analiz mühendisinin el kitabı

23 Pages·2016·11.26 MB·Turkish

ÖZET
Günümüzde Sonlu Elemanlar Teorisi ürün test ve
değerlendirmesinde oldukça yoğun bir ilgi ile karşı
karşıyadır. Bu kitap bilgi seviyesi ne olursa olsun herkese
bir bakış kazandırmak amacı ile yazılmıştır.
Timucin Ersin Tasdemir

Teknik Satış Uzmanı, Üretim Ürünleri, Türkiye
ANALİZ
MÜHENDİSİNİN EL
KİTABI
İçerik

ANALİZ MÜHENDİSİNİN EL KİTABI ............................................................................................................... 2
Sonlu Elemanlar Metdodunun Teorisi ..................................................................................................... 3
Linear Statik Analiz ............................................................................................................................... 6
Bilgisayar Uygulaması | Autodesk Simulation Mechanical ...................................................................... 8
Modal Analiz ........................................................................................................................................ 9
Response Spectrum ........................................................................................................................... 11
Bilgisayar Uygulaması | Nastran-in CAD ................................................................................................ 13
EK A | Meshing ...................................................................................................................................... 18
EK B | Malzeme Modelleri ..................................................................................................................... 20
EK C | Eğitim Kaynakları ......................................................................................................................... 21
Kaynakça ................................................................................................................................................ 22
ANALİZ MÜHENDİSİNİN EL KİTABI

Yüz yıllardır insanoğlu olarak sorduğumuz
bir soru var. Bu soru aslında bilimin
büyükleri tarafından da zamanında soruldu
ki bunların arasında Newton, Da Vinci ve
Langrange gibi mekaniğe ve mühendisliğe
oldukça katkı yapmış kişilerde var. Peki bu
soru nedir? Aslında günlük hayatta sıkça
duyduğumuz, kullandığımız bu soru; Nasıl
daha iyi bir ürün geliştirebilirimin? ta
kendisidir.
Peki nasıl daha iyi bir ürün geliştirilebilir? Sizin için cevaplayabilirim. Elbette ki aşağıda ki yöntemlerden
biri ve ya birkaçı ile,
• Bilgisayar yardımıyla Analiz
• Laboratuar testi
• Gerçek zamanlı kullanım
Bu üç yöntemin üçünü de irdelediğimizde birinin diğerlerine karşı üstünlüğü olduğunu göreceksiniz.
Laboratuar testi oldukça gerçekci sonuçlar verir ancak pahalı ve uğraştırıcıdır. Sadece sizin değil
kullandığınız aletinde hassas olması gereklidir. Gerçek zamanlı kullanım, çok istenen bir şey değildir
aslında deneme yanılma diye bilinen şeyin ta kendisidir. Önce üretip sonra olacakları beklemeniz
gereklidir. Tabii olarak kaybedeceğiniz para ve zamanda cabasıdır. İşte bu nedenlerden dolayı Bilgisayar
yardımıyla analiz Dünyada bu gün yaygın olarak kullanılmaktadır.
Bu sebeple bundan sonrasında sizelere 1950’li yılllarda geliştirilen ve oldukça güçlü bir sayısal yöntem
olan Sonlu Elemanlar Yöntemi ingilizce kısaltması ile FEA anlatmaya çalışacağım. Bu konuda hiçbir şey
duymamış, bazı kaynakları karıştırmış ve ya yüksek derecede bilgi sahibi olmuş olabilirsiniz. Bu doküman
hangi gruptan olursanız olun kendinize uygun şeyler bulmanız için tasarlandı.
Anlatım sırasında uygulamalar Autodesk Simulation Mechanical ve Autodesk Nastran-in CAD yazılımları
ile Autodesk Inventor yazılımları yardıyla yapılarak açıklanacaktır.
Sonlu Elemanlar Metdodunun Teorisi

Sonlu ElemanlarYönteminin kim tarafından
geliştirildiğini bulmak , insanoğlu için tekerleği kimin
icat ettiği sorusunun cevabını bulmak kadar zordur.
[1] Method matematikle birlikte karmaşık
sistemlerin ayrıklarşıtırlarak daha doğrusu
elemanlarına ayrılması ile hesaplanması ilkesine
dayanır. Aristo tarafından ortaya atılan
ayrıklaştırma konspeti sürekli sistemlerin
hesaplanmasına olanak sağlamak ile birlikte 16.
Yüzyılın sonunda Leibniz ve Newton atarfından
tekrar değinilecekti. Çözüm yöntemi matematikde
dx olarak bilinen ve sonsuz küçük birim manasına
gelen diferansiyel kavramı üzerinden gitmektedir.
Ancak burada matematiksel olarak bazı sorunlar vardır. Günlük hayatta kullandığımız her şey sürekli
yani kendi içinde devam eden fiziksel koşulların iç içe geçmiş olduğu sistemlerdir. Bu sistemleri çözmek
için kullanılan yöntemler ise ayrık sistemlerin çözümü için kullanılmaktaydı ve ya uygun değildi el ile
çözüm yapmaya. Bu noktada, elastik sürekli bir kirişin çözümü hakkında Hrenikoff(1941) ve
McHenry(1943) sürekli sistem çözümü ile sistemi parçalara ayırarak çözüm hakkında bir çalışma
yapmışlardır[1]. Ancak maaleasef yapılan bu çalışma sadece dörtgen elemanlardan oluşan sistem için
açıklanmıştır. Yani sistemi sadece dikdörtgene bölen mesh şeklinde yapılmıştır da diyebiliriz. Ancak tabii
olarak günlük hayatta her cismi dikdörtgene ayırarak çözme şansımız bulunmamaktadır.
Bu zorluğu yenmek için havacılık endüstrisinde çalışan Turner ve Clough daha doğrudan ayrıklaştırma
yapan bir model üzerine çalıştılar[1]. Yapılan bu çalışmalar sonrasında farklı bilim adamları tarafından
kabul edilerek üzerlerine farklı çözümler getirildi.
Sonlu ElemanlarYönteminin, yeni nesillere anlatılmasında üniversiteler ve enstitüler tarafından yay
mantığı sıklıkla kullanılır. Çünkü yöntemin anlaşılması basittir ve akılda kalıcıdır. Bu dökümanda
anlatılacaklar size yol göstermek için hazırlanmıştır. Teorik kısmı geçtikten sonra uygulama yazılım ile
birlikte yapılacaktır.
Yan kısımda görmüş olduğunuz yay bağlantısı bir kirişi
modellemek için kullanılabilir. Burada i ve j noktaları kirişin baş
kısmını ve son kısmını göstermek ile birlikte, k değeri ise sertlik
kavramını ihtiva etmektedir[2]. Bilindik formüllerden
hatırlayacağımız üzere Kuvvet yerdeğiştirme ilişkisi
𝐹 = 𝑘.∆𝑢
Olarak yazılabilir burada;
𝐹;𝑘𝑢𝑣𝑣𝑒𝑡𝑖
∆𝑢 = 𝑢 −𝑢 yer değiştirmeyi
! !
Göstermektedir.
Burada yan kısımda gördüğünüz gibi iki adet çizim
gösterilmiştir. Linear ve nonlinear, bu dökümanda
nonlinear çözümlemeye teorik olarak değinmeyeceğiz.
İşlemlerimiz linear çözümelemenin nasıl olması gerektiği
üzerine yoğunlaşacaktır. Bunun sebebi ise nonlienar çözümlemenin diferansiyel denklemlerin
doğasından dolayı oldukça meşekatli işlemler içermesidir.
Kuvvetimizi yazarsak;
𝑓 = −𝐹 = −𝑘 𝑢 −𝑢 = 𝑘𝑢 −𝑘𝑢
! ! ! ! !
𝑓 = 𝐹 = 𝑘 𝑢 −𝑢 = −𝑘𝑢 +𝑘𝑢
! ! ! ! !
Şimdi burada tekrar açıklığa kavuşturalım. Bu satırları okurken neden yay modellinin kullanıldığını
anlamamış ve ya sindirememiş olabilirsiniz. Bunun için ek olarak şöyle bir açıklama yapmakta fayda
vardır. Yay sıkıştırıldığında ve gerildiğinde tekrar eski konumuna dönmek ister yani kuvvet uygular. Bu
kuvveti uygulamasının en büyük sebebi sahip olduğu k ile ifade edilen yay katsayısıdır. Yay katsayısı bir
yayı 1 mm uzatmak için uygulanması gereken Kuvvet olarak açıklanabilir. Tıpkı bu açıklamada olduğu gibi
cisimlerde belirli zorlamalara karşı direnç gösterirler. Bu direçten dolayı yay benzetmesine uymaları
Sonlu Elemanlar Teorisinin açıklamasında kullanılmaktadır.
Açıklamadan sonra yukarıda kısmı matrix formundan yazarsak;
𝑓 = 𝑘𝑢 −𝑘𝑢
! ! !
𝑓 = −𝑘𝑢 +𝑘𝑢
! ! !
𝑘 −𝑘 𝑢! 𝑓!
. =
−𝑘 𝑘 𝑢! 𝑓!
İşte yukarıda görmüş olduğunuz matrix formu Sonlu Elemanlar Çözümün temelini oluşturmakla birlikte
bu denklemden ilk hesaplanan değer yer değiştirme olmaktadır.
Bu noktadan sonra yan yana birlieştirilmiş iki kirişi nasıl çözebiliriz. Birde bunu inceleyelim;

Yukarıda gördüğünüz gibi modellenmiş olan kiriş aşağıdaki
gibi bir sistem ile ayrıklaştırılabilir.
Gördüğünüz gibi iki yay olarak modellenmiş olan kirişler
orta kısımda bulunan düğüm noktasından bağlanmaktadır.

O halde ayrı olarak;
Eleman-1 için
𝑘 −𝑘 𝑢 𝑓!
! ! ! = !
−𝑘! 𝑘! 𝑢! 𝑓!!
Eleman-2 için
𝑘 −𝑘 𝑢 𝑓 !
! ! ! = !
−𝑘! 𝑘! 𝑢! 𝑓!!
Bu noktada ilerlemeden önce bazı şeyleri açığa
kavuşturmakta fayda vardır. Sistem üç düğüm noktasından oluşmaktadır. Bu sebeple sistemin toplam
karakteristik denklemi üç tane olmalıdır.
𝑓!,𝑚 = 1,2,3…toplam eleman adedini göstermekte olan ifadedir.
O halde Birinci düğüm için
𝐹 = 𝑓!
! !
İkinci düğüm için;
𝐹 = 𝑓!+𝑓!
! ! !
Üçüncü düğüm için;
𝐹 = 𝑓!
! !
Dolayısı ile matrix formunda yazdığımızda
𝑘 𝑘 0 𝑢 𝐹
! ! ! !
−𝑘! 𝑘!+𝑘! −𝑘! 𝑢! = 𝐹!
0 −𝑘! 𝑘! 𝑢! 𝐹!
Ortaya çıkacaktır.
Örneğin bir ortası delik plakayı elemanlarına ayırırsak çözümü aşağıdaki gibi olacaktır.

Linear Statik Analiz

Bu noktada basit bir anlatım ile ilerlemek herhalde daha anlaşılır olacaktır. Bunun için basit bir kiriş
elemanı düşşünebiliriz.
L, uzunluğu berlirtir
A, Kesit Alanını
E, Elastisite Modulünü
u, yer değiştirme
𝜀,𝐺𝑒𝑟𝑖𝑛𝑖𝑚
𝜎,𝐺𝑒𝑟𝑖𝑙𝑚𝑒
Mekanik biliminde gerinim ile yer değiştirme arasında bu şekilde bir bağlantı olduğu bilinir.
𝑑𝑢
𝜀 =
𝑑𝑥
Aynı zamanda Gerilme gerinim ilişkisi;
𝜎 = 𝐸𝜀
Burada 𝜀, gerinim değerini hatırlamakta fayda. Gerinim en basit tabir ile birim uzama olarak tarif edilir.
Yani diğer bir deyişle uzaman miktarı/uzayan cismin boyu da diyebiliriz. O halde;
𝐵𝑎ş𝑡𝑎𝑘𝑖 𝑦𝑒𝑟 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑡𝑖𝑟𝑚𝑒−𝑆𝑜𝑛𝑑𝑎𝑘𝑖 𝑦𝑒𝑟 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑡𝑖𝑟𝑚𝑒 𝑢 −𝑢 ∆
! !
𝜀 = = =
𝐵𝑜𝑦 𝐿 𝐿
Ayrıca bilineceği üzere bir A kesitinde ki normal gerilme;
𝐹
𝜎 =
𝐴
Buradan;
𝐸𝐴
𝐹 = 𝜎𝐴 = 𝐸𝜀𝐴 = ∆= 𝑘∆
𝐿
K burada Sonlu Eleman Methodunda sertlik matrisi olarak konumlandırılır. Görüleceği üzere;
malzemenin Elastisitesi, kesit Alanı ve uzunluğuna bağlıdır. O halde yukarıda ki çubuğu bir eleman olarak
düşünürlsek sertlik matrisi;
𝐸𝐴 𝐸𝐴
−
𝑘 −𝑘 𝐿 𝐿 𝐸𝐴 1 −1
𝑘 = = =
−𝑘 𝑘 𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝐿 −1 1
−
𝐿 𝐿

Dolayısı ile Linear Statik Analiz için;
𝐸𝐴 1 −1 𝑢! 𝑓!
=
𝐿 −1 1 𝑢! 𝑓!
Şeklinde ortaya çıkacaktır.
Linear Statik Analizden farklı olan analiz çalışmaları; burkulma, yorulma, titreşim, nonlinear, Isı gibi
analizler hem daha işlem yoğunluğunu fazlalaştırmakta olduklarından hem de bir boyut haricinde ki
çalışmalar oldukça zaman alındığından dolayı bu konular kitabın dışına bırakılmıştır.
Bilgisayar Uygulaması | Autodesk Simulation Mechanical

Bu kısımda Autodesk Simulation Mechanical yazılımının gerçek bir model üzerinde nasıl uygulamasının
yapılabilceğinden bahsedeceğiz. Bunun için seçtiğimiz örnek Avusturalya Sdney Şehrinin meşhur köprüsü
Sdney Harbour Bridge. Uygulama Sonlu Elemanlar Yönetiminin bilgisayar uygulaması ile nelerin
yapılabileceğinin bir göstergesi olarak düşünülmeli. Eğitim için dökümanın sonunda bulunan eğitim
kaynakları değerlendirilmelidir.
Tüm köprüler gibi Sdney Harbour Bridge’de
deprem yüklemeleri altında sarsıntılara karşı
dayanabilecek şekilde tasarlanmıştır.
Bilindiği üzere köprüler zemine bağlı bir
biçimde işlevlerini görürler ve deprem
sırasında yüklemeler de bu noktalardan etki
eder. Genel olarak bu tür yüklemeler genel
geçer kuvvet bazlı yüklemelerden daha
ziyade ivme bazlı etkileşimlerdir. Ayrıca
ivmelenme zaman içinde değişmekle
birlikte, literatürde genel kabul yerçekiminin
bir oranı olarak bunları etkimektir. Dağınık
olan ve zamana bağlı olan bu yüklemeler ani
inişler ve çıkışlar içerebilmektedir. Çok kısa bir
zaman aralığında etkinmelerine rağmen agresif
bir yükleme olması nedeniyle ciddi hasar
verebilecek güce sahiptir. Tipik bir deprem
yüklemesi aşağıda ki gibidir.

Grafikten de görüdüğüz üzere yükleme rastsal ve zaman ile değişen bir formdadır. Bu tip bir yüklemeyi
analiz etmek için Autodesk Simulation Mechanical yazılımı içinde bulunan Response Spectrum modülünü
kullanacağız. Ancak ondan önce yapının olası titreşim durumunda nasıl hareket edeceği bulunmalı bunun
içinde Modal analiz yapılmalıdır. Modal analiz yapının olası titreşim durumlarında hangi şekillerde
titreşeceğinin fikrini verecek olan mod durumlarını tespit etmemize ve yapının frekans değerlerini elde
etmemize yardımcı olur.
Modal Analiz

1. Öncelikle modeli Autodesk Simulation Mechanical içinde açarak başlamatayız.

2. Sonrasında yan kısımda gördüğünüz gibi
eleman tiplerini Beam olarak değiştiriyoruz çünkü
yapı itibariyle köprü kiriş ve kolonlardan
oluşmaktadır.

3. Her bir kiriş köprü üzerinde farklı
bir kesit alanına ve malzemesine
sahiptir. Bu nedenle yazılım
içinde farklı şekillerde
tanımlanmalıdır. Bunu
yapabilmek için her bir elemanı
Element Definiton kısmında
tanımlamalı ve uygun profili
seçmeliyiz.