Table Of ContentElon Lages Lima
“Textos del IMCA
Anéalisis Real
Volumen 1
Elon Lages Lima
‘Traducido por Lorenzo Diaz
IMCA Instituto de Matematica y Ciencias Atines
[Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Anélisis
Materético. Los temas tratados so exponen de manera simple y
ditecta, evitando digresiones. Asi espero facilitar el trabajo del pro-
fesor que, al adoptarlo, no necesitaré perder mucho tiempo selec-
clonando los temas que trataré y los que omitiré. Grupos expe-
rinles, estudiantes avanzados, lectores que desoen una presentacién,
nds completa y los alunos, por asf decirio, normales que busquen
Jecturas complementarias pueden consultar el “Curso de Andlisis|
Matemitico, vol. 1" que trata de la misma materia con un enfoque
Inds amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamafo.
Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientos
fquivalentes a dos perfodos lectivos de Célculo*, ya familiarizados
fon las ideas de derivada e integral en sus aspectos més elementales,
principalmente los edleulos con las funciones més conocidas y 1a re-
folucién de ejercicios sencillos. También espero que tengan una idea.
fuficientemente clara de lo que es una demostracién matemética
I lista de prerrequisitos termina diciendo que el lector debe estar
Fiabituado a las notaciones usuales de la teoria de conjuntos, tales
tomo 2 € A, AC B, AUB, ANB, etc.
Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sir-
ven para fijar ideas, desazrollar algunos temas esbozados en el texto
¥y como oportunidad para que el lector compruebe si realmente ha
‘ontendido lo que acabé de leer. En el capitulo final se presentan Ins
soluciones, de forma completa 0 resumida, de 190 ejercicios selec-
ionados. Los restantes son, en mi opinién, bastante ficles, Nater
ralmente, me gustaria que el lector sélo consultase las soluciones
después de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada prov
Dlema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin éxito, el que aoe
conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje,
El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-
lizaron Maria Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisadas
Por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos y opi,
niones sensatas durante la preparacién del libro. La revision del
texto original en portugués la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricardo.
Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo mis
‘agradecimientos cordiales.
La publicacién de Ia edicién original braslefia fue Snanciada
or Ia CAPES; con su director, profesor José Ubirajara Alves, extoy
fen deuda por el apoyo y la comprensiGn demostrados,
Rio de Janeiro
lon Lages Lima
Prefacio a la edicién en espafiol
La iniciativa de editar este libro en espafiol se debe al Profe-
sor Ole Camacho que, con su empeicaracteraticn, tuve I de,
supervisé la traduecién, cuidé de la impresién y aseguré la publi-
cacién. Es a l, por lo tanto, que tengo la satisfaccién de manifestar
mis agradecimientos.
También estoy agradecido a Lorenzo Dis Cato, qe his a
traduccién y a Roger Metzger y Francisco Leén por el trabajo
revisién.
Rio de Janeiro, noviembre de 1997.
Elon Lages Lima
indice general
Capitulo 1. Conjure aitor « inftniton
1, Néimeros naturales
2. Conjuntos fnitos
3. Conjuntos infinitos
4. Conjuntos numerables
5. Bjercicios
(Capitulo 2. Nimaron realee
1. Res un cuerpo
2, Res un cuerpo ordenado
3. Res un cuerpo ordenado completo
4. Bjercicios
‘Capitulo 8. Suoaslonen de nimeroe reales
1, Limite de una sucesién
2. Limites y desigualdades
3. Operaciones con limites
4, Limites infnitos
5. Bjercicios
Capitulo 4 Sertee de nimerce
1. Series convergentes
2, Series absolutamente convergentes
8. Criterios de couvergencia
4, Reordenaciones
5. Bjercicios
‘Capitulo 8. Algunas nociones de topologta
1. Conjuntos abiertos
2. Conjuntos cerrados
8. Puntos de acumulacién
4. Conjuntos compactos
5. El conjunto de Cantor
6. Bjercici
‘Capftlo 6. Limes de functonen
1. Definicién y primeras propiedacles
2. Limites laterales
3. Limites en el infinito
4. Bjercicios
Capitulo 7. Punctonae continue
1. Definicidn y primeras propiedades
2. Funciones continuas en un intervalo
3. Funciones continuas en conjuntos compactos
4 Continuidad uniforme
5. Bjercicios
[Capttuto 8, Derivadas
1. La nocién de derivada
2. Reglas de derivacién
3, Derivada y crecimiento local
4. Punciones derivables en un intervalo
5. Bjercicios
‘Capitulo 8. Pérmuila do Taylor ¥ apllcactonan de In derived
1. Férmula de Taylor
2. Funciones convexas y céncavas
3. Aproximaciones sucesivas y método de Newton
4, Bjercicios
Capftulo 10. Le integral de Riemann
1. Revisin de sup e inf
2. Integral de Riemann
3. Propiedades de la integral
4. Condiciones suficientes de integrabilidad
5. Bjercicioe
Capftulo 11. Céleule con integralee
1. Los teoremas clésicos del Céleulo Integral
2. La integral como limite de las sumas de Riemann,
3. Logaritmos y exponenciales
4 Integrales impropias
5, Ejercicios
[Capitulo 12. Sucaslonee y series de funcionen
1. Convergencia puntual y convergencia uniforme
2, Propiedades de Ia convergencia tniforme
3, Series de potencias
4. Punciones trigonométricas
5. Series de Taylor
6. Ejercicios
(Capftulo 15. Soluciones de lon elercicion
‘Lectures recomendadae
{ndion
1
Conjuntos finitos
e infinitos
En este capitulo se establecer4 con precisin la diferencia entre con-
junto finito y conjunto infinito. También se haré la distincién entre
Conjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partida
fs el conjunto de los nimeros naturales.
1. Némeros naturales
El conjunto N de los nsimeros naturales se caracteriza por las
siguientes propiedades:
1. Existe una funcién inyectiva #:N + N. La imagen a(n) de
‘cada niimero natural n se llama sucesor de n.
2, Existe un tinico niimero natural 1 < N tal que 1 # »(n) para
todo n €N.
3. Si un conjunto X CN es tal que Le X y #(X) CX (esto es,
n€ X= a(n) € X) entonces X= N.
Estas afirmaciones pueden ser reformuladas as:
2 Conjuntos Finitos cap. 2
¥', Todo nimero natural tiene un sucesor, que también es un
‘mimero natural; nimeros diferentes tienen sucesores diferentes.
»
¥
[Existe un nico mimero natural que no es sucesor de ningun.
Si un conjunto de ntimeros naturales contiene el nimero 1 y
‘también contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, en
tonces ese conjunto contiene a todos los nimeros naturales,
Las propiedades 1, 2, 3 de arriba se Ilaman axiomas de Peano,
I axioma 3 es conocido como “principio de induccién’”. Intuit.
vamente, éste significa que todo miimero natural puede obtenerse
partir del 1, tomando su sucesor (1), el sucesor de éste, s(s(1))
¥ asi en adelante, en un nimero finito de etapas. (Evidentemente
“niimero finito” es una expresidn que, en este momento, no tiene
todavia significado. La formulacién del axioma 3 es una manera
extraordinariamente hébil de evitar la introduccién de un nuevo
principio hasta que la nocién de conjunto finito esté dada).
EI principio de induccida es Ia base de un método para de-
‘mostrar teoremas sobre niimeros naturales, conocido como el méto
do de induccién (0 recurrencia), que funciona ast: “si una propiedad
P es valida para el niimero 1'y si, suponiendo P valida para cl
‘mimero n, como consecuencia se tiene que P tarbién es valida para
‘su sucesor, entonces P es valida para todos los miimeros naturales”
Como ejemplo de demostracién por induccién, probaremos que
para todo n € Ny, se tiene a(n) # n. Esta afirmacién es verdadera
‘cuando n = 1, porque por el axioma 2 se tiene 1 s(n) para todo n
Juego, en particular, 1 # s(1). Si suponemos verdadera la afirmacién
para algun n € N, se cumple n ¥ «(n). Como la funcidn + es in
Jeatvn entones on) 4} el afmacion os verdadera
para a(n)
En el conjunto de los mimeros naturales se definen dos opera
ciones fundamentales, la adicién, que asocia a cada par de nimeros
naturales (m,n) su sumam-+n, y Ia multiplicacién que hace corres
ponder al par (m,n) su producto m-n. Estas dos operaciones se ca
racterizan por las siguientes igualdades, que sirven como definicién
Némarot aaturalen 3
me(n+])=m-ntm,
Con otras palabras: sumar 1 a m significa tomar su sucesor.
YY una ver conocida la suma m +n también es conocido m + (n+
1), que es el sucesor de m+n, En cuanto la multiplicacién:
multiplicar por 1 no altera el mimero. Y conocido el producto m
‘nes conocido m-(n+1) = _m:ntm. La demostracién de la
‘exitencia de las operaciones +y con las propiedades anteriores, asi
‘como su unicidad, se bace por induccién. Los detalles se omiten
‘aqui. El lector interesado puede consultar el “Curso de Anélisis
Matemético”, vol. 1, 0 las referencias bibliogréticas de dicho libro,
donde se demuestran (inductivamente) las siguientes propiedades de
a adicién y la multiplicacion:
asociativa: (mtn) -+p=m + (n+p), m= (np) = (m-n)-75
distributiva: m-(n +p) atm pe
commutative: m-n=a-tm, m-n=nem;
ley de corte: m+n +p map, men ae
Dados dos niimeros reales m,n se escribe m <n cuando existe
p EN tal que m+p =n. Se dice que m es menor que n. La
notacién m <n significa que m <n 6m =n. Se puede probar que
m<nyn <p> m <p (transitividad) y que dados m,n € N
Ccualesquiera, se cumple una, y s6lo una, de estas tres posibilidades:
men,m=ndm>n.
‘Una de las propiedades més importantes de la relacién de orden
m <n entre niimeros naturales es el llamado principio de buena
‘ondenacidn, enunciado y probado a continuacién.
Todo subconjunto no vacto A CN posee un menor elemento,
‘esto es, un elemento ng € A tal que no <n para todo n € A.
Para probar esta afirmacién lamemos, para cada nimero n €
IN, Jn al conjunto de los nimeros naturales <n. Sil € A entonces
4 Conjuntos Finitos cant
es el menor elemento de A. Si 1 ¢ A entonces consideramos el
‘conjunto X de los nimeros naturales n tales que Jy CN—A. Como
y= {1} CN~ A, vemos que 1 € X. Por otra parte, como A no)
‘es vacfo, concluimos que XN. Luego la conclusién del axioma 3
no es valida. Se sigue que debe existir n € X tal que n+1¢ X.
Entonces fy = {1,2,...)n) CN-Ay ng =n+le A. Por lo tanto
‘ng es el menor elemento del conjunto A.
2. Conjuntos finitos
Continuaremos usando la notacién Jy = {p € Nip <n}. Un
Conjunto X se dice finito cuando es vacio bien existen n € N'y una,
biyeccion f:.q —> X. Eacribiendo 21 = f(1), 22 = £(2).... 2m
S(n) tenemos X = {24,...,2n}- La biyeceiéa J se llama enu-
‘meracién de los elementos de X, y el niimero n se llama nimero.
de elementos 0 cardinal del conjunto finito X. El Corolario 1 més
adelante prueba que el cardinal esté bien definido, esto es, que no
depende de Ia enumeracién f excogida,
Lema 1. Si existe una biyeccién J: X + ¥, entonces dados a € X
¥bEY también existe una biyeccién g: X — ¥ tal que g(a) =.
Demostracién: Sea 8! = f(a). Como f es suprayectiva, existe
a! © X tal que f(a’) = b. Definames g:X —+ ¥ como g(a) = b,
aa!) =0' y o(z) = s(e) siz ¢ X no es igual ni aa ni at, Es fécil
ver que g es una biyeccién. o
‘Teorema 1. Si A es un subconjunto propio de In, no puede existir
tuna biyeccién fA + In
Demostracién: Supongamos, por reduccién al absurdo, que el
teorema sea falso y consideremos ng € N el menor nimero natural
para el que existen un subconjunto propio A C Ing ¥ una biyeccién
J:A + Ing. Sing € A entonces, por el Lema, existe una biyeccién
8:A + Ing com 9(nq) = no. Ente caso la restriccién de g & A~{no}
es una biyeccién del subconjunto propio A — {no} et Iny 1, lo que
Seoeién 2 Conjuntos finitos 5
contradice la minimalidad de no. Si, por el contrario, tuviésemos
hho ¢ A entonces tomariamot a € A con f(a) = no y la restriccién
Ge f al subconjunto propio A — {a} C Jny-1 seria una biyeccién en
TIne-ty 0 que de nuevo contradice la minimalidad de no, a
Corolario 1. Si f:1m—> X y9:ln— X son biyecciones, entonces
En efecto, si tuviésemos m <n entonces Jy seria un subcon-
junto propio de J, lo que violaria el Teorema 1, pues g~! 0 f =
Tm ~* fy €8 una biyecciOn. Andlogamente se demuestra que no es
posible m <n, Lego m =n. 0
Corolario 2. Sea X un conjunto finito. Una aplicaciéa f:X —+ X
cy inyoctiva si, y séo si, 6s suprayectiva
efecto, existe una biyeoiin fq —+ X-, La apicaign
[x5 Xesimenaompatinytoa6 ef og eI
{oem Lucgo podemes cousierar fly ~~ Iq. Sif os inyectiva en
tonces tomundo A= ly) tendremos una biyeccién J!" A >In
Porel Teorema 1, A= iy y f eo suprayectiva Reciprocamente
S17 es suprayectiva entonces, para cada» € ly podemos escoger
ya ole) € fetal que f(y) — ec. Batoncesg es ayectivey, por lo
{ie acabemos de proba, 9s suprayectiva. Axi # yi, ya € In 908
thles que f(pn) = f(y), tomamos 23,2 con a1) = yt ola) = 92
Y tendremos 21 = f 0 (21) = Syn) = flan) = f(glz2)) = 22, de
donde yt = (ei) = o(2s) = a ogo fs inyectva,
Corolario 3. No puede existir una biyecciéa entre un conjunto
finito y una parte propia de éste.
El Corolario 3 es una mera reformulacién del Teorema 1
‘Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto finito es fnit.
Demostracién: En primer lugar probaremos el siguiente caso par
ticular: si X es finito y a € X entonces X — {a} es Gnito. Bn efecto,
‘existe una biyeceién f:, —> X que, por el Lema, podemos suponer
6 Conjuntos Finitoe cap.
‘que cumple f(n) = a. Sin = 1 entonces X — {a} e2 finito. Si
n> 1, ln restricein de / a Jy ¢8 una biyeccién en X — {a}, luego
X— {a} es finito y tiene n ~ 1 elementos. El caso general se prueba
por induccién sobre el nimero n de elementos de X. Este es evi-
dente si X = ¢ 6 n = 1. Supongamos el Teorema verdadero para
conjuntos de n elementos, sean X un conjunto de n + 1 elementos
‘© ¥ um subconjunto de X. Si ¥ = X no hay nada que probar. En
‘caso contrario, existe a € X tal que a ¢ Y. Entonces también se
‘cumple YC X ~ {a}. Como X ~ {a} tiene n elementos, se sigue
que ¥ es fnito, 3
Corolario 1. Dada f:X + ¥, si ¥ es finito y f es inyectiva
fentonces X 8 fnito; si X es Gnito y f es suprayectiva entonces ¥
3 finito.
En efecto, si fs inyectiva entonoes es una biyeccién de X en
el subconjunto f(X) del conjunto finito Y. Por otra parte, si f
es suprayectiva y X es finito entonces, para cada y € Y podemos
‘legit x = o(y) € X tal que f(z) = y. Esto define una aplicacién
a:¥ + X tal que {(o(y)) =v para todo y € Y. Se concluye que 9
‘es inyectiva luego, por lo que acabamos de probar, ¥ es finite.
Un subconjunto X CN se dice acotado cuando existe p ¢ N
tal que x < p para todo z € X.
Corolario 2. Un subconjunto X CN es finito si, y sélo si, esté
acotado.
En efecto, si X = (21... ,2q} CN ef finito, tomando p
zy tess zq vemos que z © X's 2 <p, luego X esté acotado.
Reciprocamente, si X CN esté acotado entonces XC Ip para algin
PEN, por tanto del Teorema 2 se sigue que X e finite o
3. Conjuntos infinitos
Se dice que un conjunto es infinito cuando no es finito. Asi,
X es infinito cuando ni es el conjunto vacio ni existe para ningin
ne N una biyeccidn f: Iq —+ X
occién 3 (Conjuntos tnfintton 7
Por ejemplo, en virtud del Corolario 2 del Teorema 2, el con-
Junto N de los mimeros naturales es infinito. Por el mismo motivo,
i & E/N entonces el conjunto kN de los miltiplos de k es infnito.
Toorema 3. Si X es un conjunto infinito, entonces existe una
“aplicacién inyectiva f:N —+ X.
Demostracién. Para cada subconjunto no vacio A C X escoge-
‘mos un elemento 24 € A. A continuacién, definimos f:N —+ X
Inductivamente. Hacemos (1) = 2x y, suponiendo ya definidos
f(Vyoss f(m), escribimos Ay = X ~{F(1),... ,f(n)}- Como X es
Infinto Aq no'es vacio. Bntonces definimos f(n +1) = 24,- Esto
completa Ia definicién de f. Para probar que f es inyectiva, sean
m,n € N, por ejemplo m <n. Entonces f(m) € {(f(1)...- f(n—
2) otras que 0) € X — {40,.-F0~ 1), ego Fem)
Corolario. Un conjunto X es infinito si, y sélo si, existe una
biyeccién y:X —+ ¥ en un subconjunto propio ¥ c X.
En efecto, sea X infinitoy f:N + X una apicacén inyectvn.
scrbimos, para cada n € N, {(n) = #9. Consideremos el sub-
conjanto propio ¥ =X ~ (2). Definantos entonces In biyeceiin
w:X — Y tomando y(z) = z si x no es ninguno de los z»_ y
Velen) = nei (wm € N). Recprocament, s existe una biyeosién
{eX en un mudconjunto propio entonces X es infinito, en virtud del
Coroari 3 del Teorema 1. 0
SiN, = N~ {1} entonces g:N + Ni, y(n) = n+, es una
biyecciém de N en su subconjunto propio Ny = {2,3,...)- De forma
general, dado p € N podemos considerar Ny = (p+ 1,p-+2,-.-}
Y definir la biyeccién y:N — Np, p(n) ='n +p. Este tipo de
fenémenos ya eran conocidos por allo, el primero en observar que
hay tantos nimeros pares como miimeros naturales", que demostré
quoi P = (2,4,6,...} exel conjunto de os niimeros pares entonces
iN — P, dada como y(n) = 2n, es una biyeccién. Evidentemente,
81=(1,3,5,...} evel conjunto de los nimeros impares, entonces
WN +, o(n) = 2n— 1, también es une biyeccién. En estos dos
