Table Of ContentIndice
Indice v
Prefazione ix
I Equazionidifferenziali 1
§1 Equazionidifferenzialiemodelli . . . . . . . . . . . . . 1
§2 Equazioniavariabiliseparabili . . . . . . . . . . . . . . 7
§3 Equazionilinearidelprimoordine . . . . . . . . . . . . 10
§4 Equazionilinearidelsecondoordine . . . . . . . . . . . 13
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II Successionieseriedifunzioni 35
§1 Seriedipotenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§2 SeriediTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§3 Soluzioniinserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§4 SeriediFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§5 Convergenzauniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III Vettoriecalcologeometrico 97
§1 Successionifinite:n-upleevettori . . . . . . . . . . . . . 98
§2 Sistemidiequazionidiprimogrado,
indipendenzalineareedimensione . . . . . . . . . . . . 99
§3 Coordinatecartesianeegeometriaanalitica . . . . . . . 106
§4 Areadiunparallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§5 Volumediunparallelepipedo . . . . . . . . . . . . . . . 116
§6 Ilprodottovettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§7 Retteepiani:sottospazilineari . . . . . . . . . . . . . . 127
§8 Coordinatenoncartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
IV Matricieoperatorilineari 163
§1 Spazivettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§2 Matricietrasformazionilineari . . . . . . . . . . . . . . 170
v
vi Indice
§3 Prodottoscalareeisometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§4 Ildeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§5 Formequadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
j §6 Autovalorieautovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
V Curve,graficiesuperficinellospazio 227
§1 Curveparametriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§2 Derivazionepercomponenti . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§3 Integrazionepercomponenti . . . . . . . . . . . . . . . 235
§4 Lunghezzadiunacurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
§5 Curvatura,torsione,ternaintrinseca . . . . . . . . . . . 242
§6 Funzionididuevariabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§7 Insiemidelpiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
§8 Limitiecontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§9 Superficiparametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
VI Calcolodifferenziale perfunzioni dipiùvariabili 275
§1 Derivateparziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§2 Derivatedirezionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
§3 Differenziabilitàeapprossimazionilineari. . . . . . . . . 280
§4 Pianotangenteadunasuperficieparametrica . . . . . . 287
§5 Funzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§6 Derivatesuccessive.IlTeoremadiSchwarz . . . . . . . . 292
§7 Valoridimassimoediminimo. . . . . . . . . . . . . . . 294
§8 Massimieminimisudominichiusi . . . . . . . . . . . . 301
§9 IlmetododeimoltiplicatoridiLagrange . . . . . . . . . 304
j §10 Funzioniimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
VII Funzionidifferenziabili traspazivettoriali 331
§1 Spazimetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
§2 Successioni,limitiecontinuitàin(X,d). . . . . . . . . . 333
§3 InsiemichiusielimitatiinRn. . . . . . . . . . . . . . . . 338
§4 Proprietàdellefunzionicontinue . . . . . . . . . . . . . 340
§5 SpazimetricicompletieTeoremadellecontrazioni . . . 342
§6 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
§7 Funzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
§8 Campivettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
§9 Derivatesuccessive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
§10 FormuladiTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
§11 Ottimizzazionelibera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
§12 IlTeoremadellefunzioniimplicite . . . . . . . . . . . . 365
§13 Ottimizzazionevincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Indice vii
VIII Sistemidiequazionidifferenziali 387
§1 Campidivettoriecurvetangenti . . . . . . . . . . . . . 390
§2 Ilproblemaaivaloriiniziali . . . . . . . . . . . . . . . . 392
j §3 Esistenzaeunicitàdellesoluzioni
perilproblemaaivaloriiniziali . . . . . . . . . . . . . . 397
§4 Equazionidifferenzialilineari . . . . . . . . . . . . . . . 404
§5 Sistemilineariomogeneiacoefficienticostanti . . . . . 412
§6 Sistemilinearinonomogenei . . . . . . . . . . . . . . . 423
§7 Proprietàqualitativedeisistemiautonomi . . . . . . . . 427
§8 Sisteminonlineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
IX Integralimultipli 457
§1 SommediRiemannedintegralecomelimite . . . . . . . 458
§2 Ilcalcolodegliintegralidoppisurettangoli . . . . . . . 461
§3 Integrazionesudominigenerici . . . . . . . . . . . . . . 465
§4 Integrazionesuregionisemplici . . . . . . . . . . . . . . 467
§5 Applicazionidell’integraledoppio . . . . . . . . . . . . . 472
§6 Cambiamentodivariabilenegliintegralidoppi . . . . . 477
§7 Integralidoppiincoordinatepolari . . . . . . . . . . . . 483
§8 Areedisuperficicartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . 485
§9 Integraletriplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
X Integralisucurveesuperfici 515
§1 Integralicurvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
§2 Integralicurvilineidicampivettoriali . . . . . . . . . . . 519
§3 Campiconservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
§4 TeoremadiGauss–Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
§5 Superficiregolarifinoalbordo.Orientabilità . . . . . . . 532
§6 Integralidisuperficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
§7 Integralidisuperficiedicampivettoriali . . . . . . . . . 540
§8 Teoremidelrotoreedelladivergenza . . . . . . . . . . . 542
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Soluzionidegliesercizi 571
Note 647
Riferimentibibliografici 651
Indiceanalitico 653
Prefazione
I
n questo secondo volume si prosegue (com’è ovvio) il percorso di
avvicinamentoall’analisi,epiúingenerale,allaMatematicainiziato
nelprimovolume,perqueicorsidistudio incuiquestaviene usata
per risolvere problemi scientifici e applicativi. Mentre però lo scopo del
primo volume era quello di introdurre i concetti e gli strumenti fonda-
mentalidell’analisiinfinitesimale(differenzialeeintegrale),cercandodi
contestualizzare i vari aspetti della materia, in questo secondo volume
l’orizzonte si amplia in modo significativo, dal momento che lo scopo
non è solo quello di approfondire e generalizzare a piú variabili quei
metodi,maanchedistudiareneldettaglioalcuneimportantiapplicazio-
ni classiche dei metodi analitici. Si tratta sí di un libro di analisi in piú
variabili, con i contenuti tipici di un secondo corso universitario, ma si
è voluto fornire anche alcuni strumenti per approfondire e motivare la
prospettiva unitaria ch’era alla base del primo volume (riquadri di ap-
profondimento,intermezzistorici,esercizieproblemiteoriciguidati,ma
ancheintericapitolidedicatiadargomentiimportanti,comeleequazioni
differenzialiol’algebralineare).Questohafattosícheledimensionidel-
l’opera potrebbero risultare eccessive per un normale corso semestrale,
e al lettoreè richiesto uncerto impegno per poterlaconsiderare intoto.
La distribuzione degli argomenti nei vari capitoli è stata perciò pensata
alfine di massimizzare la libertàdiscelta dipossibili sotto-percorsi,pur
conservando una certaconsistenza logica (nei prerequisitie nelle appli-
cazioni). All’inizio di ogni capitolo si è descritto brevemente quali sono
gliargomentichesononecessariperaffrontarlo,equalicapitolisonora-
gionevolmente affrontabili in seguito. Come nel primo volume, ci sono
piúlivellidipercorso:unlivello base,eunlivello piúavanzato,contras-
segnatoconilsimboloj.Questorivelaunadiscontinuitàdilivellolocale,
cioè relativa al capitolo in cui ci si trova, e non assoluta. Questo perché
alcunicapitolisonoinsépiúdensieimpegnativideglialtri(peresempio
icapitoliIV,VIIeVIII).
Perpermetterequestoaccessoavarilivelli,abbiamosceltoalcuneso-
luzioni non convenzionali. Le equazioni differenziali sono affrontate in
due capitoli, a due livelli diversi: nel Capitolo I la trattazione avviene
principalmente attraversoesempied esercizi,mentrela sistematizzazio-
x Prefazione
ne teorica e gli approfondimenti sono rimandati al Capitolo VIII, che
richiede una certa consapevolezza degli strumenti dell’analisi in piú va-
riabili.Inuncorsodianalisi nonridottoaiminimiterminiidue capitoli
possono essere anche svolti contemporaneamente (l’uno fornendo ma-
teriale per le esercitazioni dell’altro). Similmente, l’approccio al calcolo
differenziale per funzioni in piú variabili è sviluppato ad un livello ele-
mentare(limitatoafunzionididuevariabilirealiefocalizzatoalleappli-
cazioni)nelCapitoloVI,mentrelestruttureastrattechepermettonouna
trattazione piú rigorosa sono oggetto del Capitolo VII. Di nuovo, tempo
permettendo,i due capitoli possono essere svolti in contemporanea.Vi-
ceversa,laddovelaminimalitàdelcorsoimpediscataliapprofondimenti,
abbiamovolutolasciareallettoreinteressatolapossibilitàdicompletare
inmodoautonomolapropriaformazione.
Per quanto riguarda gli elementi di geometria e di algebra lineare,
che solitamente non vengono affrontatinei testi di analisi, abbiamo vo-
luto inserirli proprio per cercare di ricomporre la prospettiva unitaria
menzionatasopra(ancheperchégliesempisignificatividispaziolineare
sono proprioquelli dispazi difunzioni e di soluzioni diequazioni diffe-
renziali).EssisitrovanonelCapitoloIIIadunlivellomoltoelementare,e
nelCapitoloIVadunlivellosignificativamentepiúimpegnativo.Comple-
tano il volume quattro capitoli con una esposizione piú tradizionale dei
classici argomenti del secondo corso, con una particolare attenzione al-
l’interdisciplinarietà:ilCapitoloII(successionieseriedifunzioni),ilCa-
pitoloV(curveesuperficinellospazio),ilCapitoloIX(integralimultipli)
eilCapitoloX(integralidilineaesuperficieecalcolovettoriale).
Alla fine di ogni capitolo sono stati selezionati un certo numero di
esercizi, rappresentativio di particolare interesse, da guardare prima di
dedicarsiainumerosiesercizidasvolgere(tutticonsoluzionedettagliata
in appendice). Rispetto al primo volume, la variabilità della natura e
delladifficoltàdegliesercizièaumentata,percuiisimbolichesegnalano
alcune tipologie di esercizi non standard non sono solo la I (per gli
esercizi di maggiore difficoltà e interesse teorico), ma anche K (per gli
esercizidinaturaprevalntementeteorica,cherichiedonouncertotempo
di riflessione), o (esercizi di tipo “enigmistico–ludico”), b (esercizi di
calcolo),Ï(esercizialcalcolatore–pochiinrealtà).Inquestomodosiè
cercatodifornirequalcheindicazioneutileperpoterfruiredeltesto,sia
dapartedeldocente,chedapartedellettore.
La stesura di quest’operaha richiesto uno sforzo non banale da par-
te degli autori, che, forse perché sotto stress e pressione, possono aver
inserito qua e là porzioni di testo prive di quella compostezza e gravità
che il caso richiederebbe,nonché hanno certamente mancato di privare
completamentel’operadierroritipograficienon.SperiamocheilLettore
simostribenevoloariguardo.
Milano,8–I–2008
(GliAutori)
