Table Of Content˘ ˘
ANALIZA MATEMATICA,
˘ ˘
ALGEBRA LINIARA,
˘
GEOMETRIE ANALITICA S¸I
˘
DIFERENT¸ IALA
pentru studen¸ti
ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul superior tehnic
Ciprian Deliu
2014
If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue to teach it;
but if it runs away, I may not be able to catch up.
John H. Conway
Prefa¸t˘a
Dupa˘cumsugereaza˘¸sititlul, acestvolumseadreseaza˘studen¸tilordinˆınva˘¸ta˘-
maˆntulsuperiortehnic¸sicon¸tineprincipaleleno¸tiuniteoreticedematematic˘a
necesare acestora, precum ¸si numeroase exemple, aplica¸tii, exerci¸tii rezolvate
¸si exerci¸tii propuse.
Lucrarea este structurata˘ˆın 4 pa˘r¸ti, fiecare parte corespunzaˆnd unui curs
de un semestru, ¸si este rezultatul activita˘¸tii de predare de cursuri¸si seminarii
ˆın perioada 2008-2014 la Facultatea de Hidrotehnica˘, Geodezie ¸si Ingineria
Mediului din cadrul Universita˘¸tii Tehnice ”Gh. Asachi” din Ia¸si.
Primele doua˘ p˘ar¸ti parcurg calculul diferen¸tial ¸si integral, urm˘arind ˆın
linii mari cursul de Analiza˘ Matematic˘a I ¸si II predat anterior de conf. dr.
Gheorghe Chiorescu,ˆın timp ce ultimele dou˘a p˘ar¸ti vizeaz˘a cursurile de Al-
gebra˘ Liniara˘ ¸si Geometrie Analitic˘a ¸si Diferen¸tiala˘, cursuri predate anterior
de conf. dr. Constantin Popovici.
Con¸tinutul lucra˘rii acopera˘ ˆıntr-un spa¸tiu relativ redus o arie destul de
larga˘ a matematicii pentru ingineri ¸si ˆın consecin¸ta˘ sunt inevitabile unele
inadverten¸te¸siinconsisten¸telegatedenota¸tii, conven¸tii¸sichiardecon¸tinutul
ˆın sine. Autorul ˆıncurajeaz˘a studen¸tii care consulta˘ acest material s˘a sem-
naleze eventualele astfel de inadverten¸te, precum ¸si alte gre¸seli sesizate ˆın
text,ˆın vederea corecta˘rii acestora ¸si ob¸tinerii unui con¸tinut omogen ¸si util.
De asemenea, orice alte observa¸tii ¸si sugestii sunt apreciate.
Ciprian Deliu
(cid:66) [email protected]
(cid:109) www.deliu.ro
iii
˘
iv PREFAT¸A
Cuprins
Prefa¸t˘a iii
I Calcul diferen¸tial 1
1 Mul¸timi ¸si topologie pe dreapta real˘a 3
1.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Mul¸timi ma˘rginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Structura topologica˘ a dreptei reale . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 S¸iruri de numere reale 11
2.1 Defini¸tie. S¸iruri ma˘rginite. S¸iruri monotone . . . . . . . . . . . 11
2.2 S¸iruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Opera¸tii cu ¸siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 S¸iruri fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Dreaptaˆıncheiat˘a. S¸iruri cu limita˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Serii de numere reale 25
3.1 Defini¸tie. Convergen¸ta˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Limite ¸si continuitate 39
4.1 Limita unei func¸tiiˆıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Limite la infinit ¸si limite infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
v
vi CUPRINS
5 Derivabilitate 51
5.1 Func¸tii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1 Defini¸tia derivatei. Derivate laterale . . . . . . . . . . . 51
5.1.2 Derivatele func¸tiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.3 Opera¸tii cu func¸tii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Aplica¸tii ale derivabilita˘¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie . . . . 54
5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor . . . . . 58
5.3 Diferen¸tiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 S¸iruri ¸si serii de func¸tii 65
6.1 S¸iruri de func¸tii. Convergen¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Serii de func¸tii. Convergen¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Func¸tii de mai multe variabile 73
7.1 Spa¸tiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 S¸iruri de puncteˆın spa¸tiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Func¸tii reale ¸si func¸tii vectoriale pe Rn . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Limite ¸si continuitate pentru func¸tii de mai multe variabile . 79
7.5 Derivate par¸tiale. Diferen¸tiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.6 Extreme pentru func¸tii de mai multe variabile . . . . . . . . . 88
7.7 Func¸tii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.8 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
II Calcul integral 97
8 Integrala definit˘a. Primitive 99
8.1 Func¸tii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Proprieta˘¸ti ale func¸tiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4 Metode de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4.1 Primitivele func¸tiilor ra¸tionale . . . . . . . . . . . . . . 107
8.4.2 Schimba˘ri de variabil˘a uzuale . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.5 Metode de calcul al integralelor definite . . . . . . . . . . . . . 109
8.6 Aplica¸tii ale integralei definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.7 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
CUPRINS vii
9 Integrale improprii ¸si cu parametru 117
9.1 Integrala improprie de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.1.1 Convergen¸ta integraleiˆın cazul func¸tiilor pozitive . . . 118
9.1.2 Convergen¸ta integraleiˆın cazul general . . . . . . . . . 119
9.2 Integrala improprie de al doilea tip . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.3 Metode de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.4 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.4.1 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . . 124
9.4.2 Integralele lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10 Integrala curbilinie 129
10.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe . . . . . . . . . . . . . 129
10.2 Integrala curbilinie de prima spe¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.3 Integrala curbilinie de spe¸ta a doua . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.4 Independen¸ta de drum a unei integrale curbilinii . . . . . . . . 136
10.5 Aplica¸tii ale integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11 Integrala dubl˘a 143
11.1 Definirea integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2 Proprieta˘¸ti ale func¸tiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.3 Metode de calcul pentru integrale duble . . . . . . . . . . . . . 146
11.3.1 Integrarea pe domenii dreptunghiulare . . . . . . . . . 146
11.3.2 Integrarea pe domenii simple . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.3.3 Continuitatea¸si derivabilitatea integralei duble func¸tie
de limitele de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.3.4 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.3.5 Schimbare de variabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.4 Aplica¸tii ale integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12 Integrala de suprafa¸t˘a 155
12.1 Elemente de teoria suprafe¸telor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.2 Aria unei suprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.3 Integrala de suprafa¸t˘a de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.4 Integrala de suprafa¸t˘a de al doilea tip . . . . . . . . . . . . . . 161
12.5 Aplica¸tii ale integralelor de suprafa¸ta˘ . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
viii CUPRINS
13 Integrala tripl˘a 169
13.1 Definirea integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.2 Proprieta˘¸ti ale func¸tiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.3 Metode de calcul pentru integrale triple . . . . . . . . . . . . . 173
13.3.1 Integrarea pe un paralelipiped . . . . . . . . . . . . . . 173
13.3.2 Integrarea pe domenii cilindrice . . . . . . . . . . . . . . 174
13.3.3 Schimbarea de variabile la integrale triple . . . . . . . . 175
13.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.5 Aplica¸tii ale integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14 Ecua¸tii diferen¸tiale 181
14.1 Generalita˘¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.2 Ecua¸tii diferen¸tiale de ordinulˆıntaˆi sub forma explicita˘ . . . . 182
14.2.1 Ecua¸tiidiferen¸tialecareprovindinanulareauneidiferen¸tiale
totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
14.2.2 Ecua¸tii omogene ¸si ecua¸tii reductibile la ecua¸tii omogene183
14.2.3 Ecua¸tii liniare de ordinulˆıntaˆi ¸si ecua¸tii reductibile la
ecua¸tii liniare de ordinulˆıntaˆi . . . . . . . . . . . . . . . 185
14.3 Ecua¸tii diferen¸tiale de ordinulˆıntaˆi sub forma˘ implicit˘a . . . . 186
14.3.1 Existen¸ta˘ ¸si unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
14.4 Ecua¸tii diferen¸tiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . 188
14.4.1 Ecua¸tii diferen¸tiale de ordinul n liniare . . . . . . . . . 189
14.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
III Algebr˘a liniar˘a 195
15 Matrice. Determinan¸ti. Sisteme de ecua¸tii liniare 197
15.1 Matrice. Determinan¸ti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.2 Sisteme de ecua¸tii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
15.3 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16 Spa¸tii vectoriale 207
16.1 Defini¸tii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16.2 Subspa¸tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
16.3 Dependen¸ta˘ liniara˘. Baz˘a. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . 211
16.4 Schimba˘ri de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.5 Spa¸tii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.6 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
CUPRINS ix
17 Transform˘ari liniare 225
17.1 Defini¸tii ¸si propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
17.2 Matricea unei transforma˘ri liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
17.3 Valori ¸si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.4 Endomorfisme pe spa¸tii euclidiene. . . . . . . . . . . . . . . . . 232
17.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
18 Forme biliniare. Forme p˘atratice 243
18.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
18.2 Forme pa˘tratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
18.3 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
19 Vectori liberi 257
19.1 Spa¸tiul vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
19.2 Coliniaritate ¸si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
19.3 Produse cu vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
19.3.1 Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
19.3.2 Produsul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
19.3.3 Produsul mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
19.3.4 Dublul produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
19.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
IV Geometrie analitic˘a ¸si diferen¸tial˘a 267
20 Planul ¸si dreaptaˆın spa¸tiu 269
20.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
20.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
20.3 Unghiuri ¸si distan¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
20.3.1 Unghiul a dou˘a drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
20.3.2 Unghiul a dou˘a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
20.3.3 Unghiul dintre o dreapta˘ ¸si un plan . . . . . . . . . . . 275
20.3.4 Distan¸ta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . 275
20.3.5 Distan¸ta de la un punct la o dreapta˘. . . . . . . . . . . 276
20.3.6 Perpendiculara comuna˘. Distan¸ta dintre dou˘a drepte . 276
20.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
21 Conice 281
21.1 Dreaptaˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
21.2 Conice pe ecua¸tii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
21.2.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
x CUPRINS
21.2.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
21.2.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
21.2.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
21.3 Schimba˘ri de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
21.3.1 Rota¸tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
21.3.2 Transla¸tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
21.4 Reducerea conicelor la forma canonic˘a . . . . . . . . . . . . . . 290
21.4.1 Invarian¸tii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
21.4.2 Forma canonic˘a a conicelor cu centru . . . . . . . . . . 292
21.4.3 Forma canonic˘a a conicelor fa˘r˘a centru . . . . . . . . . 295
21.5 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
22 Cuadrice 305
22.1 Cuadrice pe ecua¸tii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
22.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
22.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
22.1.3 Hiperboloidul cu o pˆanza˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
22.1.4 Hiperboloidul cu doua˘ pˆanze . . . . . . . . . . . . . . . 310
22.1.5 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
22.1.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
22.1.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
22.1.8 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
22.1.9 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
22.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica˘ . . . . . . . . . . . . . 318
22.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
22.3 Gener˘ari de suprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
22.3.1 Suprafe¸te cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
22.3.2 Suprafe¸te conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
22.3.3 Suprafe¸te de rota¸tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
22.4 Exerci¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
23 Elemente de geometrie diferen¸tial˘a 329
23.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
23.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
23.1.2 Tangenta ¸si normala la o curb˘a plana˘ . . . . . . . . . . 331
23.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane . . . . . . . . . . 333
23.1.4 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
ˆ
23.1.5 Infa˘¸sur˘atoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . 336
23.2 Curbeˆın spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
23.2.1 Reprezent˘ari analitice. Puncte ordinare . . . . . . . . . 338
23.2.2 Triedrul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Description:a lui A. Un punct al multimii A care nu este punct de acumulare se numeste punct izolat. O multime format˘a numai din puncte izolate se numeste multime discret˘a. Propriet˘ati: 1. Un punct x0 este punct de acumulare al unei multimi A dac˘a si numai P dx+Qdy nu depinde de drum ıntr-un dome-.
