 0sorozat
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
0sorozat
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a A a A
⇒ lim n − =0 ⇒ lim n = . (cid:4)
b B b B
n n
3
9. A közrefogási elv.
Legyen (a ),(b ),(c ) valós sorozatok. Tegyük fel, hogy
n n n
a) ∃N ∈N, ∀n≥N : a ≤b ≤c ,
n n n
b) (a ),(c ) konvergens, lim(a )=lim(c )=:A.
n n n n
Ekkor (b ) konvergens, és lim(b )=A.
n n
Bizonyítás: lim(a )=lim(c )=A:
n n
∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<ε,
1 1 n
A−ε<a <A+ε,
n
∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |c −A|<ε,
2 2 n
A−ε<c <A+ε.
n
ε>0-hoz legyen n :=max{n ,n ,N.}
0 1 2
A−ε<a ≤b ≤c <A+ε
n n n
⇒ |b −A|<ε, ∀n≥n ⇒ lim(b )=A. (cid:4)
n 0 n
10. Monoton sorozatok határértékére vonatkozó tételek.
a) Ha (a )(cid:37) és felülről korlátos ⇒ (a ) konvergens és lim(a )=sup{a | n∈N}.
n n n n
Ha (a )(cid:38) és alulról korlátos ⇒ (a ) konvergens és lim(a )=inf{a | n∈N}.
n n n n
b) Ha (a )(cid:37) és felülről nem korlátos ⇒ lim(a )=+∞.
n n
Ha (a )(cid:38) és alulról nem korlátos ⇒ lim(a )=−∞.
n n
Bizonyítás:
a) (a ) felülről korlátos ⇒ ∃sup{a | n∈N}=:A∈R (véges!) ⇒ ∀n∈N, a ≤A.
n n n
∀ε>0, ∃n ∈N, A−ε<a ≤A
0 n0
DE!:
(a )(cid:37): ∀n≥n : A−ε<a ≤a ≤A
n 0 n0 n
⇒ ∀ε>0, ∃n ∈N, n≥n : |a −A|<ε ⇒ lim(a )=A.
0 0 n n
b) (a ) felülről nem korlátos ⇒ ∀P ∈R-hez ∃n ∈N: a >P.
n 0 n0
DE!:
(a )(cid:37): ∀n≥n : a ≥a ⇒ ∀P ∈R, ∃n ∈N, ∀n≥n :
n 0 n n0 0 0
a >P ⇒ lim(a )=+∞. (cid:4)
n n
11. A Cauchy-féle konvergencia kritérium.
(a ) konvergens ⇔ (a ) Cauchy sorozat.
n n
Bizonyítás:
⇒:
Ha (a ) konvergens, legyen lim(a )=:A∈R. Ekkor:
n n
∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : |a −A|<ε
0 0 n
n,m>n : |a −a |=|a −A+A−a |≤|a −A|+|A−a |<ε+ε=2ε
0 n m n m n m
⇒(a ) Cauchy-sorozat.
n
⇐:
Tegyük fel, hogy (a ) Cauchy sorozat.
n
4
a) (a ) korlátos, ugyanis:
n
ε=1-hez ∃n ∈N, ∀n,m≥n : |a −a |<1
0 0 n m
⇒|a |=|a −a +a |≤|a −a |+|a |<1+|a |
n n n0 n0 n n0 n0 n0
∀n≥n -re: |a |≤max{|a |,|a |,...,|a |,1+|a |} ⇒ (a ) korlátos.
0 n 0 1 n0 n0 n
b) A Bolz-Weierstass-féle kiválasztási tétel alapján ∃(a ) konvergens részsorozat.
nk
Legyen lim(a )=:A.
nk
c) Igazoljuk: lim(a )=A.
n
|a −A|=|a −a +a −A|≤|a −a |+|a −A|
n n nk nk n nk nk
ε>0 tetszőleges: a →A ⇒ ∃N ∈N: |a −A|<ε (∀n≥N )
nk 1 nk 1
(a ) Cauchy-sorozat:
n
∃N ∈N: |a −a |<ε, ∀n,n ≥N
2 n nk k 2
⇒∀n≥n :=max{N ,N }, |a −A|<ε+ε=2ε
0 1 2 n
⇒lim(a )=A. (cid:4)
n
12. A geometriai sorozat határértékére vonatkozó tétel.
q ∈R: (qn) sorozatra:
 0, ha |q|<1
 1, ha q =1
lim(qn)=
+∞ ha q >1
(cid:64) hatérték, ha q ≤−1
Bizonyítás:
a) q =0, qn =0 −→ 0 (cid:88)
n→+∞
b) q =1, qn =1 −→ 1 (cid:88)
n→+∞
c) q >1: q =1+h, h>0
Bernoulli
qn =(1+h)n ≥ 1+nh>nh ⇒ Ha P ∈R, akkor
egyenlőtlenség
P
qn >nh>P ha n> ⇒ lim(qn)=+∞.
h
d) 0<|q|<1
1 c) (cid:18) 1 (cid:19)n
>1 =⇒ →+∞ (n→+∞)
|q| |q|
Azaz:
1 (cid:18) 1 (cid:19)n 1
∀ε>0, ∃n ∈N, ∀n≥n : = > ,
0 0 |q|n |q| ε
|qn|=|q|n <ε ∀n≥n ⇒ lim(qn)=0.
0
e) q ≤−1
(cid:41)
qn ≥1 ha n páros
⇒ (cid:64)lim(qn). (cid:4)
qn ≤−1 ha n páratlan
13. Pozitívszámm-edikgyökénekelőállításarekurzívmódonmegadottsorozatokhatárértékével.
Legyen m=2,3,...
a) ∀A>0-hoz ∃!α>0: αm =A
5
b) Legyen a >0 tetszőleges,
0
(cid:18) (cid:19)
1 A
a = +(m−1)a (n=0,1,...)
n+1 m am−1 n
n
sorozat konvergens és lim(a )=α.
n
Bizonyítás:
I. lépés: (a ) „jól definiált” és a >0 ∀n∈N
n n
II. lépés: Egyértelműség: 0<α <α ⇒ αm <αm
1 2 1 2
III. lépés: Az (a ) sorozat alulról korlátos és (cid:38), így (a ) konvergens, ugyanis:
n n
(a ) alulról korlátos:
n
 m−1darab m
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
∀n∈N: am =amnA−1 +an+...+an ≥ A ·a(cid:122)m−·.1(cid:125).(cid:124)d.a·raab(cid:123)=A
n+1  m  am−1 n n
  n
(a )(cid:38):
n
Igazolnunk kell, hogy ∀n∈N: a ≤a ⇔ an+1 ≤1.
n+1 n an
a 1 (cid:18) A (cid:19) 1 (cid:18)A−am (cid:19) A−am
n+1 = +(m−1) = n +m = n +1≤1 (∀n=2,3,...)
a m am m am m·am
n n n n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
(an)(cid:38)
Ezalapján (a ) valóban konvergens, és α:=lim(a ).
n n
⇒α≥0, de α=0 nem lehet, ugyanis am ≥A>0 ⇒ α>0.
n
IV. lépés: Igazoljuk: αm =A.
(cid:18) (cid:19)
1 A
a = + (m−1)a
n+1 m am−1 n
(cid:121) (cid:121)n (α>0) (cid:121)
A
α (m−1)α
αm−1
(cid:18) (cid:19)
1 A
α= +(m−1)α
m αm−1
mαm =A+(m−1)αm ⇒ αm =A. (cid:4)
14. A végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritérium.
(cid:40)
(cid:88) ∀ε>0, ∃n0,∈N, ∀m,n∈N: m>n≥n0
a sor konvergens ⇔
n
|a +a +...+a |<ε.
n+1 n+2 m
(cid:80) Cauchy-féle
Bizonyítás: A a sor konvergens ⇔(s ) konvergens ⇐⇒ (s ) Cauchy-sorozat.
n n n
kritérium
sorozatokra
⇔∀ε>0: ∃n ∈N, ∀m>n≥n : |s −s |=|(a +...+a )−(a +...+a )|=
0 0 m n 0 m 0 n
=|a +a +...+a |<ε. (cid:4)
n+1 n+2 m
15. Végtelen sorok konvergenciájának szükséges feltétele.
(cid:80)
Ha a sor konvergens ⇒lim(a )=0.
n n
Bizonyítás: (cid:80)(a ) konvergens Cau=ch⇒y-féle∀ε>0: ∃n ∈N, ∀m,n∈N, m>n≥n :
n 0 0
kritérium
sorokra
|a +...+a |<ε.
n+1 m
Legyen m=n+1⇒|a |<ε. ∀n≥n ⇒lim(a )=0. (cid:4)
n+1 0 n
6
16. A nemnegatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tétel.
(cid:80)
a nemnegatív tagú sor konvergens ⇔(s ) korlátos sorozat.
n n
(cid:80)
Bizonyítás: a sor konvergens ⇔(s ) konvergens.
n n
De: (s )(cid:37), ami konvergens ⇔(s ) korlátos. (cid:4)
n n
17. Végtelen sorokra vonatkozó öszehasonlító kritériumok.
Tegyük fel, hogy (a ),(b ) sorozatokra:
n n
∃N ∈N ∀n∈N; n≥N : 0≤a ≤b .
n n
Ekkor:
a) Majoráns kritérium:
(cid:80) (cid:80)
Ha b konvergens ⇒ a is konvergens.
n n
b) Minoráns kritérium
(cid:80) (cid:80)
Ha a divergens ⇒ b divergens.
n n
Bizonyítás:
sa :=a +a +...+a (cid:41)
n N N+1 n
a) n≥N
sb :=b +b +...+b
n N N+1 n
Ha (cid:80)b konvergens (s=bn⇒(cid:37)) (sb) korlátos ⇒ (sa) is korlátos, (cid:37)⇒ (cid:88) a konvergens ⇒ (cid:80)a is
n n n n n
n=N
konvergens. (cid:4)
18. A Cauchy-féle gyökkritérium.
Tegyük fel, hogy a (cid:80)a sorra ∃ lim (cid:112)n |a |=:A∈R.
n n
n→+∞
Ekkor:
(cid:80)
a) 0≤A<1 esetén a a sor abszolút konvergens, tehát konvergens is.
n
(cid:80)
b) A>1 esetén a a sor divergens.
n
(cid:80)
c) A=1 esetén a a sor lehet konvergens is és divergens is (a kritérium nem használható).
n
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy 0≤A<1. Ekkor ∃q : A<q <1.
(cid:112) (cid:112)
lim n |a |=A⇒q-hoz ∃n ∈N: ∀n≥n : n |a |<q.
n 0 0 n
n→+∞ (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
≥0
(cid:88)
∀n≥n : |a |≤qn, qn konvergens, mert 0<q <1 (geometriai sor)
0 n
n=1
(cid:88)qn konvergens ma=jo⇒ráns (cid:88)|a | konvergens, azaz (cid:88)a abszolút konvergens.
n n
kritérium
n=1
Tegyük fel, hogy A>1. Ekkor ∃q : 1<q <A.
(cid:112) (cid:112)
lim(n |a |)=A⇒1<q-hoz ∃n ∈N: ∀n≥n : n |a |>q
n 0 0 n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
≥0
⇒|a |>qn (n≥n )⇒lim(|a |)=+∞, azaz (a ) nem 0-sorozat. szü=k⇒séges(cid:80)a divergens.
n 0 n n n
feltétel
Tegyük fel, A=1.
(cid:114)
(cid:88) 1 1 1
harmonikus sor divergens, de lim n = lim √ =1.
n n→+∞ n n→+∞ nn
(cid:88) 1 1 (cid:18) 1 (cid:19)2
konvergens és lim √ = lim √ =1. (cid:4)
n2 n→+∞ nn2 n→+∞ nn
7
19. A D’Alembert-féle hányados-kritérium.
Tegyük fel, hogy a (cid:80)a sorra a (cid:54)=0 (n∈N):
n n
|a |
∃ lim n+1 =:A∈R.
n→+∞ |an|
Ekkor:
(cid:80)
a) 0≤A<1⇒ a sor abszolút konvergens, tehát konvergens is.
n
(cid:80)
b) A>1⇒ a divergens.
n
(cid:80)
c) A=1⇒ a lehet konvergens és divergens is.
n
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy 0≤A<1. Ekkor ∃q :A<q <1, és
|a | |a |
lim n+1 =A⇒q-hoz ∃n ∈N, ∀n≥n : n+1 <q.
n→+∞ |an| 0 0 |an|
Legyen n>n :
0
|an| <q
|a |<q·|a | |an−<1| q2|a |< ... <qn+1−n0|a |=
n+1 n n−1 n0
=:c
(cid:122) (cid:125)(cid:124) (cid:123)
=|a |·q1−n0qn =c·qn ⇒|a |<c·qn (∀n≥n ).
n0 n+1 0
Mivel: 0<q <1, (cid:88) qn konvergens ma=jo⇒ráns (cid:80)|a | konvergens, azaz (cid:80)a abszolút konvergens.
n n
kritérium
n=n0
Tegyük fel, hogy A>1. Ekkor ∃q :1<q <A, és
|a | |a |
lim n+1 =A ⇒ q-hoz ∃n ∈N, ∀n≥n : n+1 >q.
n→+∞ |an| 0 0 |an|
n>n : |a |>q·|a |>q2|a |> ... >qn+1−n0|a |
0 n+1 n n−1 n0
q>1 (cid:80)
=⇒lim(|a |)=+∞, azaz (a ) nem 0-sorozat ⇒ a divergens.
n+1 n n
Tegyük fel, hogy A=1.
(cid:88) 1 (cid:32) 1 (cid:33) (cid:18) n (cid:19) (cid:18) 1 (cid:19)
divergens, de lim n+1 =lim =lim =1
n 1 n+1 1+ 1
n n
(cid:88) 1 (cid:32) 1 (cid:33)2 (cid:18) 1 (cid:19)2
konvergens, de lim n+1 = lim =1. (cid:4)
n2 n→+∞ 1 n→+∞ 1+ 1
n n
20. Leibniz-típusú sorok konvergenciája.
(cid:88)
Tegyük fel, hogy ∀n∈N:0≤a ≤a . Ekkor (−1)n+1a Leibniz-típusú sor, és
n+1 n n
n=1
(cid:88)
a) Konvergencia: (−1)n+1a konvergens ⇔lim(a )=0.
n n
n=1
(cid:88)
b) Hibabecslés: tegyük fel, hogy (−1)n+1a konvergens és
n
n=1
+∞
(cid:88)
A:= (−1)n+1a . Ekkor:
n
n=1
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)n (cid:12)
|A−s |=(cid:12)A− (−1)k+1a (cid:12)≤a (∀n∈N).
n (cid:12) k(cid:12) n
(cid:12) (cid:12)
k=1
8
Bizonyítás:
a) (konvergencia)
⇒:
(cid:88)(−1)n+1a konvergens szü=k⇒séges lim(cid:0)(−1)n+1a (cid:1)=0⇒lim(a )=0.
n n n
feltétel
n=1
⇐:
(cid:88)
Igazolnunk kell: (−1)n+1a =a −a +a −... konvergens.
n 1 2 3
n=1
n
(cid:88)
s = (−1)k+1a =a −a +a −...±a
n k 1 2 3 n
k=1
Igazoljuk
α) (s )(cid:38)
2n+1
s =a ≥s −(a −a )=a −a +a =s
1 1 1 2 3 1 2 3 3
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
≥0
≥s −(a −a )=a −a +a −a +a =s ≥s ≥ ... ≥s
3 4 5 1 2 3 4 5 5 7 2n+1
β) (s )(cid:37)
2n
s =a −a ≤s +(a −a )=a −a +a −a =s ≤s ≤ ... ≤s
2 1 2 2 3 4 1 2 3 4 4 6 2n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
≥0
(s ) és (s ) korlátosak is, ui.:
2n 2n+1
(cid:40)
∃α:=lim(s )
monoton 2n
s ≤s =s −a ≤s ≤s =⇒ konvergens:
2 2n 2n+1 2n 2n−1 1
korlátos ∃β :=lim(s2n+1)
s = s − a (n∈N)
2n 2n+1 2n
↓ ↓ ↓
α β 0
+∞
(cid:88)
⇒α=β =lim(s )⇒ (−1)n+1a konvergens.
n n
n=1
b) (hibabecslés)
s ≤α=A≤s
2n 2n+1
|s −A|≤s −s =a ≤a
2n 2n+1 2n 2n+1 2n
|s −A|≤s −s =a
2n+1 2n+1 2n 2n+1
⇒∀n∈N: |A−s |≤a . (cid:4)
n n
21. Számok tizedestört alakban való előállítása.
+∞
Ha α∈[0;1], akkor ∃(a ): N+ →{0,1,2,...,9}: α= (cid:88) an
n 10n
n=1
Bizonyítás:
1. lépés: [0;1]-at 10 egyenlő részre osztjuk
(cid:20) (cid:21)
a a +1
⇒ ∃a ∈{0,1,2,...,9}: α∈I = 1; 1
1 1 10 10
2. lépés: I -et 10 egyenlő részre osztjuk
1
(cid:20) (cid:21)
a a a a +1
⇒ ∃a ∈{0,1,2,...,9}: α∈I = 1 + 2 ; 1 + 2
2 2 10 102 10 102
9
.
.
.
n. lépés: Felosztjuk I -et 10 egyenlő részre ⇒ ∃a ∈{0,1,...,9}.
n−1 n
(cid:20) (cid:21)
a a a a a a +1
α∈I = 1 + 2 +...+ n ; 1 + 2 +...+ n ,
n 10 102 10n 10 102 10n
azaz
a a a a a a 1
1 + 2 +...+ n ≤α≤ 1 + 2 +...+ n +
10 102 10n 10 102 10n 10n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
sn sn
1
s ≤α≤s + ∀n=1,2,...
n n 10n
+∞
⇒|α−s |≤ 1 →0 ⇒ lim(s )=α= (cid:88) an (cid:4)
n 10n n 10n
n=1
22. Abszolút konvergens sorok átrendezése.
Haa(cid:80)a sorabszolútkonvegens,és(p ):N→Ntetszőlegesbijekció,akkora(cid:80)a abszolútkonvergens,
n n pn
+∞ +∞
(cid:88) (cid:88)
és a = a
n pn
n=0 n=0
Bizonyítás: Legyen (p ):N→N tetszőleges permutáció.
n
n n
(cid:88) (cid:88)
s = a , σ := a
n k n pk
k=0 k=0
(cid:88)
a) Igazoljuk: a a sor abszolút konvergens (tehát konvergens is)
pn
(cid:32) n (cid:33)
(cid:88)
A |a |,n∈N sorozat (cid:37) és felülről korlátos, mert
pk
k=0
(cid:88)n |a |=|a |+...+|a |≤(cid:88)+∞|a |=K (cid:80)ak <abszolút+∞ (∀n∈N)
pk p0 pn k konvergens
k=0 k=0
(cid:88) (cid:88)
⇒ |a | konvergens, azaz a abszolút konvergens.
pk pk
+∞ +∞
(cid:88) (cid:88)
b) Igazoljuk: a = a .
n pn
n=0 n=0
+∞
(cid:88)
Legyen A= a , azaz s →A.
n n
n=0
(cid:88) Cauchy
Legyen ε>0 tetszőlegesen rögzített szám. Mivel |a | konvergens =⇒
n
kritérium
ε>0-hoz ∃N ∈N, ∀m≥N : |a |+|a |+...+|a |<ε.
N N+1 m
Tekintsük a (a ) sorozat első N +1 tagját.
n
Ekkor
∃N ∈N ∀n≥N -re σ −s =(a +...+a )−(a +a +...+a )=
1 1 n n p0 pn 0 1 n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
a0;a1;...;aN-ekkiesnek,haN1 elégnagy
n n
(cid:88) (cid:88)
= ±a ⇒ |σ −s |≤ |a |<ε ∀n≥N ⇒
k n n k 1
k>N k>N
σ −s −→ 0
n n
n→+∞
De:
+∞
(cid:88)
σ =σ −s +s −→ 0+A⇒σ −→ A, azaz a =A (cid:4)
n n n n n→+∞ n n→+∞ pn
n=0
10