Table Of ContentAnálisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel
CAPÍTULO 1
SÍMBOLOS, NOTACIONES Y UNIDADES
INTRODUCCIÓN
La simbología utilizada en los esquemas de los circuitos eléctricos es muy amplia y aunque existe
una tendencia a su normalización, en la actualidad hay una diversidad de símbolos para el mismo
concepto que el uso de uno u otro símbolo depende del autor del texto. En este capítulo se
presentan los símbolos que más se utilizan en los tratados de electricidad españoles y que, en su
gran mayoría, siguen los tratados de otros países traducidos al castellano.
Dentro de este apartado se asocian los símbolos y definiciones de potencial y diferencia de
potencial, así como de la corriente eléctrica según la concepción clásica de la misma. En textos
consultados, la definición de corriente es distinta, contraria a la que aquí se expone, pero no por
ello invalida los conceptos que aquí se vierten, sino que a la hora de aplicarlos en dichos textos
habrá que alterar el sentido de la corriente.
A fin de que se proporcionen resultados lo más coherentes posibles, en consonancia con los
datos que se indican en los problemas propuestos, se dan una serie de nociones sobre la
posibles notaciones numéricas, sobre el concepto de cifra significativa y por último sobre el
redondeo al cinco, todo ello con el fin de ajustar los resultados numéricos a los datos iniciales de
los problemas.
Por último, se relacionan las unidades básicas y suplementarias del Sistema Internacional de
unidades ( SI ), así como los múltiplos y submúltiplos de dichas unidades.
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SÍMBOLOS
Son las representaciones gráficas tanto de los elementos de los circuitos, instrumentos de
medida, etc., como de los vectores representativos de las variables eléctricas tensiones y
corrientes.
SÍMBOLOS GRÁFICOS
+ - ∆
polaridad positiva; polaridad negativa; conexión o devanado en triángulo;
Y
conexión o devanado en estrella.
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TENSIONES
En este estudio se utilizará como símbolo de diferencia de potencial, o tensión, una flecha cuya
base está en el punto de menor potencial ( signo -, ó B) y su extremo en el punto de mayor
potencial (signo +, ó A). De forma que se verifica:
V > V ; V = V - V
A B AB A B
Aunque todos los textos coinciden con la notación + y -, no todos coinciden en el sentido de la
flecha de referencia.
En los sistemas trifásicos se diferenciarán además entre las tensiones de línea, o tensiones
compuestas, expresadas por y las tensiones de fase, o tensiones simples, simbolizadas por . En
el capítulo correspondiente se volverá sobre este tema.
CORRIENTES
La corriente se simbolizará mediante una flecha que indicará el sentido del flujo de la misma. El
sentido indicado será tomado como positivo. Si al final de los cálculos se llega a que la magnitud
tiene un signo negativo, ésta indicará que el sentido real es opuesto al inicialmente supuesto
como referencia.
Con esta notación la corriente corresponde a desplazamientos de cargas positivas, que se
desplazarán desde potenciales positivos (+) a potenciales negativos (-).
En la notación puede figurar un subíndice para enumerar la corriente.
Se ha de tener especial cuidado a la hora de establecer un subíndice. Así, para la corriente que
circula entre los puntos A (+) y B (-) la notación no es la más adecuada ya que:
AB
I ≠ I - I
AB A B
es decir, se trata de expresar que la corriente circula desde A a B.
En los sistemas trifásicos se diferencian dos tipos de corrientes: las corrientes de línea simboliza-
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das por acompañadas por un subíndice; las corrientes de fase simbolizadas por acompañadas
por un subíndice. Estos subíndices, cuyo significado y notación se indicarán en el capítulo
correspondiente, sirven para diferenciar las distintas corrientes.
ÁNGULOS: FASES y DESFASES
Los ángulos representativos de las fases y desfases se simbolizan mediante letras griegas, de
las cuales las más utilizadas son: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (zeta), θ
(theta), λ (lambda), µ (mu), v (nu), ξ (xi), φ, (phi), ψ (psi), ω (omega).
NOTACIONES
Realizada una consulta sobre el tipo de notación utilizada en diferentes textos españoles y
extranjeros, correspondientes a esta materia, se comprobó que no existe una notación totalmente
común a todos. Incluso existen discrepancias entre autores de un mismo país de origen. Por
tanto, se recurrirá, como base para fijar los criterios de notación, a la normativa actual, adoptando
así mismo los siguientes criterios de notación:
- Los valores instantáneos de las funciones del tiempo se representarán mediante letras
minúsculas. Ejemplo: v(t)= 20 sen (2πft + 30º) V, representa una tensión senoidal de valor
máximo 20 voltios y de frecuencia f, con una fase de 30º.
- Los valores eficaces de las magnitudes periódicas se expresarán mediante una letra mayúscula.
Ejemplo: V= 220 V.
- Los valores máximos de las funciones se indicarán mediante una letra mayúscula con el
subíndice M o bien max. Ejemplo: V = V = 20 V
M max
- Los valores mínimos de las funciones se mostrarán mediante una letra mayúscula con el
subíndice min. Ejemplo: V = 20 V.
min
- Los valores medios de las funciones se expresarán mediante una letra mayúscula y el subíndice
med. Ejemplo: V = 0 V.
med
- Las magnitudes complejas se expresarán en la forma binómica: Re + j Imag , o bien en la forma
módulo argumental: Mod _θ. Ejemplo: 3 + j 4 = 5 _ 53º.
- Las magnitudes vectoriales se representan mediante una letra mayúscula con un guión en su
parte superior. Ejemplo , que representa a una tensión alterna expresada en el plano de la
frecuencia en forma de vector, o fasor.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica es una forma de expresión de las cantidades, que facilita la comparación
entre unas y otras y que permite una inmediata identificación de las cifras significativas utilizadas.
Un número en notación científica se escribe con la puntuación decimal a la derecha del primer
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dígito, manteniendo las restantes cifras significativas como decimales, y un multiplicador 10N para
indicar el valor del número.
Así por ejemplo, 0,018 se escribirá en notación científica como 1,8 x 10 -2, o bien la cantidad
521,63 se escribirá como 5,2163 x 10 2.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Los valores numéricos de las mediciones son siempre aproximaciones. La exactitud de una
medida se determina por el instrumento particular de medida utilizado. El número de dígitos en
las mediciones se denomina número de cifras significativas. Así, una medida de 4,48 V, es una
medida con una aproximación a la centésima de voltio y dispone de tres cifras significativas.
La última cifra significativa de cualquier dato de medición es estimada y por lo tanto es de
exactitud dudosa. Por tanto, el número de cifras significativas en la solución numérica de un
problema que incluye cantidades medidas, deberá redondearse para que esté de acuerdo con el
número de cifras significativas del dato menos preciso. En caso contrario, se estará dando a la
una exactitud distinta a la que los datos medidos puedan garantizar.
Los ceros en un número pueden ser o no significativos, depende de como se utilicen.
Cuando los ceros aparecen en la primera cifra de un número son no significativos, ya que sólo
sirven para localizar el punto decimal. Así por ejemplo: 0'00448 tiene tres cifras significativas.
Los ceros situados entre cifras son siempre significativos. Así por ejemplo: 801 tiene tres cifras
significativas.
Los ceros situados como últimas cifras de un decimal son significativos. Así por ejemplo: 0'04480
tiene cuatro cifras significativas.
Los ceros en las últimas cifras de un número entero pueden ser o no significativos. Debe
utilizarse la notación adecuada para dar un indicador apropiado. Así por ejemplo: 56.000 puede
tener dos, tres, cuatro o cinco cifras significativas. Si la precisión correcta fuese de cuatro cifras,
se debería anotar como:
56'00 k.
En las operaciones matemáticas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, el resultado ha de
redondearse de acuerdo al número de cifras significativas del número menos preciso que
interviene en la operación.
REDONDEO
Cuando se redondean las respuesta para hacerlas concordar con el número de cifras significati-
vas requerido, se debe seguir el siguiente procedimiento, denominado redondeo al cinco:
1.- Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es un 5 seguido por lo menos de
un dígito diferente de cero, el último dígito que se retiene debe aumentarse en 1. 2.- Si el primer
dígito que se va a eliminar es menor que 5, el último dígito que se retiene no debe cambiarse.
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3.- Si el primer dígito que se va a eliminar es exactamente 5, o bien un 5 seguido de ceros, el
último dígito no debe cambiarse si es par, pero debe incrementarse en 1 si es impar.
En la solución de problemas numéricos con varios apartados, en donde la solución de una de
éstas se utiliza para obtener la solución de otra, deben evitarse los redondeos mientras el
problema no esté completo.
UNIDADES
Antes de iniciar el estudio de los circuitos eléctricos, es necesario conocer las clases de unida-
des, las notaciones científicas y de ingeniería que se encuentran generalmente en la práctica.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
A lo largo del tiempo se han ideado distintos sistemas de unidades para satisfacer las necesida-
des de comparación por medio de unidades. Se puede decir que un sistema de unidades es
aquel en el que las unidades guardan una relación directa entre sí, normalmente expresada por
un número entero.
El sistema métrico está formado por unidades relacionadas entre sí como múltiplos de 10. Así, el
centímetro, metro y kilómetro guardan la relación 100, 1.000 y 100.000. Es fácil la conversión de
una unidad a otra y por tanto constituye esta disposición decimal una de las ventajas del sistema
métrico de unidades.
Al igual que otros sistemas de unidades el sistema métrico ha sufrido diversos cambios, dando
origen a cuatro sistemas se unidades, alguno de los cuales han caído en desuso. Estos sistemas
son métricos y comprenden:
Sistema CGS (esu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electrostáticas.
Sistema CGS (emu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electromagnéticas.
Sistema MKS o metro-kilogramo-segundo.
Sistema SI o Sistema Internacional de unidades.
El Sistema Internacional de unidades, designado por SI, es un sistema definido de cuyas
unidades guardan una relación directa entre sí, expresada por un número entero. Es el sistema
utilizado en las publicaciones de los trabajos científicos y técnicos, y en particular en los campos
de la ciencia y la tecnología eléctrica, por lo que se utilizará en este texto.
Este sistema se apoya en siete unidades básicas y dos suplementarias.
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Unidades básicas:
Longitud: metro [m]
Masa: kilogramo [kg]
Tiempo: segundo [s]
Corriente eléctrica: amperio [A]
Temperatura: kelvin [K]
Intensidad lumínica: candela [cd]
Cantidad de materia: mole [mol]
Unidades suplementarias:
Ángulo plano: radián [rad]
Ángulo sólido: estereorradián [sr]
A partir de estas unidades se derivan otras para expresar cantidades de diversos tipo tales como
áreas, potencia, flujo, etc. Algunas unidades derivadas son de frecuente uso y por tanto se les ha
asignado un nombre concreto. Algunas de ellas son:
Capacidad eléctrica: farad (faradio) [F]
Carga eléctrica: coulomb (culombio) [C]
Conductancia eléctrica: siemens (siemens) [S]
Potencial eléctrico: volt (voltio) [V]
Resistencia eléctrica: ohm (ohmio) [Ω]
Energía: joule (julio) [J]
Fuerza: newton (newton) [N]
Frecuencia: hertz (hercio) [Hz]
Iluminación: lux (lux) [lx]
Inductancia: henry (henrio) [H]
Flujo lumínico: lumen (lumen) [lm]
Flujo magnético: weber (weber) [Wb]
Densidad de flujo magnético: tesla (tesla) [T]
Potencia: watt (vatio) [W]
Presión: pascal (pascal) [Pa]
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES SI
Para simplificar el lenguaje, cuando se utilizan cantidades muy grandes (múltiplos) o pequeñas
(submúltiplos) de una cierta unidad, se utilizan prefijos decimales. Los prefijos más comúnmente
utilizados con las unidades SI en notación de ingeniería son los siguientes:
1012 tera [T]
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109 giga [G]
106 mega [M]
103 kilo [k]
10-3 mili [m]
10-6 micro [µ]
10-9 nano [n]
10-12 pico [p]
Estos prefijos representan potencias de 10, con todos los exponentes múltiplos de 3.
Los datos de las placas de características de los equipos eléctricos y las soluciones a los
problemas de ingeniería se expresan normalmente en notación de ingeniería. Sin embargo, antes
de sustituir los datos de ingeniería dentro de ecuaciones matemáticas, todas las unidades deben
convertirse a la forma sin prefijo, ya que en caso contrario se pueden cometer errores graves.
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CAPÍTULO 2
DEFINICIÓN DE LOS ELEMENTOS Y VARIA-
BLES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS:
LEYES BÁSICAS
INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se presentan los elementos implicados en los circuitos eléctricos. Éstos serán los
únicos que los conformen y establezcan, de acuerdo con las leyes de la física, las relaciones
entre las variables eléctricas tensión y corriente en los circuitos eléctricos.
Se establece una primera clasificación de estos elementos en virtud de su posibilidad, o no, de
suministrar energía eléctrica. Una segunda clasificación se establece a través de la forma en que
estos elementos transforman la energía eléctrica que se les comunica.
Se definen, para cada tipo de elemento, las relaciones entre las variables eléctricas, tensión y
corriente, obtenidas de las características eléctricas propias de cada elemento. Cada una de
estas expresiones, que relacionan las variables eléctricas de un elemento, serán la definición
eléctrica del propio elemento y serán las que se utilicen a la hora de establecer las ecuaciones de
los circuitos.
Las leyes básicas del comportamiento de los circuitos eléctricos se deducen como consecuencia
de los principios fundamentales de la continuidad y conservación de la energía. Estos principios
fueron enunciados por KIRCHHOFF, a través de dos leyes fundamentales que recibieron su
nombre. Se establecen las definiciones de la primera y segunda ley de Kirchhoff, indicándose el
número de ecuaciones linealmente independientes que se obtienen de la aplicación de dichas
leyes.
Por último, se establece la definición de potencia eléctrica en corriente continua, sus expresiones
en variables eléctricas y sus unidades de medida.
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO.
Los circuitos eléctricos, que serán considerados en todo lo expuesto, estarán constituidos por tres
tipos de elementos perfectamente diferenciados. No serán considerados los elementos de unión
ya que se suponen de conductividad infinita.
Estos tipos son:
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* Elementos activos o generadores. Son aquellos que suministran energía al circuito. Pueden
considerarse las siguientes clases:
Generadores de tensión, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o
reales.
Generadores de corriente, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o
reales.
* Elementos pasivos o cargas. Son aquellos elementos que reciben la energía que suminis-
tran los elementos activos. Estos elementos pueden ser de tres clases:
Resistencias o resistores.
Bobinas o inductores.
Condensadores o capacitores.
Todo circuito eléctrico consta única y exclusivamente de uno o varios elementos activos y uno o
varios elementos pasivos, dispuestos de una forma adecuada para cumplir ciertas exigencias.
Se denomina "carga", y se representa genéricamente por Z según se muestra en la figura 2.1, a
una combinación cualquiera de elementos pasivos.
Figura 2.1.- Representación de una carga o impedancia.
GENERADORES DE TENSIÓN Y GENERADORES DE CORRIENTE.
El GENERADOR IDEAL DE TENSIÓN INDEPENDIENTE, es aquel dispositivo que suministra
una tensión independiente de la carga a él conectado.
Su representación gráfica es la de la figura 2.2.
El símbolo en el interior del circulo diferencia a los generadores de tensión constante de los
generadores de tensión alterna.
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